初中數學教學設計中HPM理念的應用

HPM是一種新的教學理念，是指將數學文化、哲學等因素融入數學教學中，以讓學生深入認識數學本質和發展，引起學生對數學知識的好奇，激發學生的學習興趣.本文從魯教版九年級下冊（五四學制）中圓的知識出發，基于HPM理念進行教學設計，針對數學文化的融入手段和技巧，著重從例題設置、習題安排及解題方面展開例談.

1點與圓的位置關系

點和圓的位置關系是圓一章知識的第一節，這方面的數學文化有很多，如“金星凌日”現象，以此引入點與圓的位置關系，可以引起學生的興趣，

例1在技術落后的時代，人們在描述范圍時有“方圓十里”一說，指的是以自己為圓心，10千米為半徑的一個圓的范圍.現有甲的“方圓十里”.

（1）乙距甲8.5千米，請問乙所在位置與甲的“方圓十里”的圓的位置關系是什么？

（2）乙背離甲行走，行走一段時間后，行走了3千米，請問此時乙所在位置與甲的“方圓十里”的圓的位置關系是什么？

解（1）從情境分析，現以甲所在位置為圓心，半徑等于10千米，而乙距離圓心只有8.5千米，所以乙所處位置在圓內.

（2）同理，乙背離甲行走，行走一段時間后，行走了3千米，此時距甲有11.5千米，則乙的位置在

圓外.

評注該題是針對點與圓的位置關系的判斷，在平常生活中，時常會聽到“方圓十里”這樣的描述，這樣引入“方圓十里”的情境的目的有兩個：一是讓學生進一步理解“方圓十里\"“方圓幾十里”的含義；二是從實際生活引入問題，讓學生對問題產生興趣，引導學生進行探究.

2直線與圓的位置關系

直線與圓的位置關系也是這個章節主要內容之一，直線與圓相交，則涉及弦問題，相切、相離等問題，這方面的數學文化也是有很多的，如我國古代的日咎等，都可以作為教學中引入的數學文化.在題目設置上，可以考慮航海問題.

例2我國有自己的領海區域，也有豐富的海洋資源.為了航海安全，我國在某海域 A 處建立了一座信號塔，其中BC是一條航線， AC=4 海里， BC =3 海里， ∠BAC=90^° ，信號覆蓋范圍為以 A 為圓∴r 為半徑的圓形區域，當信號覆蓋半徑為下列時，過往船只能否接收到信號？

（1）r=2 海里；

（2）r=2.4 海里；

（3）r=3 海里.

解如圖1，過 c 作 AB 的垂線，垂足為 D （1）由已知 ，

根據三角形的面積計算公式，有： 即 3×4=5CD ，解得 ：因為 r=2，2lt;2.4 ，所以此時航線上的船只接收不到信號塔的信號.（2）r=2.4，CD=2.4，r=CD ，所以此時船只航行到 D 處才接收到信號塔發出的信號.（3）因為 r=3，CD=2，4 ， +所以此時船只航行到 D 處的前后1.8海里范圍內能接收到信號塔發出的信號.

評注該題是判斷直線與圓的位置關系的問題，三問分別體現了直線與圓相交，相切和相離的關系.題目是基于現代科技，引入了航海的實際情境.航海是很多同學非常感興趣的話題，以此為文化引入，讓學生深入認識直線與圓的位置關系，從而很好地探究相關知識點.

3圓心角與圓周角

圓心角和圓周角是圓一章的主要知識，在對該知識進行教學時，可以從我國圓形住房建筑，祖沖之的圓周率等數學文化引入.在題目設置上，可以以古代的瞭望塔為背景進行切入.

例3我國古代人們觀察周圍情況是使用瞭望塔的這一工具，通過瞭望塔可以觀察周圍一定范圍的情況.現以瞭望塔為圓 so ，觀測到與塔距離相等的 A，B，C 三點，已知 ∠AOC=∠B ，求 ∠B ·

解如圖2所示，連接 OB

因為 OA=OB=OC=r ，

所以 ΔOAB 和 ΔOBC 都是等腰三角形，

所以 ∠A=∠OBA ，

∠C=∠OBC ，

則 ∠ABC=∠OBA+∠OBC=∠A+∠C

所以 ∠A+∠C=∠ABC=∠AOC

又 ∠A+∠ABC+∠C+∠AOC=360^°

所以 3∠ABC=360^° ，

即 ∠ABC=120^° ，

所以 ∠B=60^° ·

評注該題是考查圓心角與圓周角的問題，在引入問題時，以中國古代的瞭望塔為文化背景.瞭望塔在古代電視劇中經常出現，中國有些旅游景點也還保留著古代的瞭望塔建筑，這樣的文化情境取自身邊，以此引入問題可以引起大家對知識的探究興趣.

4結語

本文通過對魯教版（五四制）教材的研究，結合HPM教學理念，對圓一章的知識進行教學設計，對常規的教學目標，重難點，學情分析等環節沒有過多討論，而是集中在數學文化融入問題中的策略，及答題技巧方面展開探究.主要從點與圓的位置關系，直線與圓的位置關系和圓中的圓周角和圓心角三個方面展開例談，在題目或者教學中融人數學文化之后，可以給學生詳細描述相關數學文化的發展、由來和故事，以引起學生對問題的好奇，并讓學生有研究的沖動和欲望.

參考文獻：

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