一次培養(yǎng)“四基與四能”的探究之旅

強(qiáng)化學(xué)科的育人功能是落實(shí)“立德樹(shù)人”目標(biāo)的基礎(chǔ)，立足“四基”，凸顯“四能”的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)可有效地豐富學(xué)生的活動(dòng)體驗(yàn)，使學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成長(zhǎng)為一個(gè)理性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜?數(shù)學(xué)學(xué)科的“四基”是指數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，“四能”是指學(xué)生通過(guò)個(gè)性化學(xué)習(xí)獲得發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力[1].兩者均為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，其中“四基”的發(fā)展離不開(kāi)師生的積極互動(dòng)與教師引導(dǎo)的適當(dāng)，而“四能”的形成則更加依賴(lài)于學(xué)生的主動(dòng)觀察、探索、思考與反思.筆者以“圓周角”教學(xué)為例，探討如何培養(yǎng)學(xué)生的“四基與四能”，

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.揭示概念發(fā)生過(guò)程，滲透 數(shù)學(xué)思想

教材關(guān)于圓周角的解讀，是以概念的形式呈現(xiàn)的.不少教師在授課時(shí)，直接將圓周角的概念以PPT形式呈現(xiàn)出來(lái)，盡管這種教學(xué)方法也可以讓學(xué)生記住何為圓周角，但很難做到讓學(xué)生“知其所以然”.欲從真正意義上發(fā)展“四基”，就要讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成與發(fā)展過(guò)程，主動(dòng)抽象概念，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì).

師：眾所周知，圓心角是頂點(diǎn)處于圓心位置的角，現(xiàn)在請(qǐng)大家自主在草稿紙上畫(huà)圓心角∠AOB，確保角的兩條邊和圓的交點(diǎn)位置不發(fā)生改變，只改變角的頂點(diǎn)，看看會(huì)形成怎樣的角？

如圖1，學(xué)生自主畫(huà)圖，發(fā)現(xiàn)改變角的頂點(diǎn)位置之后，形成了各種各樣的圖形.教師利用多媒體將學(xué)生自主繪制的圖形進(jìn)行投影展示，并要求學(xué)生對(duì)不同圖形進(jìn)行觀察，提煉它們的共同特征.

生1：在與圓交點(diǎn)不變的情況下，角的頂點(diǎn)位置可以落在圓的內(nèi)部、外部或剛好在圓上.

師：不錯(cuò).不管這一類(lèi)角的頂點(diǎn)處于圓的什么位置，均可獲得無(wú)數(shù)個(gè)角.本節(jié)課我們將重點(diǎn)探索一種特殊的角，即頂點(diǎn)恰好處于圓周上的情況，類(lèi)似于圖1中∠ADB之類(lèi)的角.現(xiàn)在，請(qǐng)大家重點(diǎn)觀察 ∠ADB 嘗試總結(jié)圓周角的概念.

設(shè)計(jì)意圖以“圓心角”作為學(xué)生思維的起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)揮想象畫(huà)圖、觀察，為揭示圓周角的概念奠定基礎(chǔ).鼓勵(lì)學(xué)生類(lèi)比圓心角的概念自主抽象圓周角的概念，這既是推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的手段，又是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行拓展延伸的“源頭”，讓學(xué)生深刻體會(huì)“圓周角”具有的特點(diǎn).如此設(shè)計(jì)，不僅滲透了數(shù)學(xué)類(lèi)比思想，還有效地增加了學(xué)生對(duì)一般到特殊思想的認(rèn)識(shí)，此為發(fā)展“四基”的基礎(chǔ)．

2.逐層遞進(jìn)探索新知，獲得 探究體驗(yàn)

同弧所對(duì)的圓心角與圓周角之間具有怎樣的聯(lián)系呢？此為本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，教師不應(yīng)簡(jiǎn)單地直接給出結(jié)論，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生抽絲剝繭、層層遞進(jìn)地探索與思考，讓學(xué)生親歷觀察、對(duì)比與分析的過(guò)程，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、提出、分析問(wèn)題并獲得豐富的活動(dòng)體驗(yàn)，進(jìn)而真正發(fā)展“四基與四能”.為此，教師可設(shè)計(jì)以下活動(dòng)：

活動(dòng)1探索同弧所對(duì)圓心角與圓周角的關(guān)系

該活動(dòng)的目的在于引導(dǎo)學(xué)生探索圓周角定理.為了夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，讓學(xué)生能夠由淺入深地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，教師可設(shè)計(jì)下列活動(dòng)：

畫(huà)一畫(huà)要求學(xué)生自主畫(huà)出同一段圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角與圓周角.如圖2，學(xué)生根據(jù)自己的喜好，分別畫(huà)出不一樣的圖形.

量一量分別測(cè)量處于不同位置的圓心角以及圓周角的度數(shù)，猜一猜圓心角與圓周角之間有著怎樣的聯(lián)系．

猜一猜經(jīng)過(guò)測(cè)量，學(xué)生通過(guò)對(duì)各組數(shù)據(jù)的觀察與思考，初步形成以下猜想：同弧所對(duì)圓周角度數(shù)為圓心角度數(shù)的

師：這一結(jié)論是否正確呢？

生：我們只測(cè)量了少數(shù)的幾個(gè)圓弧所對(duì)應(yīng)的圓周角與圓心角，而且手工測(cè)量難免存在誤差.因此，想要驗(yàn)證這一猜想是否正確，還需借助其他手段.

師：不錯(cuò).但凡手工測(cè)量，受觀察角度等因素的影響，難免會(huì)出現(xiàn)誤差.為了驗(yàn)證以上猜想是否準(zhǔn)確，我們可以借助什么工具？

生（眾）：幾何畫(huà)板.

教師帶領(lǐng)學(xué)生一起操作幾何畫(huà)板，通過(guò)演示，大家發(fā)現(xiàn)不論圓周角與圓心角的位置在哪里，同一段圓弧所對(duì)應(yīng)的圓周角度數(shù)一定等于這段弧所對(duì)應(yīng)圓心角度數(shù)的一半（見(jiàn)圖3）.

∠AOB=115.32°

∠APB=57.66°

∠APB=0.50

∠AOB

師：根據(jù)以往探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的習(xí)慣，當(dāng)我們獲得某個(gè)猜想時(shí)，除了進(jìn)行直觀演示，還需進(jìn)行怎樣驗(yàn)證？

生：還需要通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明來(lái)驗(yàn)證其正確性.

師：不錯(cuò).關(guān)于同弧所對(duì)的圓周角與圓心角，大家已經(jīng)親歷了畫(huà)圖、觀察、猜想、演示等過(guò)程，相信大家對(duì)結(jié)論已經(jīng)深信不疑.那么，這一結(jié)論又該應(yīng)用哪種數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)規(guī)范書(shū)寫(xiě)呢？

在這個(gè)問(wèn)題的提示下，學(xué)生自主閱讀教材并思考，并以圖2（1）為例，在草稿紙上書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，證明過(guò)程中涉及符號(hào) \"?' ，教師則引導(dǎo)學(xué)生回到教材，探尋此符號(hào)所代表的意義， \"?' 讀作推出，如A?B 則表示根據(jù)條件A推導(dǎo)出條件B.關(guān)于圖2（2）與圖2（3）的證明過(guò)程，則由學(xué)生分組討論，同時(shí)邀請(qǐng)兩名學(xué)生到講臺(tái)上板書(shū)演示證明過(guò)程.

由淺入深的教學(xué)活動(dòng)，不僅有效地滲透了分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸及數(shù)形結(jié)合等思想方法，還引導(dǎo)學(xué)生在探索問(wèn)題時(shí)應(yīng)遵循解決問(wèn)題的一般流程.此外，探索與圓相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，半徑或直徑為常用已知條件，應(yīng)優(yōu)先考慮作輔助線(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生探索問(wèn)題時(shí)，可采取循序漸進(jìn)的方式逐步啟迪學(xué)生的思維，讓學(xué)生在“慢節(jié)奏”的探究中夯實(shí)“四基”，為發(fā)展“四能”創(chuàng)造條件.此環(huán)節(jié)涉及圓周角與圓心角的位置與數(shù)量關(guān)系，教師并未直接給出結(jié)論，而是鼓勵(lì)學(xué)生自主操作、觀察、體驗(yàn)與思考，并借助多媒體技術(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷結(jié)論的形成過(guò)程，在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過(guò)程中完善認(rèn)知，逐步養(yǎng)成填密的思維習(xí)慣.對(duì)學(xué)生的證明過(guò)程，教師應(yīng)進(jìn)行規(guī)范化的指導(dǎo)與思想方法的滲透，逐步提升學(xué)生的學(xué)力，完善學(xué)生的認(rèn)知，發(fā)展學(xué)生的“四基與四能”：

活動(dòng)2探索同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)圓周角大小關(guān)系

此環(huán)節(jié)的教學(xué)目標(biāo)在于探索圓周角定理的推論1，要求學(xué)生在上一環(huán)節(jié)的探索基礎(chǔ)上，結(jié)合圓弧、弦以及圓心角之間的關(guān)系探索相應(yīng)的結(jié)論.為了真正發(fā)展學(xué)生的“四能”，教師在此環(huán)節(jié)應(yīng)將探索的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生.學(xué)生在獨(dú)立思考與合作交流的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在弧相等的情況下，容易獲得圓心角相等的結(jié)論，結(jié)合活動(dòng)1的結(jié)論“同弧所對(duì)圓周角度數(shù)為圓心角度數(shù)的 （20 推導(dǎo)出“同弧所對(duì)的圓周角度數(shù)相等”.至此，學(xué)生的思維越來(lái)越清晰，為了進(jìn)一步夯實(shí)“四基”，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生自主梳理圓中弦、弧、圓心角、圓周角之間的關(guān)系.

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)自主思考與合作交流形成圖4.

設(shè)計(jì)意圖根據(jù)弧相等的條件獲得圓周角相等的結(jié)論比較容易，但教師并未讓學(xué)生的思維止步于此，而是引導(dǎo)學(xué)生做進(jìn)一步的探索，發(fā)現(xiàn)圓周角與其他因素之間的相互聯(lián)系，使學(xué)生經(jīng)歷探究過(guò)程，獲得更多知識(shí)之間的相互聯(lián)系，既實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的融會(huì)貫通，又完善了知識(shí)體系，還發(fā)展了“四基與四能”.

活動(dòng)3探索一個(gè)圓的直徑或半圓所對(duì)應(yīng)的圓周角的度數(shù).

為了進(jìn)一步夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，教師并未作過(guò)多的表述，而鼓勵(lì)學(xué)生自主探索圓周角的取值范圍.學(xué)生在自主畫(huà)圖、觀察、分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn) 0^° lt;圓周角 lt;180^° .這一結(jié)論是否正確？于是，教師引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫(huà)板在黑板上進(jìn)行演示分析，并作如下引導(dǎo).

師：通過(guò)以上探索，大家已經(jīng)明確了圓周角的取值范圍，在這個(gè)范圍內(nèi)，最特殊的一個(gè)角是多少度？

生（眾）： 90^° ：

師：不錯(cuò).那么，在什么條件下圓周角恰好為直角？

生：圓弧恰好與半圓重合，與之相對(duì)應(yīng)的圓周角為直角.

師：不錯(cuò).由此可以獲得什么結(jié)論？

生：半圓或直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角為直角.

師：關(guān)于這個(gè)結(jié)論的逆命題是否成立？

學(xué)生經(jīng)過(guò)思考與分析，一致認(rèn)為逆命題也成立.

設(shè)計(jì)意圖根據(jù)圓周角的取值范圍以及 90^° 圓周角的特殊性，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的理解，也讓學(xué)生逐漸積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)從一般到特殊思想方法的重要性，發(fā)展“四基與四能”.

3.利用課堂拓展機(jī)會(huì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

例1如圖5（1）， AB 是 _?o 的直徑，且 ∠A=30^°，AB=10 ，點(diǎn) C 位于圓上.

（1）弦BC的長(zhǎng)是多少？

（2）圖5（2）中∠ACB的角平分線(xiàn)是 cD ，且與直徑 AB 交于點(diǎn) E 與圓周交于點(diǎn) D ，那么弦 BD 的長(zhǎng)是多少？

（3）觀察圖5（3），將 oD 連接起來(lái)，那么∠CD0的度數(shù)是多少？

（4）請(qǐng)同學(xué)們提出新的問(wèn)題，并自主解決.

前三個(gè)問(wèn)題的解題過(guò)程略.最后一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，目的是激發(fā)學(xué)生的興趣，大家根據(jù)自身的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與興趣，提出了不少問(wèn)題.現(xiàn)將這些問(wèn)題進(jìn)行梳理，總結(jié)為三類(lèi)：

第一類(lèi)關(guān)于求角度的問(wèn)題，比如求∠AEC，∠ACD，∠CEB的度數(shù).

第二類(lèi)關(guān)于求線(xiàn)段長(zhǎng)的問(wèn)題，比如求線(xiàn)段 CE ， OE ， AE 的長(zhǎng)度.

第三類(lèi)關(guān)于求三角形面積的問(wèn)題，比如求 ΔDEB，ΔODE，ΔCEB 的面積.

分析上述三類(lèi)問(wèn)題的解題方法：第一類(lèi)問(wèn)題相對(duì)簡(jiǎn)單，只需從圓周角與圓心角的性質(zhì)著手，再結(jié)合三角形的內(nèi)外角度數(shù)即可解決問(wèn)題；第二類(lèi)問(wèn)題稍有難度，需從勾股定理、角平分線(xiàn)等角度著手；第三類(lèi)問(wèn)題與第二類(lèi)問(wèn)題的解題思路高度一致，同樣需要先獲得長(zhǎng)度，然后獲得面積.

師：現(xiàn)在，請(qǐng)大家以求線(xiàn)段“AE”的長(zhǎng)度為例，說(shuō)說(shuō)具體的解題過(guò)程.

生：如圖6（1），過(guò)點(diǎn) E 作EH⊥BC ，點(diǎn) H 為垂足；作EG⊥AC ，點(diǎn) G 為垂足.根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得結(jié)論 EG=EH

根據(jù) 可知0 同時(shí) AE+ BE=10 ，所以

生：關(guān)于 AE 的長(zhǎng)度，還可以借助直角三角形來(lái)分析.

如圖6（2），過(guò)點(diǎn) E 作 EG⊥AC 點(diǎn) G 為垂足.根據(jù)題意，不難發(fā)現(xiàn)∠A=30^° ， ∠ECG=45^° ： ΔAEG 與ΔCEG 都屬于直角三角形，那么，CG=EG=AE，AG=√3 ，同時(shí) ，那么 ，所以

設(shè)計(jì)意圖基于培養(yǎng)“四基與四能”的課堂拓展，并非單純地提升問(wèn)題的難度系數(shù)，更重要的是融合知識(shí)與方法.在此環(huán)節(jié)，前三個(gè)問(wèn)題由淺入深，起著鞏固學(xué)生“四基”的作用，第四個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題起著發(fā)展學(xué)生“四能”的作用.如此設(shè)計(jì)，既兼顧了本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)、思想方法與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累等，還讓學(xué)生學(xué)會(huì)了自主觀察，獲得了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，實(shí)現(xiàn)了真正的深度學(xué)習(xí)，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定了基礎(chǔ).

教學(xué)思考與感悟

縱觀本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程，教師自始至終都將培養(yǎng)學(xué)生的“四基與四能”放在首位，任何活動(dòng)的開(kāi)展以及問(wèn)題的探索，都緊緊圍繞教學(xué)主題.在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師尤為關(guān)注學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想以及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，并為學(xué)生創(chuàng)造了自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)，使深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生，發(fā)展學(xué)生的“四基與四能”．

總之，立足“四基”，發(fā)展“四能”是核心素養(yǎng)導(dǎo)向下初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一.教師要在理解數(shù)學(xué)、理解教材、理解學(xué)生等方面狠下功夫，多思考、多探索、多實(shí)踐，課堂教學(xué)才能在發(fā)展學(xué)生“四基與四能”方面有新的收獲[2]．

參考文獻(xiàn)：

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[2］王四寶，王磊.立足“四基”凸顯“四能”—“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3）”教學(xué)實(shí)錄與思考［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（17）：4-7.