把握數學實驗的關鍵屬性

數學實驗應具有一些特定的關鍵屬性，如實驗目標的明確性、實驗流程的合理性、數據處理的準確性、結果分析的科學性，以及對數學概念和原理的體現與應用等。明確并探究數學實驗的關鍵屬性，可以助力教師更好地設計和實施數學實驗，促進學生深入理解數學概念、原理和思想方法，提升實踐能力和科學思維。本文以“紙杯\"數學實驗拓展環節為例，探討如何在數學實驗設計與實施中把握其關鍵屬性。

一、理清知識內容，注重實驗目標的明確性

教師設計數學實驗目標時應關注知識的綜合應用，將測量、計算、推導、驗證等探究步驟融為一體，引導學生打通知識之間的關聯，深層次理解數學原理，提升科學探究能力。

“紙杯\"數學實驗拓展環節要求學生通過制作紙杯并測量其容積，探究幾何圖形與函數的關系，深入理解相關數學概念。在設計實驗前，教師必須理清相關知識內容，明確核心問題，細化實驗目標。本實驗的核心問題是如何用一張圓形卡紙制作容積最大的紙杯（圓錐形）。圍繞這個問題，教師設定實驗目標： ① 掌握計算圓錐體積的方法，理解圓形卡紙周長、剪掉的扇形圓心角度數與所圍成圓錐底面半徑和高之間的關系，并將實際問題抽象為數學模型（函數表達式）； ② 通過探究并親手制作體積最大紙杯的過程，培養動手實踐能力、數據分析能力，增強模型意識，體會利用函數尋求最優解的思想； ③ 在小組合作實驗中培養團隊協作能力，在反復嘗試中鍛煉嚴謹求實的科學態度和勇于探索的精神。

教師要在實驗前讓學生明確上述自標，幫助他們了解實驗的知識背景，明確實驗探究的方向，理解實驗的實際意義。

二、體現任務分層，確保實驗參與的有效性

數學實驗既要有一定的挑戰性，能引發學生深入探究，又要兼顧不同層次學生的認知能力和已有基礎。教師可以根據學生的差異化特點和實驗的不同階段，設計基礎、進階、挑戰等層級的任務，助力全體學生逐步深入地有效實驗，獲得學習成就感。

基于圓臺形紙杯體積等于相應大圓錐體積減去相應小圓錐體積，為簡化研究過程，教師引導學生通過研究圓形卡紙所圍成的圓錐體積的大小，探究紙杯容積最大問題。

首先，教師給出基礎任務：每人取一張統一大小的圓形卡紙，先從 30^° 左右、 .60^° 左右 .90^° 左右三個關鍵度數區間中選定一個區間內的一個角度，在圓形卡紙上畫出以這個角度為圓心角的扇形并剪掉，再把剩余部分圍成一個圓錐（圓臺形紙杯所在大圓錐），用量杯向圓錐中注水，測量其容積。各組學生這樣操作后，把剪去的扇形圓心角度數 ∝ 與對應的圓錐容積V整理在表格中。教師匯總各組的數據并呈現在黑板上。

然后，教師給出進階任務：對比觀察數據，尋找其中的規律。學生思考、討論后發現： ∝ 過?。ㄐ∮?0^° ）或過大（大于 80^° ）時，紙杯容積都偏??； ∝ 在50^°～70^° 區間時，紙杯能裝下的水量明顯增多且峰值出現在 ∝ 等于 65^° 左右。據此，他們猜想：若想用這張圓形卡紙做出容積最大的紙杯，理論上應把剪去的扇形圓心角控制在 65^° 左右。

最后，針對學有余力的學生，教師給出高階任務：嘗試探析容積V與扇形圓心角度數 ∝ 的函數關系，確定使紙杯容積最大的扇形圓心角度數。這個任務具有挑戰性，學生需要對實際問題進行數學建模。實際探究中，有的學生主導小組成員根據幾何關系推導公式；有的學生組織小組成員不斷增加數據，進行逼近分析。教師分別予以指導或點撥，引導學生解決問題，在各自水平上獲得提升。

三、規劃實驗流程，關注實驗探究的生成性

教師要合理規劃數學實驗流程，統合觀察、記錄、測算、制作等操作步驟和調校數據、改進方案等實踐環節，引導學生先明確問題、設計方案，再做實驗，然后反思推理、討論驗證，最后形成報告，助推學生更好地解決數學問題，提升科學探究能力。同時，為體現實驗探究的生成性，教師要在既有實驗流程的基礎上，注意捕捉學生實驗過程中生發的新想法并有效引導。

例如，在實驗數據分析階段，一名學生質疑：“為什么剪去的扇形圓心角度數很小時，圍成的圓錐底面積很大，裝入的水量卻不是最多？”教師敏銳捕捉到這個生成性問題，引導學生思考影響其容積大小的因素。經過討論，學生意識到圍成的圓錐的高度和底面積都會影響其容積大?。杭羧サ纳刃螆A心角度數過小時，圍成的圓錐雖然底面積大，但高度矮；剪去的扇形圓心角度數過大時，圍成的圓錐雖然高，但底面積小。學生自主生成的認知，使他們理解了所制作的紙杯容積存在最大值的原因。

四、優化數據處理，提高實驗結果的科學性

首先，教師要求學生用表格規范記錄所剪扇形圓心角度數和圍成的圓錐高度、底面直徑、容積等數值，助力學生發現規律。其次，教師引導學生將收集的數據繪制成圖表，以剪去的各扇形圓心角度數 ∝ 為橫軸、以圍成的圓錐容積V為縱軸作曲線，進而直觀地發現隨著 ∝ 由小到大，圓錐的容積先增后減，并在60^°～70^° 區間的某個點達到峰值，從而獲得確切的證據。如果個別數據偏離整體趨勢，教師就要引導學生分析誤差來源，如制成的圓錐成品尺寸與測算尺寸有差異、測量時讀數不準確等。師生要共同討論改進措施，如重復試驗，取圓錐容積的平均值等。

五、激發創新思維，增強實驗探究的挑戰性

教師在數學實驗中設置開放性問題能增強實驗探究的挑戰性，激發學生的創新思維?！凹埍睌祵W實驗拓展環節通過探究“最優形狀\"的問題，為學生提供挑戰性任務。

探究紙杯“最優形狀”的問題，本質上是尋找紙杯容積（本實驗中看作圓錐容積）的最大值。有的學生起初猜測剪去 90^° 圓心角的扇形可能獲得“最優形狀”，有的學生認為剪去的扇形圓心角度數越小越好。通過實驗操作和數據分析，他們發現起初的猜測不正確，并基于證據逐步修正了觀點。在理論推導階段，學生需要攻克確定“最優扇形圓心角度數”的難題。教師引導他們運用創造性方法尋求答案，如根據更多的實驗數據近似描繪曲線來推測峰值所在圓心角度數范圍，借助計算器在不同扇形圓心角度數下試算容積來逐步逼近最優解等。教師在給予學生適當方法提示的同時，注重培養他們的探索精神，通過鼓勵性評價語幫助其樹立攻堅克難的信心。值得關注的是，部分學生在完成探究任務后主動提出“能否用不同形狀的紙片做類似實驗？如果研究圓臺形紙杯，其‘最優形狀'會怎樣？\"等問題，這體現出學生濃厚的探究欲望和活躍的創新思維。教師給予肯定，并鼓勵有興趣的學生課后繼續探究。

教師應在強調實驗操作規范性的基礎上，引導學生關注數據的準確性，掌握控制誤差的方法，在提高實驗結果科學性的同時，體會嚴謹求證的重要性。

（作者單位：麻城市第六初級中學）文字編輯劉佳