圖形與幾何領域數學實驗設計原則

圖形與幾何領域內容具有較強的可操作性，適合以實驗方式教學。科學合理的實驗設計是確保學生深度參與實驗并達到預期目標的基礎，為引導學生通過實驗方式探究紙杯展開圖的幾何性質，提升抽象、推理、建模等數學關鍵能力，增強實踐能力、創新意識、合作精神、審美素養等，教師基于以下原則設計“紙杯\"數學實驗。

一、以貼近生活為原則選取實驗素材

教師選用日常生活中的常見材料作為數學實驗素材，有助于激發學生的探究興趣，拉近數學與生活的距離。

在“紙杯\"數學實驗中，教師選用紙杯、絲帶、硬紙板、水、計時器等材料構建實驗場景，引導學生通過測量和裁剪紙杯，探究圓臺（截頭圓錐）的幾何性質，并通過紙杯水流實驗建構函數模型，鞏固運用函數知識。絲帶可用于測量紙杯\"底圓\"和\"頂圓”周長及側面上的母線長度。硬紙板可被切割成不同形狀，用于制作錐體模型、間接測量紙杯不同高度的橫截面積及側面展開圖面積。水、量杯、計時器在紙杯水流實驗中用于注水和計時，收集水位隨時間變化的數據。另外，膠帶、剪刀等輔助工具用于固定實驗材料、將實驗材料裁剪成特定形狀等。

二、以多元融合為原則組織實驗內容

數學實驗教學目標不僅關乎數學知識本身，還涉及實驗操作、創意設計等維度。教師對應多維目標設計多元融合的數學實驗內容，有利于激發學生的跨學科思維，提升學生的綜合素養。

在“紙杯\"數學實驗中，學生不僅可以通過動手操作印證抽象的幾何概念，還可以通過創意表達發揮創新潛能。例如，在探究紙杯體積實驗環節，學生要運用幾何知識計算“底圓”周長、“頂圓”周長、圓臺高以及側面積、底面積等，要運用代數方法推導和表達相關計算公式。又如，在水流實驗環節，學生要學會觀察流體速度隨杯內水面垂直高度變化等實驗現象，并將實驗現象轉化為數學問題做進一步研究。具體來說，在水流實驗過程中，學生需要將紙杯視作圓臺幾何模型，先計算其側面積和體積（幾何與代數知識），然后在紙杯底面中心打孔，注水后觀察和記錄紙杯中水位隨時間變化的相關數據（科學探究素養），最后利用數據分析工具繪制“水位-時間\"圖象（數據處理與建模）。在完成水流實驗并掌握圓臺體積計算方法后，為引導學生遷移運用所學知識、經驗，教師可以安排“設計花壇并估算土方量\"實踐任務，要求學生先根據景觀設計要求和場地實際情況，畫出圓臺形花壇的剖面圖（數學與美術融合的創意設計），再利用剛剛掌握的圓臺體積公式計算花壇所需土方量（幾何與代數知識的遷移運用），最后結合園藝與工程因素擬訂施工方案并匯報（實踐能力與表達能力的綜合訓練）。

三、以循序漸進為原則設計實驗步驟

數學實驗探究過程要按照學生的認知水平和知識基礎，由淺入深、循序漸進地展開。如果各實驗步驟涉及的概念跨度過大，就容易導致學生產生迷茫感與挫敗感，不利于實驗的推進。教師只有先讓學生在初步操作和直觀感知中獲得對數學概念的感性認識，再通過討論、推理、驗證、歸納、反思等環節，逐步將感性認識提升為理性認知，才能保證學生的數學思維與知識結構同步升級，從而更好地達成數學實驗目標。以探究紙杯體積實驗環節為例，教師可以將實驗探究任務拆分為如下四個實施步驟。

第一步“直觀感知”，主要任務是觀察與測量。教師可以先引導學生仔細觀察紙杯的形狀，明確它是一個圓臺形物體，也就是被截去頂端的圓錐體，然后引導學生用直尺測量紙杯的幾個基本尺寸（如圖1），包括上底（較大底面）半徑 R 、下底（較小底面）半徑 r ！圓臺高度 h 等。通過初步觀察和測量，學生能推測出圓臺（紙杯）的上底半徑、下底半徑和高都是影響其體積大小的因素。

第二步“直觀認識”，主要任務是動手拆分與特征觀察。教師要指導學生把紙杯的側壁與底面分離，然后將側壁沿豎直方向（母線）剪開并鋪平，形成一個“扇環\"形的平面圖（如圖2）。學生通過觀察可以發現：紙杯側壁展開圖并非普通的扇形，而是由兩個同心扇形去掉重疊部分所形成的“扇環”；“扇環”的內外弧長（ L₂ 和 L₁ ）分別等于紙杯較小底面周長和較大底面周長。這樣的探究過程能讓學生直觀地理解圓臺側面的幾何特征。

第三步“建模準備”，主要任務是明確幾何關系。教師要引導學生通過測量等方法，驗證 ^…L₂=2πr，L₁= 2πR^′ ”，并明確“扇環”的寬度 ξ_l 等于圓臺母線的長度。同時，教師要引導學生明確紙杯的形狀本質上是一個大圓錐截掉上部分小圓錐所形成的圓臺，為下一步公式推導做鋪墊。

第四步“公式推導”，主要任務是用“圓錐體積相減法\"推導圓臺體積公式。教師可以啟發學生根據“圓臺體積 大圓錐體積－小圓錐體積”，自主探究圓臺體積公式。學生可以先在導學單上延長圓臺圖的母線，讓圓臺\"恢復\"為一個大圓錐，設定小圓錐和大圓錐的高度分別為 h₁ 和 h₁+h ，然后計算兩個圓錐的體積，得出 ， ，根據半徑與高度成比例即=?+h 得出 最后根據 ，將 h₁ 代入后化簡得 （2號

在教師引導下，學生通過逐步推導，清晰地認識到圓臺體積公式的推導本質上是“大圓錐體積－小圓錐體積\"的幾何思路。

四、以開放探究為原則深化問題設計

數學實驗教學如果過分拘泥于標準答案，就容易掩蓋探究過程和結果的多樣性，不利于學生創造性思維的發展。教師要把握實驗問題設計的開放性和探究性，尊重學生的個人見解，為他們提供持續嘗試、自由表達的探索空間，鼓勵其差異化探究，在實踐與反思中積累經驗、生成智慧。

在水流實驗環節，教師可以設計開放性問題：“如果在紙杯底部開孔，水從不同高度流出的速度、流盡的時間會有規律嗎？如果有，是什么規律呢？”這個問題具有較強的探究性和開放性，學生可以自主設計實驗方案。學生常常通過以下步驟探究：第一步“猜測”，即根據日常經驗提出水流速度可能與水面高度有關的假設，如水位越高，流速越快；第二步“設計實驗”，在紙杯底部中心打一個讓水可以自然流出的小孔，每次試驗開始前，先向杯中注水至預定的同一初始刻度（如10厘米），再啟動計時器，每次試驗按固定時間間隔（如流水5秒后、流水10秒后、流水15秒后等）分別讀出并記錄剩余水的水位高度，直至水流盡；第三步“收集數據與繪制曲線”，即通過實際操作收集實驗數據，根據數據繪制“水位-時間\"變化曲線，進而發現水位隨時間下降的趨勢并非勻速，而是逐漸減緩；第四步“建立模型”，為近似描述水位高度 h 隨時間 χ_t 動態變化的過程，學生把讀到的“時間 χ_t （秒）-水位 h （厘米）\"數據整理到表格中，以 χ_t 為橫軸、 h 為縱軸在坐標紙上描點、連線作圖。曲線顯示，剛開始水位下降最快，隨著時間的推移，水位下降速度越來越慢，也就是說，水位降低呈“先快后慢”的變化趨勢。

通過上述探究，學生能理解每一時刻的水量 V 可以用圓臺體積公式計算，而水位降低對應體積減小，形成動態函數關系。同時，學生能感悟到“模型近似”的思維，即真正的流體流動是連續而復雜的，我們可以通過分段近似、積分思想簡化問題，獲得逼近實際情況的數學表達。

五、以實踐應用為原則遷移實驗所得

教師可以設計實踐任務，讓學生把實驗所得的知識經驗遷移運用到實際問題解決中，為學生提供學以致用的機會。

“紙杯\"數學實驗完成后，教師可以布置“設計花壇并估算土方量\"實踐任務，先組織學生實地測量校園內圓臺形花壇內部的“底面\"半徑、“頂面\"半徑、高度等參數并拍照記錄，回到教室后，引導學生將測量結果代人圓臺體積公式，計算花壇的容積，然后利用容積數據估算所需的土方量或土壤重量等數據，最后結合土方實際運輸和種植需求等因素，發現計算數值并不等于實際用量，形成“理論計算與實際應用之間可能存在差異”“計算為實際問題解決提供合理依據\"等認識。在測量和計算過程中，學生能體驗到數學不僅僅是抽象的符號，更是解決實際問題的重要工具，從而切身感受到數學模型的應用價值。

“紙杯”數學實驗是一次教學嘗試，教師把抽象的圓臺知識學習過程轉變為有趣的實踐探究活動，充分激發了學生的學習潛能和創造熱情。學生在實踐探索中逐步學會抽象幾何模型并準確求解，增強了邏輯推理與數學表達的嚴謹性；在多次討論與測試中不斷發展合作與溝通能力，形成集思廣益、互相支持的團隊精神；面對操作失誤或計算偏差時持之以恒地改進方案，磨煉了堅韌不拔的品質。

（作者單位：麻城市第六初級中學）