探究換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

解高中數(shù)學(xué)題不僅需要掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，還應(yīng)該掌握必要的解題技巧、方法，加快解題效率.換元法就是高中數(shù)學(xué)題解題中一種十分重要的方法，它可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，幫助學(xué)生快速理清解題思路，用較短的時(shí)間求解出結(jié)果.

1 換元法在三角函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

例1 則 （ ）

思路分析 本例題屬于三角恒等變換中的給值求值問(wèn)題.首先利用輔助角公式求出 ，再令 ，換元，將 用 Ψ_t 表示出來(lái)，再利用二倍角公式求解即可.

解析 由題意可知，

所以sin

所以

即 A

不妨令 ，

則

用 χ_t 代人，

可得 因?yàn)? 所以 所以， 0綜上，選(B).

2換元法在不等式問(wèn)題中的應(yīng)用

例2已知 ，且 5a- 4b?m 恒成立，則 Ψ_m 的取值范圍為（ ）

思路分析本例題考查基本不等式的性質(zhì).通過(guò)觀察條件，可以發(fā)現(xiàn)所給條件分母較為復(fù)雜，所以想到換元.令 a-b=x . a+b=y ，用 x，y 表示 a_λ，b 那么 5a－4b也能用x，y表示出來(lái).再想到與+1相乘，利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)求解即可.

解析 不妨令 a-b=x①，a+b=y②

因?yàn)?a>b>0 .

所以 x>0，y>0

由 ①+② 得， 2a=x+y ，

由 ①-② 得， ?-2b=x-y ，

又因?yàn)?a-b=x，a+b=y 所以 利用\"乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，得

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 y=3x 時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)， ?a+b=3(a-b) ， a=2b ，滿足題意.所以， 5a-4b 的最小值為2，所以， m?2 綜上，選(B).

3換元法在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

例3 已知函數(shù) （1）求函數(shù) g(x) 的解析式；

，若存在 x∈[2，3] 使 f(x)-kx?0 成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍.

思路分析第一小問(wèn)，遇到含有根式的函數(shù)解析式時(shí)，通常可以利用換元法，令 ，以簡(jiǎn)化原函數(shù)解析式，方便求解.第二小問(wèn)，此題要求實(shí)數(shù) k 的取值范圍，可先用分離參數(shù)法，得到 ，再思考，若存在 x∈[2，3] ，使 成立，那 k 只需要大于等于 的最小值即可.要想求 的最小值，可利用換元法，令 （2 ，設(shè) h(m)=m²-4m+1 ，再利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.此時(shí)， k 的取值范圍也就能很快得到.

解析（1）令 則 x=(t-2)² ：

因?yàn)? ，

所以 t?2 ，將 χ_t 代人 可得 g(t)=(t-2)²+2(t-2)+1=(t-1)² ：所以函數(shù) g(x)=(x-1)² ·（2）已知f(x）=g(x）-2x

（2號(hào)因?yàn)榇嬖?x∈[2，3] ，使 f(x)-kx?0 成立，則存在 x∈[2，3] ，使 成

立.分離參數(shù) k ，可得存在 x∈[2，3] ，使

成立.此時(shí)，令 ，由 x∈[2，3] ，得 設(shè) h(m)=m²-4m+1=(m-2)²-3 則函數(shù) h(m) 的圖象的對(duì)稱軸為 m=2 ，圖象開(kāi)

口向上，即函數(shù) h(m) 在 上單調(diào)遞減，所以當(dāng) 時(shí)，函數(shù) h(m) 取最小值 ，所

以 （20

綜上，實(shí)數(shù) k 的取值范圍為

4結(jié)語(yǔ)

總而言之，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要針對(duì)性地訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用換元法解答三角函數(shù)問(wèn)題、不等式問(wèn)題以及函數(shù)問(wèn)題，從而引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握應(yīng)用換元法的技巧和思路，簡(jiǎn)化復(fù)雜題型，逐步加快學(xué)生的解答速度.