聚焦模型本質，關注“四能”發展

數學模型是用數學符號、公式、算法、圖形等對實際問題本質屬性的抽象表達和刻畫，其可以解釋客觀現象，預測發展規律，化解實際問題等.數學模型本質上是數學知識在實際問題或具體情境中靈活巧妙的運用，這種運用經歷了數學抽象、建立模型、推理計算、檢驗與評價的過程.很多學生在面對幾何綜合題時常?？床磺鍐栴}的本質，感到束手無策，換言之，學生難于感知到組成復雜圖形的各要素之間、各要素與基本圖形之間以及基本圖形之間的聯系，從而導致思維混亂，難以突破.與此同時，很多教師在綜合題的教學過程中容易出現就題講題、重解題思路輕梳理和歸納的現象，長此以往將導致學生不能在能力和素養上獲得提高.數學建模能力是數學關鍵能力的構成要素，是聯系數學世界與現實世界的基本橋梁.[發現、提出、分析和解決問題的能力（以下簡稱\"四能\"）是學生“體驗\"模型構建的基本能力，反過來，讓學生經歷建模以及利用模型解決實際問題的過程，感受建模的必要性，把握模型的本質與聯系，可以促進學生“四能”的發展，提升思維品質，內化數學核心素養.

1試題呈現

（2022年無錫市中考數學第18題） ΔABC 是邊長為5的等邊三角形， ΔDCE 是邊長為3的等邊三角形，直線 BD 與直線 AE 交于點 F .如圖1，若點 D 在 ΔABC 內， ∠DBC=20^° ，則 ∠BAF= _；現將 ΔDCE 繞點 c 旋轉1周，在這個旋轉過程中，線段 AF 長度的最小值是

分析：在 ΔDCE 旋轉前后始終有 ΔBDC? ΔAEC（B，D， （204號 C 三點共線除外），則 ∠EAC= ∠DBC=20^° ，故 ∠BAF=80^° .在旋轉過程中，點 D .E 在以 C 為圓心，3為半徑的圓周上運動（如圖2），而點 B，D，F 三點始終共線，故當 BF 與圓 C 相切時，點 F 與點 A 距離最近或最遠.

2提煉標準模型，感悟建模過程

從上題分析中， ΔBDC?ΔAEC 是解決問題的關鍵.學生普通容易得到這個結論，因為題中存在一個如圖3所示的基本圖形，此圖形同時具有以下特點：①ΔABC 與△EDC相似（全等）； ② 兩個三角形有公共點C.圖4、圖5、圖6都有這樣的特點.注意到公共點 C 在各自三角形中扮演的角色相同，如同為直角頂點或等腰三角形的頂點等.此時我們添加輔助線得到圖7、圖8、圖9、圖10，得到 |ΔBDC?ΔAEC. 如果把連線的操作看成是“拉手”，我們不妨稱這樣的模型為“手拉手模型”

在中考二輪專題復習中，教師可以引領學生去研究這個基本模型.為了更直接地把握模型的本質，學生在學習中要關注以下幾個問題： ① 什么樣的圖形可以“拉手”； ② 如何“拉手”； ③ 從手拉手模型中可以推導出哪些結論.第一個問題在上文中已經給出解答.第二個問題指向如何添加輔助線.假設我們站在公共點處，面朝三角形，張開雙臂，在兩個三角形中分別找到對應左臂、右臂的線段，從而找到線段末端對應左手、右手的點，那么按照“左手拉左手，右手拉右手\"進行連線.由手拉手模型（如圖11）不難推導出以下結論： ①ΔBCD 與 ΔACE 全等或相似； ② ∠BCA=∠BFA ·③CF 平分 ∠BFE ④∠BFA 大小為定值.故當 ΔABC 或 ΔCDE 繞點 C 旋轉時，動點 F 在圓弧上運動

3尋找基本圖形，感悟套用模型

美國數學家波利亞（G.Polya）認為中學數學教學的首要的任務就是加強解題訓練.[2]“加強解題訓練\"不是簡單題目的重復練習，亦不是超難題目的暴力灌輸，而是在解題過程中發展學生的思維和“四能”，培養由淺入深的認知發展.標準模型是學生面臨新問題時容易分析、聯想到的原型，在復雜圖形中找出基本圖形，從而提煉數學模型，啟迪解題方向.學生體驗了發現問題和提出問題的過程，由原型遷移、類比、轉化，分析問題并解決問題.

例1如圖12，在 ΔOAB 和 ΔOCD 中， OA= OB， OC=OD ， ∠AOB=∠COD=40^° ，連接 AC，BD 交于點 M ，填空： ： ②∠AMB=

例2（1）如圖13，在 ΔOAB 和 ΔOCD 中，∠AOB=∠COD=90^° ∠OAB=∠OCD=30^° ，連接AC 交 BD 的延長線于點 M_☉ 求 的值及 ∠AMB 的度數.

（2）在（1）的條件下，將 ΔOCD 繞點 O 在平面內 旋轉， AC，BD 所在直線交于點 M. 若 OD=1，OB= ，請直接寫出當點 C 與點 M 重合時 AC 的長.

分析：例1和例2第（1）題易于解決，同時也引起思考“由手拉手模型得到的兩個相似三角形何時全等”.分析可得，當原共頂點的兩個相似三角形均為以公共點為頂角頂點的等腰三角形時，手拉手模型構造出了全等三角形.僅憑想象解決例2第（2）題易導致作圖困難或解題遺漏等錯誤，因此教師需要引導學生進一步分析達到思維突破.當 ΔOCD 繞點O 旋轉時，點 C 和點 M 均在圓弧上運動，兩圓（如圖14）的公共點有2個，故點 C 與點 M 重合的情況有兩種，由此可以作出圖15.兩種情形的作圖不應是教師直接給學生的，而是學生在探究中得到的.在旋轉過程中仍有 ΔOCA～ΔODB ，從而得到 ∠AMB= 90^° .根據這兩個結論便可展開相關計算.如此，學生不僅知其然，更知其所以然，

4根植模型觀念，提升建模能力

共頂點的兩個相似（全等）三角形從動態角度可以看成是一個三角形繞著一個點旋轉，在旋轉過程中三角形的形狀始終不變，大小可以變或不變.學生傾向于研究靜態圖形，所以遇到動態問題時常常化動為靜，手拉手模型便是化動為靜的一個解題思路.除此之外，往往也需要添加輔助線來構造基本圖形以方便解題.構造數學模型的教學應避開重復機械訓練的方式，注重過程性探究，讓學生經歷抽象、推理、構造的過程，加強對模型的深刻理解.

例3 （1）如圖16，已知 ΔABC ，以 AB，AC 為邊向 ΔABC 外作等邊 ΔABD 和等邊 ΔACE ，連接 BE，CD ，證明 BE=CD

（2）如圖17，利用（1）中的方法解決問題：在四邊形 ABCD 中， AD=3，CD=2 0 ∠ABC=∠ACB= ∠ADC=45^° ，求 BD 的長.

分析：第（2）題引導學生仿照第（1）題解決問題，即要求構造基本圖形.筆者執教中發現一些學生不會直接構造，而構造出來的學生是觀察到（2）中ΔABC 是等腰直角三角形，所以嘗試作等腰直角ΔADE （如圖18）與 ΔABC “拉手”，發現 BD=CE ，從而在直角CDE中求 CE 即可求解.以上做法實際上是憑借直覺和經驗做題，并不能說清楚為什么這樣添加輔助線.其實可以進行逆向分析，在圖18中線段BD是求解目標，而作為需構造的基本圖形來說線段BD應該是“牽手”而得，這樣點 D 和點B 應該同為“左手”或“右手”，則線段 AD 和AB同為\"左臂\"或“右臂”，故點A應是兩個相似三角形的公共點，從而推理出要作出以 A 為直角頂點， AD 為直角邊且為“左臂”的等腰直角三角形.細心的學生發現，線段BD也可以看成是以 C 為兩個相似三角形的公共點，線段 CD 和 CB 同為“右臂”連線而得.能有這樣的想法說明學生在探究中對標準模型有了更深刻的認識，思維得到了成長.以直角頂點作為公共點的兩個相似三角形手拉手，這樣更方便作圖，同時也發現構造“手拉手模型”可以將求解目標轉化，是一種間接解決問題的策略.

例4如圖19，四邊形ABCD中，連接 AC ，BD p，ΔABC 是等邊三角形， ∠ADC=30^° ，并且AD=4.5，BD=7.5. 則 CD=.

分析：當題目沒有提示通過構造基本圖形來解決問題時，如何挖掘解題思路呢？不難發現例3和例4中均包含了特殊三角形：等腰直角三角形或等邊三角形，這兩類特殊三角形中都含有相等線段.從動態角度來說兩條相等線段中一條線段繞著公共端點旋轉一定的角度可到達另一條，如圖20中線段AB 繞點 A 逆時針旋轉 60^° 得線段 AC ，那么 _AB 所在 ΔABD 繞點A逆時針旋轉 60^° 得 ΔACE₁ ，這樣便得到以 A 為共頂點的兩個等邊三角形ABC和ΔADE₁ ，從而構造模型來進一步解題.按其他旋轉方式也可以得到如圖21、圖22所示的基本圖形.從動態角度來說，等長線段可以作為旋轉的一個切入點，并以此構造基本圖形；從靜態角度觀察發現，例3和例4中不僅存在等長線段，而且已知長度線段和所求長度線段構成一個似“爪\"的形狀.根據例3中的構造方式，首先需要找到一個目標線段，然后把目標線段置于一個三角形中以尋找相似三角形的公共點和判斷此三角形中除目標線段的另外兩邊同是“左臂”或“右臂”.圖21是將目標線段CD置于ΔACD 中的構造，圖22則是將CD置于△BCD中的構造.由此看出，從動態角度來說由“爪形”可以聯想到旋轉，從靜態角度來說它也是嘗試構造“手拉手模型\"的一個信號.當然目標線段不一定是所求線段，圖20是將BD作為目標線段置于△ABD的添線，但是將所求線段作為目標線段是學生的普遍選擇傾向.

5教學思考

5.1重視常見基本幾何模型的識圖教學

幾何模型是對教材的基本幾何知識和結論作進一步提升或特殊化而得的.雖然基本模型的基礎性和生長性較弱，但是其具有較好的應用性和思維性，是數學解題中學生易于分析、聯想到的原型.幾何問題常常由基本圖形構成，因而對基本模型的掌握有助于解決復雜問題.研究基本幾何模型是學生應用數學知識、獲得數學思想方法、積累基本活動的經驗重要過程，所以教師應引導學生掌握從復雜圖形中分離出解決問題所需的基本幾何模型的能力，將復雜問題簡單化、化未知為已知，凸顯對學生“四能”的培養，

5.2注重教學過程，提升思維能力

教學中研究的“基本幾何模型”是對基本、常見幾何圖形的外延或拓展應用.教師應在不依賴死記硬背、機械模仿、重復操練的前提下，通過對基本模型的研究啟迪學生的解題方向，縮減思維長度.因此，復雜、超難問題的幾何模型和結論不是教師研究的重點，應避免增加學生負擔.建模思想的形成是一個長期且復雜的過程，教師在教學中應引領學生對數學知識、方法、思想、策略等進行不斷地組織和加工.對學生精心培養，將建模思想貫穿教學始終，借助類比、轉化等方法建立起知識間的前后聯系，構建系統性認知結構，在師生共同探究的過程中幫助學生認清模型的本質.

6結語

數學模型的構建過程亦是學生“體驗\"數學的過程.學生在此過程中充分體驗到舊知的喚醒、新知的形成以及新舊知識的整合與升華，體驗到數學的基本思想方法，體驗到數學的理性思考與簡潔表達.數學模型的構建以“四能”為基礎，內化數學核心素養，最終實現學生“四能\"的發展

參考文獻

[1]李賀，張衛明.例談初中生數學建模能力的培養[J].教育研究與評論（中學教育教學），2019（8）：5-9.

[2]波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法M].上海：上海科技教育出版社，2007.