用新課標作導向 以新教材為源泉

作為高三上學期的一次重要模擬演練，2025年八省高考改革適應性考試（以下簡稱八省聯考）備受廣泛關注.此次考試不僅是對學生知識掌握程度的全面檢驗，更是對新高考改革背景下命題趨勢的一次重要探索.本文圍繞2025年八省聯考數學試題進行剖析，從試題結構、典型例題、考查重點、命題特點等方面展開詳細討論，希望能幫助學生更好地適應新高考的要求，提升復習備考效果.

1考試概況

2025年八省聯考于2025年1月3一5日舉行，參加考試的省（自治區）涉及河南、寧夏、山西、四川、陜西、云南、內蒙古和青海，大約有350萬人參加本次考試.這次考試的數學試卷內容緊密圍繞《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》，注重考查學生的基礎知識、基本技能以及綜合能力.試卷符合“依標命題、源于教材”的命題理念，強化與課標、教材的銜接.

2試題結構與典型例題

2025年八省聯考數學試題在結構上延續了2024年新高考卷的常規模式，包括選擇題、填空題和解答題.選擇題和填空題主要考查學生對基礎知識的掌握和運用能力，解答題則更加注重考查學生的邏輯思維能力、解題能力和創新能力.本次數學試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘，試卷共4頁.試卷保持了2024年新高考卷的題型格局和賦分方案，分別為單選題8道（40分）、多選題3道（18分）、填空題3道（15分）、解答題5道（77分）.同時試卷控制和減少了閱讀量，避免了較復雜的運算.試題設計具有較好的區分度，體現了“多考想的、少考算”的理念.

2.1 選擇題剖析

選擇題部分涵蓋了數學的基礎知識，主要考查學生基本的數學素養，包括單項選擇和多項選擇兩種，涉及高中階段學過的重點內容.試題設計靈活多變，既有常規題型，又有創新題型.

例1 （第10題，多選題）在人工神經網絡中，單個神經元輸入與輸出的函數關系可以稱為激勵函數.雙曲正切函數是一種激勵函數.定義雙曲正弦函數sinh ，雙曲余弦函數cosh x= e2+e，雙曲正切函數tanh ，則（ ）.

A.雙曲正弦函數是增函數B.雙曲余弦函數是增函數C.雙曲正切函數是增函數

O 對于選項A，令 f（x）= sinh ，則解析

，所以雙曲正弦函數是增函數，故A正確.

對于選項B，令g（）=cosh ，則 .由選項A可知 g^′（x） 為增函數.因為 ，當 x∈（-∞，0） 時， g^′（x）lt;0 ：當 x∈（0，+∞） 時， g^′（x）gt;0 ，所以 g（x） 在 （-∞，0） （2號上單調遞減，在 （0，+∞ ）上單調遞增，故B錯誤.

對于選項C，有

因為 y=e^2x+1 在 上單調遞增，且 y=e^2x+1gt;1 ，所以tanh x 是增函數，故C正確.

對于選項D，由選項C可知tanh

所以 ，故D正確.

綜上，選ACD.

對于選項A和B，通過求導后即可判斷；對于選項C，借助雙曲正弦函數與雙曲余弦函

數將雙曲正切函數化簡后，結合指數函數的性質即可判斷；對于選項D，借助雙曲正弦函數與雙曲余弦函數，分別將等式左右兩邊化簡即可判斷.

例2 （第8題）已知函數 f（x）=x∣x-a∣- 2a² ，若當 xgt;2 時， f（x）gt;0 ，則 Δ_a 的取值范圍是（ ）.

A. （-∞，1] B.[-2，1] C.[-1，2] D ?[-1，+∞）

當 agt;2，xgt;2 時，有

解析

f（x）=x∣x-a∣-2a²=

當 22+ax-2a² ，此時Δ=a²-4×2a²=-7a²lt;0 ，則 f（x）lt;0 ，不滿足當xgt;2 時， f（x）gt;0 ，故 agt;2 不符合題意.

當 02 時， f（x）=x²-ax-2a²= （x-2a）（x+a）gt;0 ，解得 xgt;2a .當 xgt;2 時，f（x）gt;0 ，故 2a?2 ，解得 0

當 a=0，xgt;2 時， f（x）=x²gt;0 恒成立，符合題意.

當 alt;₀，xgt;2 時， f（x）=x²-ax-2a²=（x- 2a）（x+a）gt;0 ，解得 .當 xgt;2 時， f（x）gt;0 故 -a?2 ，解得 -2?alt;0

解決本題的關鍵是對 a 分類討論，結合因式分解方法求解當 xgt;2 時 f（x）gt;0 的解集.

2. 2 填空題剖析

填空題主要考查學生對數學概念和公式的理解以及運算能力.

例3 （第13題）有8張卡片，分別標有數字1，2，3，4，5，6，7，8，現從這8張卡片中隨機抽出3張，則抽出的3張卡片上的數字之和與其余5張卡片上的數字之和相等的概率為

從8張卡片中隨機抽出3張，則樣本空間中總的樣本點數為 C₈³=56. 因為 1+2+3+4+

5+6+7+8=36 ，所以要使抽出的3張卡片上的數字之和與其余5張卡片上的數字之和相等，則抽出的3張卡片上的數字之和應為18.抽出的3張卡片上的數字的組合有8，7，3或8，6，4或7，6，5，共3種，所以符合抽出的3張卡片上的數字之和為18的樣本點數為3，故抽出的3張卡片上的數字之和與其余5張卡片上的數字之和相等的概率為

0

解題的關鍵在于先寫出基本事件總數 C₈³ ，再求出所有卡片上的數字之和，進而得出抽出的3張卡片上的數字之和應為18，列舉出和為18的3張卡片即可求解.

例4 （第14題）已知曲線 c ，兩條直線 l₁，l₂ 均過坐標原點 O，l₁ 和 C 交于 M，N 兩點，l₂ 和 C 交于 P，Q 兩點.若 ΔOPM 的面積為 ，則ΔMNQ 的面積為

令 ，則 f（x） 的定義域為{x∣x≠0} ，又 -f（x） ，且 f（x） 的定義域關于原點對稱，所以 f（x） 為奇函數，曲線 c 的圖像關于原點對稱.當 時，函數單調遞增，由此畫出曲線 C 的圖像（如圖1）.

綜上， -2?a?1 ，故選B.

因為直線 l₁，l₂ 均過坐標原點 O ，所以 M，N 兩點關于原點對稱， P，Q 兩點關于原點對稱.根據對稱性，不妨設 M，N，P，Q 的位置如圖1所示，則|OP|=|OQ|，|OM|=|ON|，∠POM=∠QON ，所以 ΔOPM?ΔOQN ，故 .又ΔOQM 和 ΔOQN 等底等高，所以 ，故 ：

本題根據曲線的對稱性，充分利用曲線關于原點對稱的性質確定點的對稱關系，這是解題的關鍵.通過對稱關系能夠推導出相關線段和三角形之間的等量關系，為后續計算面積提供依據.

2.3 解答題剖析

解答題部分主要考查學生的邏輯思維能力、解題能力和創新能力.試題設計注重考查學生的綜合能力，注重在知識點的交會處命題，考查學生的知識整合能力、創新思維和解決問題能力.

例5 （第15題）為考察某種藥物A對預防疾病B的效果，進行了動物（單位：只）試驗，得到如表1所示的列聯表.

（1）求 s，t ：

（2）記未服用藥物A的動物患疾病B的概率為p ，給出 p 的估計值；

（3）根據小概率值 α=0.01 的獨立性檢驗，能否認為藥物A對預防疾病B有效？

附： （1）由列聯表可知 s=100+80=180，t= 80+70=150

（2）由列聯表可知未服用藥物A的動物有180只，未服用藥物A且患疾病B的動物有80只，則未服用藥物A的動物患疾病B的頻率為 ，故未服用藥物A的動物患疾病B的概率 Σ_P 的估計值為

（3）零假設 H₀ ：藥物A對預防疾病B無效.由列 聯表可得

根據小概率值 α=0. 01 的獨立性檢驗，推斷 H_o 不成立，即在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，可以認為藥物A對預防疾病B有效.

點本題主要考查學生根據2×2列聯表計算出χ² 的值，然后推斷藥物A對預防疾病B是否有效，但這種推斷可能會出錯.

例6 （第16題）已知數列 {a_n} 中， a₁=3 ！

（1）證明：數列 為等比數列；（2）求 {a_n} 的通項公式；（3）令 ，證明： b_nn+1lt;1

（1）由an+1 得

則

所以數列 是首項為 公比為 的等比數列.

（2）由（1）得 ，解得

（3）由（2）可得

令 ，則 f（n） 在

[1，+∞] ）上單調遞增，故

所以 是單調遞減數列，從而數列 {b_n} 是單調遞增數列，且 b_nlt;1 ，則 b_nn+1lt;1

本題主要考查數列的相關性質，將數列與函數綜合進行考查，對學生的邏輯推理和數學運算素養有一定的要求．

例7 （第17題）已知函數

（1）設 a=1，b=-2 ，求曲線 y=f（x） 的斜率為2的切線方程；

（2）若 x=1 是 f（x） 的極小值點，求 b 的取值范圍.

解析 （1）當 a=1，b=-2 時， （ xgt;0 ，則

令f‘（x）=2，則-x2+2 ，化簡得 3x²-x- 2=（x-1）（3x+2）=0 ，解得 x=1 （負值舍去），此時f（1）=-3 ，則切線過點 （1，-3） .結合切線的斜率為2可知切線方程為 y+3=2（x-1） ，即 2x-y-5=0

（2）由題意可得 f（x） 的定義域為 （0，+∞） ，且 .因為 x=1 是 f（x） 的極小值點，所以 f^′（1）=-1+a-b=0 ，則 a=b+1 ，故

若 b?0 ，令 f^′（x）gt;0 ，得 x∈（0，1） ；令 f^′（x）lt; 0，得 x∈（1，+∞） ，則 f（x） 在（O，1）上單調遞增，在（1，+∞ ）上單調遞減，故 x=1 是 f（x） 的極大值點，不滿足題意.

若 0′（x）gt;0 ，得 x∈（b，1） ；令f^′（x）lt;0 ，得 x∈（0，b）∪（1，+∞） ，則 f（x） 在 （b，1） 上單調遞增，在 （0，b），（1，+∞） 上單調遞減，故 x=1 是 f（x） 的極大值點，不滿足題意.

若 b=1 ，則 在（0， +∞i ）上單調遞減，故 f（x） 無極值，不滿足題意.

若 bgt;1 ，令 f^′（x）gt;0 ，得 x∈（1，b） ；令 f^′（x）lt; 0，得 x∈（0，1）?（b，+∞） ，則 f（x） 在（1，b）上單調遞增，在（0，1）， （b，+∞） 上單調遞減，故 x=1 是f（x） 的極小值點，滿足題意.

綜上，若 x=1 是 f（x） 的極小值點，則 b 的取值范圍為 （1，+∞） ：

本題主要考查曲線的切線方程以及與函數極值點相關的函數單調性問題，對學生的思維能力和運算能力要求較高.

3考查重點與命題特點

2025年八省聯考數學試題在考查重點和命題特點上呈現出以下趨勢.

1）注重基礎知識的考查

試題設計注重考查學生對數學基礎知識的掌握情況和運用能力.無論是選擇題、填空題還是解答題，都涉及了數學的基礎知識.因此，學生在平時的學習中應注重鞏固基礎知識，只有牢固掌握基礎知識，才能在解題時應用自如.

2）強調綜合能力的考查

試題設計注重考查學生的綜合能力，包括邏輯思維能力、解題能力和創新能力.有的題目通過引入新的數學方法與技巧，考查學生的創新思維和解決問題能力.這種綜合能力的考查有助于提升學生的數學素養和解決實際問題的能力.

3）命題形式多樣化

試題設計在命題形式上呈現出多樣化的特點，既有常規題型，又有創新題型.這些創新題型通過引入新概念、情境或問題，考查學生對知識的綜合運用能力和創新思維.同時，試題設計還注重考查學生的信息提取和信息分析能力，如通過圖表、圖像等方式呈現題自信息，要求學生能夠準確提取信息并進行分析和解答.

2025年八省聯考數學試題的剖析表明，試題設計注重考查學生的基礎知識和綜合能力，命題形式多樣化且注重考查學生的數學思維.這些特點對學生復習備考具有重要的啟示意義.學生應注重基礎知識的鞏固和綜合能力的訓練，關注命題趨勢和考查重點的變化，注重解題方法和技巧的總結，加強模擬訓練和實戰演練.

（完）