立足題型策略解讀，應用強化教學探究

三角函數作為高中數學的核心知識點， ω 的取值范圍問題在高考中占有重要地位，它常與函數的單調性、對稱性、最值或極值、零點等知識點相結合，全面考查學生的綜合解題能力．在復習備考階段，需要教師把握問題特點，整合知識，指導解題思路，構建解題策略，

題型解讀，解法探究

1.平移的探究

對于涉及圖象平移的三角函數中 ω 的取值范圍問題，思路構建的關鍵在于結合平移過程探究內在規律，建立平移前后函數圖象與解析式之間的聯系．在教學指導環節，師生需對平移的不同情形進行細致分類，并系統歸納每種情形下的對應規律.

（1）策略解讀

情形1平移后的函數圖象與平移前的函數圖象重合.

破解思路有兩種：一是平移長度是原函數周期的整數倍；二是平移前的函數表達式 -γ=f（x） 與平移后的函數表達式 完全相等.

情形2平移后的函數圖象與平移前的函數圖象對稱.

若兩個函數的圖象關于 x 軸對稱，則對于相同的自變量 x ，平移前的函數值與平移后的函數值互為相反數；若兩個函數的圖象關于 y 軸對稱，則可根據偶函數的特性來提取條件.

情形3平移后的函數經過定點.

若平移后的函數經過定點，解析時則可以將定點坐標代入平移后的函數，從而構建關于a的方程，

（2）解題指導

例1已知函數 （ωgt;0） ，將 f（x） 的圖象向右平移 個單位得到函數 g（x） 的圖象，點 _A，B，C 是 f（x） 與 g（x） 圖象的連續相鄰的三個交點，若 ΔABC 是鈍角三角形，則 ω 的取值范圍是

教學引導：本題是三角函數平移過程中求解 σ_ω 取值范圍的問題.教學的核心要點在于引導學生依據給定的平移條件繪制函數圖象，通過觀察與分析提取圖象特性，進而構建完整、嚴謹的解題思路

根據題設條件可得平移后的函數 ，于是作出兩個函數的圖象（如圖1所示）.

點A，B，C為連續的三個交點（設點B在x軸的下方），點 D 為AC的中點，結合圖象的對稱性可知 ΔABC 為以∠B 為頂角的等腰三角形，則A 1c=T=

根據圖象的周期規律可得cosox= 整理得 所 要使 ΔABC 為鈍角三角形，只需確保∠ACBlt;即可.由于tan∠ACB=BD √3@lt;1，可推得0lt;ωlt;

（3）解后反思

上述例題涉及平移，構建平移前后的函數圖象模型、提取圖象特性是求解關鍵．因此，在教學過程中，應遵循\"模型構建—規律提取一問題轉化\"的邏輯順序，引導學生正確處理平移條件，準確提取關鍵信息.

2.單調性的探究

三角函數屬于周期函數，同時在特定區間內具有單調性，因此，對于與單調性密切相關的 ω 的取值范圍問題，可以根據三角函數的單調性來求解.

（1）策略解讀

在教學“利用單調性求解 ω 的取值范圍\"這類問題時，教師可以先引導學生設定合適的函數模型，再逐步指導學生構建解題策略，幫助學生系統掌握此類問題的求解方法．例如，已知函數 y=Asin（ωx+φ）（Agt;0，ωgt;0） 在區間 [x₁，x₂] 上單調遞增（或遞減），求 ω 的取值范圍，可以按照如下三步解題策略進行求解.

第一步，根據題意可知，區間 [x₁ |x₂] 的長度不應大于函數 y=Asin（ωx+ φ）（Agt;0，ωgt;0） 的最小正周期的一半， ，可得

第二步，以“函數 y=Asin（ωx+φ） （Agt;0，ωgt;0） 在區間 [x₁，x₂] 上單調遞增\"為例，根據正弦函數的單調遞增區間及性質可知， [ωx₁+φ，ωx₂+φ]? 由此解出 ω 的取值范圍.

第三步，結合第一步所求出的 ω 的取值范圍，對 k 進行合理賦值，進而

求解相關問題.

（2）解題指導

例2已知 ωgt;0 ，函數 f（x）=sinωx coswx+cos2ωx在區間 上單調遞減，則 |_ω 的取值范圍為

教學引導：本題是傳統的求解 ω 取值范圍的問題，核心條件是函數f（x）在區間 上單調遞減.鑒于原函數形式較為復雜，在教學指導過程中需著重關注兩個要點：一是指導學生簡化函數，二是把握單調性來等價轉化問題.

首先，簡化函數，即 f（x）=sinωx 由于其在區間 上單調遞減，因此≥ 亞 又 ωgt;0 ，所以 0lt;ω?2

其次，轉化問題．令 則 可將條件轉化為 在區間 上單調遞減．進一步轉化，則為 y=sint 在 新 上單調遞減.

分析可知， y=sint 的單調遞減區間為 所以 由此可得不等式組 解得

（3）解后反思在單調性條件下求 ω 的取值范圍，存在兩大難點：一是復合函數的簡化處理；二是單調區間的分析與運用.在教學指導過程中，教師需著重總結三角函數的化簡技巧，引導學生將單調區間與函數性質相結合，通過提取特殊三角函數，深入分析函數單調性，從而實現問題的有效轉化.

3.對稱性的探究

三角函數具有對稱性，在解決三角函數中 ω 的取值范圍問題時，關鍵在于利用三角函數的對稱性進行問題轉化.在教學過程中，教師應著重指導學生掌握構建函數軸對稱和中心對稱的策略.

（1）策略解讀

實際上，三角函數兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔\"為 ，相鄰的對稱軸與對稱中心之間的“水平間隔\"為 ．上述為（2三角函數對稱性的知識規律，解題時可以根據該對稱性來構建周期T與 ω 的關系，進而探究ω的取值范圍.

（2）解題指導

例3已知函數 f（x）=s sinwx+cosox（ωgt;0） 的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間 內，且兩個相鄰對稱中心之間的距離大于 ，則 ω 的取值范圍為

教學引導：本題的核心條件有兩個，均涉及函數圖象的中心對稱.在教學過程中，應著重引導學生利用三角函數的中心對稱性與周期性之間的關系進行解題策略構建.構建過程可分為兩步：第一步，根據給定條件判斷函數的最小正周期；第二步，依據中心對稱點的橫坐標，探究ω的取值范圍.

簡化函數，得f（x）=sinωx+cosωx= ，已知函數f（x） 的圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離大于 ，則推知其最小正周期 所以0lt;ωlt;3.

由于 ，因此 x= （4k-1）π（k∈Z）.又知函數f（x）的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間 內，則lt;（4h-1）πlt;0可得 又 0lt;ωlt;3 ，且 ω 存在，則 解得 因為 k∈Z ，所以 k=1. 所以， （204

（3）解后反思

上述解題過程充分利用三角函數的中心對稱性與周期性之間的關聯，對給定條件進行了處理.在教學中，可結合具體函數圖象來引導學生總結規律，通過“從特殊到一般”的實例探究，幫助學生充分理解三角函數的對稱性與周期性之間的內在關系.

4.零點的探究

對于涉及零點的三角函數中a的取值范圍問題，求解關鍵在于梳理區間長度與零點之間的內在關系，分情形判斷零點個數.

（1）策略解讀

教學中需要指導學生掌握根據零點個數來推斷 ω 的取值范圍的基礎思路.對于區間長度為定值的動區間，題設一般有兩種情形：其一，區間上至少含有 Π_k 個零點，則需要確定含有 k 個零點的區間長度，通常與周期相關；其二，區間上至多含有 個零點，則需要確定含有 k+1 個零點的區間長度的最小值.

例4若函數 sinwx，且函數 g（x）=（f（x））². -4在區間[0，5π] 內恰有5個零點，則正實數 ω 的取值范圍是

教學引導：本題設定函數 ?_g（x） 在區間 [0，5π] 內恰有5個零點，因此，此題的求解關鍵在于構建零點與對稱區間或周期之間的關系．教學中需要結合圖象來轉化問題，引導學生直觀理解.

根據題意可得 令 ?g（x）=（f（x））²- 4=0 ，則 f（x）=±2. 因為函數 ?g（x） 在區間 [0，5π] 內恰有5個零點，所以函數 在區間 [0，5π] （20內必有5條對稱軸當 0?x?5π 時，有 令wx+ 上恰有5條對稱軸，于是繪制圖2所示的圖象.根據圖象可得 則求得 ω 的取值范圍是

（3）解后反思

上述破解與三角函數零點相關的的取值范圍問題時，構建了零點個數與對稱軸條數之間的關系，實際上就是根據零點個數來推導函數在特定區間內的周期情形.針對該類問題，教學時注意引導學生分析三角函數的周期性，繪制對應的函數圖象.

教學思考，備考建議

1.歸類題型，梳理解法

三角函數中求解ω的取值范圍的問題類型豐富多樣，涉及的知識點廣泛繁雜，具體破解方法與思路存在顯著差異．學生在解題過程中極易出現思維卡頓的情況，這就需要教師結合具體實例進行針對性指導．解題指導建議分兩步開展：第一步，歸納常見題型，深入剖析問題，引導學生精準把握問題條件；第二步，針對不同題型探索、梳理相應解法，引導學生挖掘問題本質，掌握解題思路構建方法，必要時指導學生制定分步解題策略.在梳理解法時，應從題目條件出發，引導學生挖掘核心關鍵信息，建立知識間的內在聯系.

2.思路分析，評價反思

在解題引導環節，教師應注重對學生思維的引導，不必過分拘泥于整個解題過程的細節，而應將教學重點放在思路的構建上，即如何準確解讀核心條件，有效提取關鍵信息，并正確判斷解題的轉化方向.解題教學中建議按照“條件解讀 $$ 信息提取 $$ 關聯分析 $$ 思路構建 $$ 解法反思\"的流程進行，即引導學生從條件中提取關系，從而判斷解題方向.完成解題構建后，建議引導學生深入反思，串聯問題特點與解法，綜合思考解題策略，明晰題目的破解方法

3.變式探究，思維拓展

對于三角函數中求解ω的取值范圍的解法教學中，建議教師合理開展變式探究，拓展學生的思維.變式探究可從兩方面著手：一是解法拓展，引導學生整合解題方法，靈活運用分析技巧；二是題型變式，通過對問題或條件進行變換，鼓勵學生獨立分析，防止思維固化，影響后續學習.在開展變式教學時，要注意合理適度，依據高考大綱設定教學內容，在探究過程中適時提問引導，激發學生思考，培養其獨立解題能力.

結束語

總之，關于三角函數中 ω 的取值范圍的探究，教學關鍵在于引導學生總結解題策略，充分考量問題的多樣性，有針對性地提出解題建議.同時，通過調動學生思維，鼓勵學生積極參與課堂討論，促使學生深入思考，從而自主感知解題策略.此外，還應結合典型實例進行強化訓練，幫助學生鞏固知識、提升解題能力.