指向數學學科核心素養的項目式教學

為了發展學生的數學學科核心素養，落實立德樹人根本任務，教師應不斷更新教學觀念、教學模式和教學手段，從而為拓展學生實踐能力、發展學生數學學科核心素養創造條件.項目式教學是一種以項目為核心，以學生為主體的新型教學模式，注重發揮學生的主動性、創新性和實踐能力，其以實踐性強的特點，正逐漸走進高中數學課堂[1．傳統課堂教學側重于教師的主導作用，卻忽視了對學生實踐能力的培養，導致學生往往被動接受知識，難以形成持續學習的能力.相比之下，項目式教學強調學生主動參與，在教師的啟發和指導下獨立思考、解決問題，并通過與成員協調合作，全程投入項目實踐，以此有效培養學生的綜合能力.在項目式教學模式下，教師不再是知識的灌輸者，而是學生探究路上的組織者、交流者，幫助學生在解決項目的過程中培養實踐能力，發展數學學科核心素養.本文以一道高考題講評為例，探討如何通過項目式教學提高學生的綜合能力和綜合素養.

項目準備

1.確定項目主題

圓錐曲線中與一定點連線斜率和（積）為定值的相關問題，是高考數學的核心考點，也是高中數學教學的難點.這一問題難在計算過程復雜、知識點綜合性強，要求學生具備較強的幾何直覺與計算能力．為突出重點、突破難點，執教者以一道高考題為例，采用項目式教學模式，引導學生獨立思考與合作交流，幫助學生掌握解決此類問題的方法，增強解題信心.

例題已知點 P₁，P₂，P₃，P₄ 的坐標 分別為 四點中恰有 三點在橢圓 c 1

（1）求橢圓 C 的方程；（2）設直線與橢圓 C 相交于A， B 兩點，且直線不經過點 P₂（0，1） .若直線 P₂A 與直線 P₂B 的斜率之和為-1，求證：直線過定點.

解析例題源于2017年高考全國第I卷第20題，第（1）問較為簡單，若學生熟練掌握橢圓的重要性質—對稱性，便能輕松解決此問．第（2）問難度適中，解法靈活多樣．由于選擇不同解法的運算量存在差異，這既有助于訓練學生的運算技能，培養其甄別不同方法優劣的能力，又能促進學生選擇與批判思維的發展[2]．同時，通過對這一典型問題的研究，學生能夠掌握解決此類問題的通用方法，積累豐富的解題經驗，這符合項目化課堂教學模式的研究要求.

2.確定項目目標

（1）通過問題的解決加深學生對相關知識方法的理解，歸納總結解決此類問題的方法，提高學生分析和解決問題的能力；

（2）引導學生經歷問題解決的全過程，鼓勵學生從不同角度分析和解決問題，獲得多種解題方法，并通過多種解法的分析與比較，積累活動經驗，發展數學思維，培養歸納概括能力.

項目實施

第（1）問幾乎所有學生都能給出正確答案，因此教師可以直接呈現結果：橢圓 C 的方程為 -+y2=1.本項目重點聚焦于第（2）問的探究.針對該問題，教師組織學生以小組為單位，在課前開展探究性學習，課中進行集中展示與交流.通過這一方式，充分發揮學生的主體作用，促進學生全面發展.

【課堂展示】

教師讓各組選派代表呈現解題過程，并歸納總結解法的特點、難點及易錯點.

教師讓組1展示解題過程：

生1：設直線 P₂A 與直線 P₂B 的斜率分別為 k₁，k₂（k₁≠k₂） ，則直線 P₂A 的方程為 y=k₁x+1 ，將其與橢圓方程聯立，可得 消去y并整理得 （4k₁²+ 1）x²+8k₁x=0 ，由此得到交點A的坐標為 同理可得交點B的坐標為

若直線的斜率不存在，則 x_A=x_B ， 顯然不符合題意，所以直線的斜率是存在的.因此，直線的方程為 又 k₁+k₂=-1 ，即 k₂=-1-k₁ ，代入上式并整理得 16k₁⁴（y+1）+16k₁²（y+1）+4k₁²（x+ 2y）+4k₁（y+1）+x+y-1=0. 因為 k₁ 有無數多個值滿足該方程，所以 y+1=x+ 2y=x+y-1=0 ，解得 _x=2，y=-1 ，所以直線恒過定點（2，-1）.

小結該方法思路比較簡單，即通過聯立方程求出交點坐標，然后根據兩交點坐標求得直線的方程，最后證明其過定點.

難點如何從直線方程中分析并確定其過定點.

易錯點運算過程過于煩瑣，不僅容易出錯，還可能導致解題中斷.

師：對于以上解法，你們有什么想說的嗎？

生2：以上計算過于煩瑣

師：那么，該運算過程是否可以簡化呢？ （學生積極思考）

生3：可運用從特殊到一般的思想方法，先找出直線AB的兩種特殊情況，其交點即為定點.求出定點后，將該點代入原方程進行驗證，以此簡化運算過程.

師：這是一個不錯的思路，課下請大家按照生3的思路，嘗試簡化這個運算過程.

教師讓組2展示解題過程：

生4：設直線 P₂A 與直線 P₂B 的斜率分別為 k₁，k₂. （20 ① 若直線的斜率不存在，則由題意可設直線的方程為 可知 |t|lt;2 且 _t≠0 ，易求得A，B兩點的坐標分別為 又 k₁+k₂=-1 ，所以 t=2 ，不符合題意，舍去. ② 若直線的斜率存在，則設直線l：y=kx+m（m≠0） ，將其代入橢圓方程并整理得 （4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0， （2Δ=16（4k²-m²+1）gt;0. 設A （x₁，y₁） ，B（x₂，y₂） 貝， （204號因為k1+=-1，所以y1-1+ 又 m≠-1 ，所以m=-2k-1 ，此時 λ=-64k ，存在 使得 Δgt; 0成立．所以，直線的方程為 y=kx- 2k-1. 當 x=2 時， y=-1 ，所以直線過定點（2，-1）.

小結設直線方程，將其代入橢圓方程，利用根的判別式、韋達定理、直線方程，結合已知條件證明直線過定點.

難點方向明確，運算過程嚴謹.

易錯點 ① 解題時容易忽視斜率不存在的情況； ② 將直線方程代入橢圓方程，轉化為一元二次方程后，運用韋達定理時需要驗證判別式大于0，這一過程運算量較大，容易出現計算錯誤.

教師讓組3展示解題過程：

生5：設直線 P₂A 與直線 P₂B 的斜率分別為 k₁，k₂ ，設點A （x₁，y₁），B（x₂ ，（204號 y₂） .由于直線不經過 P₂ ，所以可設直線的方程為 mx+n（y-1）=1（m，n 不全為0），則 又 （x₁，y₁） ， （20（204號 （x₂，y₂） 是方程組 的解，將橢圓方程變形得 2（y-1）=0 ，將直線的方程代人橢圓方程并整理得 2n）（y-1）²=0. 因為 ?_x≠0 ，所以將方程兩邊同時除以 x² 得 設 ，則當 （2m）²-（1+2n）gt;0 時， k₁，k₂ 為方程（ ¹⁺ （204號（20 的兩個根.又 k₁+k₂= -1，所以- 即， 將其代人 mx+n（y-1）=1 并整理得 ?n（x+y- 解得 1

（20 1）gt;0 所以 或 _ngt;0. 由此可知，當 1或ngt;0時，直線過定點（2，-1）.

小結先設不過定點的直線系方程，再將其代入橢圓方程，然后利用韋達定理解決問題.

難點上述設法對思維層次要求較高，不易于想到.

易錯點容易忽略韋達定理的使用條件.

項目評價

師：對于以上多種解法，說說它們有何相同與不同之處

生6：相同之處：解題時都運用了數形結合、方程、化歸與轉化等思想方法，這些都是解決與一定點連線斜率和為定值的相關問題的常用方法.不同之處：解法1直接求出直線與橢圓的交點坐標，進而得出直線方程，通過分析直線方程判斷其是否過定點.解法2和解法3則采用間接設直線方程的方式，運用“設而不求\"的思想，有效簡化了運算過程，顯著提升了解題效率.

師：日后遇到類似題目時，你會選擇哪種方法求解呢？

生齊聲答：解法3.

師：結合解法3，請總結歸納解題的一般步驟.

教師預留時間，引導學生歸納總結解題的基本步驟，從而提煉形成通用的解題策略.待學生完成歸納后，教師及時進行針對性點評，以深化學生對解題策略的理解，提升其靈活運用的能力.

師：若其他條件不變，將斜率之和為定值改為斜率之積為定值，又該如何求解呢？

生7：也可以利用解法3求解，只需將兩根之和轉化為兩根之積即可.

師：很好，通過這樣的拓展，我們就掌握了解決與一定點連線斜率積為定值的問題的方法，實現了從一道題到一類題的推廣.

項目成果是逐漸積淀形成的，它需要學生反思、歸納、感悟與表達因此在項目評價階段，教師要創造機會讓學生自主思考、自主構建，從而掌握解決一類問題的方法，實現知識的融會貫通與內化.

總之，項目式教學有利于突出重難點，促進學生高階思維的發展.通過項目式教學，學生能在獨立思考與合作探究中獲取知識和技能，提煉通性通法，感悟數學思想，進而發展可持續學習能力.

參考文獻：

[1]管慧慧，丁菁，孫風建.高中數學項目式教學的設計與實踐研究一一以《探尋\"距離\"魔鏡中的圓錐曲線之美》為例[J].福建基礎教育研究，2024（1）：49-54.

[2]范海霞，何金春.素養導向下高中數學創造性思維的培養策略[J].安徽教育科研，2023（29）：19-21+27.