巧用轉化思想 弄清運算本質

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出：運算能力是學生學習數學必備的基本技能。在小學階段培養學生的運算能力，是教學的重要目標之一，但數學基礎知識和基本技能的形成不是一蹴而就的，是需要在學生學習的經驗積累中不斷加深，在結構化教學中對原有的知識進行整合重組，感悟數的運算的一致性，循序漸進地引導學生學會運算，能夠準確運算，提高學生的運算能力，促進學生數學思維的發展，形成善于思考問題的品質。

一、化隱為顯，呈現運算本質

在小學數學計算教學中，把抽象的數學運算與直觀形象的圖形聯系，能讓學生做到心中有“數”，見數“思”圖。教學中，學生無論在學習整數加減法，還是小數、分數加減法時，教師都會引導學生去畫圖、實際操作探究算法、表征算理。讓學生經歷用直觀的方式把推理過程與結果畫出來的過程。

如，在教學“異分母分數加減法”一課時，有的學生在探究異分母加法的計算時就能善用、巧用幾何直觀，使抽象的思維方式在“直觀”的數學語言中化隱為顯。讓學生將“通分”這隱性的抽象思維轉化為顯性的幾何直觀，將異分母分數加減法轉化成同分母分數加減法（如圖1）。

在計算教學中，教師常常要借助學生熟悉的圖形、學具、符號等工具，通過實踐操作、語言描述使得抽象的算理可視化，從而幫助學生理解算理，掌握算法，在不同的運算過程、不同的運算對象中理解算理算法，感悟運算的一致性（相同計數單位之間的累計）。讓學生經歷動作表征（實操）→語言表征（邊擺邊說）→符號表征（算式）的算理、算法內化過程，從而提升學生的思維品質。

二、化散為整，弄清運算本質

布魯納認為：學習的實質是一個人把同類事物聯系起來，并把它們組織成賦予它們意義的結構。要求教師著眼于整體，善于對學習內容進行有機整合，進行結構化重組，從而設計有效的教學過程，讓學生基于運算本質的理解展開深度學習，充分感知知識與知識之間的內在聯系，感悟數與運算的一致性，在發展運算能力的基礎上培養數感、符號意識等數學核心素養，促進數學基礎能力的形成。

如，讓我們聚焦小學階段筆算乘法的教學內容，在人教版教材的編排上它分散于三個不同的年級：

雖然在運算編排上具有較強的系統性，學段之間的內容相互關聯，內容由淺入深，呈螺旋式上升，但是由于分散于不同年級，學生可能無法感知知識的內在關聯，無法主動將學過的知識進行遷移，這就不利于數學思維的發展。在學生現有的知識水平上，缺乏對知識的結構化認識，學生對筆算乘法的學習是從“一層”的“多位數乘一位數筆算乘法”跨入到“二層”的“兩位數乘兩位數筆算乘法”與“三位數乘兩位數筆算乘法”。而“二層”的筆算乘法只是數位變多，其算理和算法都是一致的。故此，教師可以嘗試將這一部分的內容進行適當的整合，可嘗試將“二層”的筆算乘法整合成多位數乘兩位數。

教學中，教師引導學生觀察、對比運算過程，體會不同算式之間的內在聯系，讓學生經歷特殊到一般的探索過程，感悟筆算乘法的運算本質是一致的——先分后合，即都是把兩位數拆成一位數和整十數，先用個位上的數去乘多位數，再用十位上的數去乘多位數，最后二者相加，從而提煉出運算法則。

通過計算內容的整合，讓學生用一致性的視角去關聯、遷移、應用知識，在結構化的認知中發展運算能力。為后續學習小數的乘法運算做鋪墊、積累經驗，提供保障。

三、化繁為簡，理清運算本質

小學數學知識間是互相聯系的，任何學習都是建立在已有的知識經驗和認知結構的基礎上進行的。把握“數的運算”內容的脈絡，感悟運算方法的一致性，重要的是幫助學生體會思考問題的方法，積累解決問題的經驗。在計算教學時，教師要有整體的布局，用聯系的眼光看待數的運算。在教學整數運算時是為小數、分數的運算做鋪墊；在教學小數運算時能聯系整數運算，為分數運算遷移做準備；在教學分數運算時，要勾連整數、小數與分數的運算之間的聯系，體驗三者運算的一致性。

如，在教學“兩位數乘兩位數筆算乘法”一課時，在整數乘法算理探究中可以滲透面積模型，在教學14×12 時教師可以用點子圖（如圖2）作為研究載體（實際就是面積模型）。

而這個面積模型也同樣能遷移應用到小數乘法和分數乘法。對比發現，三者算理探究所用的載體是一致的。用面積模型探究乘法算理，在直觀化表達計數單位上很有優勢，從圖中很容易看出新產生的計數單位及其個數。

當學生認識到小數、分數的乘法計數都是基于整數乘法運算后，面積模型能幫助學生從感性的淺層走向理性的深層，深人運算的本質特征，這種算理探究過程中的學習經驗遷移有利于學生進一步感悟運算的一致性。

總之，數的運算是理性的、抽象的、形式化的，教師要幫助學生透過具象化的運算算法、算理呈現，依托直觀、整合、模型化等形式，一次次化隱為顯、化散為整、化繁為簡。從而窺探到運算的本質，使枯燥的運算看得見、道得明、理得清。促使學生全面經歷運算過程，由表及里，深刻把握運算的內涵和本質特點，使學生的運算能力得以自然生長，數學思維逐漸走向深層。