核心素養(yǎng)視域下，數(shù)形結(jié)合發(fā)展小學(xué)生運(yùn)算能力的實(shí)踐

當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)面臨顯著挑戰(zhàn)。盡管教師普遍重視算理講解，但在實(shí)際教學(xué)中仍存在“三重三輕”現(xiàn)象：過(guò)度追求算法多樣化而忽視算理的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，偏重機(jī)械記憶而弱化直觀感知，專注單一技能訓(xùn)練而缺乏綜合應(yīng)用引導(dǎo)。2022年版新課標(biāo)對(duì)此提出明確要求，強(qiáng)調(diào)第一學(xué)段需通過(guò)實(shí)物操作建立數(shù)感，第二學(xué)段應(yīng)用面積模型解釋分?jǐn)?shù)運(yùn)算，第三學(xué)段應(yīng)用數(shù)線模型分析復(fù)雜數(shù)量關(guān)系。這些要求為教學(xué)指明了方向一必須以數(shù)形結(jié)合為紐帶，將核心素養(yǎng)培育滲透于運(yùn)算教學(xué)全過(guò)程，以下是數(shù)形結(jié)合視域下的五維教學(xué)框架實(shí)施路徑。

一、具象建模，建構(gòu)數(shù)的意義系統(tǒng)

具象建模能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)概念轉(zhuǎn)化為具體的、可感知的模型，讓學(xué)生在操作和觀察中，直觀地感受數(shù)的意義和數(shù)量關(guān)系。在學(xué)習(xí)整數(shù)時(shí)，通過(guò)使用小棒、計(jì)數(shù)器等實(shí)物模型，學(xué)生可以清楚地看到數(shù)的組成和變化，從而理解整數(shù)的概念和運(yùn)算。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，利用圖形模型，將一個(gè)圓形平均分成若干份，用其中的幾份來(lái)表示分?jǐn)?shù)，學(xué)生可以直觀地理解分?jǐn)?shù)的意義和大小比較。

具象建模還能夠幫助學(xué)生理解數(shù)的運(yùn)算。在運(yùn)算教學(xué)中，通過(guò)將抽象的運(yùn)算過(guò)程轉(zhuǎn)化為具體的模型操作，學(xué)生可以更好地理解運(yùn)算的算理和算法。在學(xué)習(xí)加法時(shí)，使用小棒將兩個(gè)數(shù)合并在一起，學(xué)生可以直觀地看到加法的意義是將兩個(gè)或多個(gè)數(shù)量合并成一個(gè)總數(shù)。在學(xué)習(xí)乘法時(shí)，利用方陣模型，將相同數(shù)量的物體排列成方陣，學(xué)生可以理解乘法是相同加數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

如，在“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，為了幫助學(xué)生深入理解數(shù)的概念，教師可以設(shè)計(jì)“個(gè)一條一片—塊”立方體模型。在課堂上，教師首先向?qū)W生展示了單個(gè)小立方體，告訴學(xué)生這個(gè)小立方體代表“1”。然后，教師將十個(gè)小立方體連成條狀，讓學(xué)生觀察并思考這個(gè)條狀代表的數(shù)量。學(xué)生通過(guò)直觀地觀察和數(shù)數(shù)，很容易就得出這個(gè)條狀代表“十”。接著，教師又將百個(gè)小立方體拼成一個(gè)平面，形成“百”的模型。學(xué)生看到這個(gè)由眾多小立方體組成的平面，對(duì)“百”的概念有了更直觀的認(rèn)識(shí)。最后，教師將千個(gè)小立方體堆砌成立體模塊，讓學(xué)生感受“千”的大小。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)親手拼插立方體，不僅能夠直觀地看到“滿十進(jìn)一”的過(guò)程，還能通過(guò)觸覺(jué)感知到這種抽象規(guī)則的實(shí)際應(yīng)用。

二、圖形敘事，解構(gòu)算式意義

2022年版課標(biāo)指出：幾何直觀有助于分析問(wèn)題本質(zhì)，明晰思維路徑。圖形敘事正是實(shí)現(xiàn)幾何直觀的有效手段之一。通過(guò)圖形敘事，學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮乃闶揭饬x轉(zhuǎn)化為具體的圖形表征，從而更直觀地理解算式所表達(dá)的數(shù)學(xué)關(guān)系。

如，以分?jǐn)?shù)乘法教學(xué)為例，教師可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“折紙一涂色一分割”的完整過(guò)程：先將長(zhǎng)方形紙橫向四等分取其中三份表示 ，再將涂色部分縱向二等分取一份表征 ，最后計(jì)算重疊區(qū)域占比，得出 的結(jié)論。在此過(guò)程中，動(dòng)態(tài)課件可直觀演示分母相乘的本質(zhì)——橫向分割數(shù)決定列數(shù)，縱向分割數(shù)決定行數(shù)，總份數(shù)即為分母乘積，也就是積的分?jǐn)?shù)單位；分子相乘則計(jì)算的是重疊區(qū)域的份數(shù)，也就是積的分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)。這種雙維度細(xì)分過(guò)程，將抽象的算法轉(zhuǎn)化為可觀察的面積比例變化，使學(xué)生真正理解“分母乘分母確定總份數(shù)，分子乘分子計(jì)算重疊份數(shù)”的算理本質(zhì)。

在這個(gè)教學(xué)案例中，學(xué)生通過(guò)親自動(dòng)手折紙、涂色和分割，以及觀看動(dòng)態(tài)課件的演示，經(jīng)歷了從具體操作到抽象理解的過(guò)程。這種教學(xué)方式不僅讓學(xué)生掌握了分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法，還讓學(xué)生深人理解了算理，培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀能力和邏輯思維能力。通過(guò)圖形敘事，學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮姆謹(jǐn)?shù)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為具體的圖形操作，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提高了學(xué)習(xí)效果。

三、形符互譯，發(fā)展數(shù)學(xué)語(yǔ)言

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，符號(hào)是抽象思維的重要工具，它能夠?qū)⒕唧w的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象和概括，使學(xué)生能夠更簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)思想。通過(guò)形符互譯，學(xué)生能夠?qū)⒅庇^的圖形、實(shí)物等具體形象與抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)建立聯(lián)系，從而更好地理解數(shù)學(xué)符號(hào)的含義和用法。

形符互譯能力的培養(yǎng)需要貫穿各學(xué)段。在低年級(jí)階段，學(xué)生的思維主要以具體形象思維為主，教師應(yīng)注重通過(guò)直觀的圖形、實(shí)物等方式，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)符號(hào)。在教學(xué)數(shù)字時(shí)，教師可以用計(jì)數(shù)器上的珠子來(lái)表示數(shù)字，讓學(xué)生直觀地看到數(shù)字的大小和變化，然后引入數(shù)字符號(hào)進(jìn)行表示。在中高年級(jí)階段，隨著學(xué)生抽象思維能力的逐漸發(fā)展，教師應(yīng)逐步引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用符號(hào)來(lái)表示數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)規(guī)律，提高學(xué)生的符號(hào)應(yīng)用能力。在學(xué)習(xí)方程時(shí)，教師可以通過(guò)具體的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生用字母表示未知數(shù)，然后列出方程來(lái)解決問(wèn)題，從而讓學(xué)生體會(huì)到符號(hào)在數(shù)學(xué)中的重要作用。

如，低年級(jí)教學(xué)“20以內(nèi)加減法”時(shí)，可用小棒操作與數(shù)線圖同步呈現(xiàn)：擺放8根小棒后移除3根，對(duì)應(yīng)數(shù)線上從8向左移動(dòng)3個(gè)單位至5的位置。中高年級(jí)學(xué)習(xí)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，可將 114×23 分解為面積模型：100×20 、 100×3 、 10×20 、 10×3 、 4×20 、 4×3 等不同部分（如下圖），再引導(dǎo)學(xué)生將其與豎式計(jì)算相聯(lián)結(jié)，理解豎式計(jì)算中的相同數(shù)位對(duì)齊原理，從而理解乘法運(yùn)算的本質(zhì)。這種從實(shí)物操作到圖形表征，最終抽象為符號(hào)表達(dá)的過(guò)程，符合學(xué)生“具體一表象一抽象”的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，提高了學(xué)生的形符互譯能力和數(shù)學(xué)思維水平。

四、模型遷移，貫通運(yùn)算體系

運(yùn)算模型庫(kù)的構(gòu)建是實(shí)現(xiàn)模型遷移、貫通運(yùn)算體系的關(guān)鍵。教師需要建立一個(gè)包含基礎(chǔ)模型與進(jìn)階模型的豐富工具庫(kù)，以滿足不同運(yùn)算類型和學(xué)生認(rèn)知水平的需求。

如，在加減法教學(xué)中，計(jì)數(shù)器是一種常見(jiàn)的基礎(chǔ)模型。學(xué)生通過(guò)在計(jì)數(shù)器上撥珠子，可以直觀地看到數(shù)的增加和減少，理解加減法的運(yùn)算過(guò)程。在計(jì)算 3+2 時(shí)，學(xué)生可以先在計(jì)數(shù)器上撥出3個(gè)珠子，然后再撥入2個(gè)珠子，通過(guò)觀察計(jì)數(shù)器上珠子的總數(shù)，得出 3+2=5 的結(jié)果。數(shù)線也是加減法教學(xué)的重要基礎(chǔ)模型，它以數(shù)軸為基礎(chǔ)，將數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，通過(guò)在數(shù)線上的移動(dòng)來(lái)表示加減法運(yùn)算。在計(jì)算5－3時(shí)，學(xué)生可以在數(shù)線上找到5這個(gè)點(diǎn)，然后向左移動(dòng)3個(gè)單位，到達(dá)2這個(gè)點(diǎn)，從而得出 5-3=2 的結(jié)果。

在乘除法教學(xué)中，面積圖和點(diǎn)子圖是常用的基礎(chǔ)模型。面積圖通過(guò)將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的面積計(jì)算，幫助學(xué)生理解乘法的意義。在計(jì)算 3×4 時(shí)，學(xué)生可以將其看作是一個(gè)長(zhǎng)為4、寬為3的長(zhǎng)方形的面積，通過(guò)數(shù)方格的方式，得出 3×4=12 的結(jié)果。點(diǎn)子圖則通過(guò)將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為點(diǎn)子的排列和組合，使學(xué)生更直觀地理解乘法的原理。在計(jì)算 2×3 時(shí)，學(xué)生可以將其看作是2行3列的點(diǎn)子排列，通過(guò)數(shù)點(diǎn)子的數(shù)量，得出 2×3=6 的結(jié)果。

這些基礎(chǔ)模型為學(xué)生提供了多樣化的學(xué)習(xí)工具，幫助學(xué)生更好地理解運(yùn)算的本質(zhì)和規(guī)律。通過(guò)使用這些模型，學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮倪\(yùn)算概念轉(zhuǎn)化為具體的、可感知的形象，從而降低學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)習(xí)效果。同時(shí)，運(yùn)算模型庫(kù)的構(gòu)建也有助于教師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和教學(xué)內(nèi)容，選擇合適的模型進(jìn)行教學(xué)，提高教學(xué)的針對(duì)性和有效性。

五、逆向建構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)形轉(zhuǎn)化意識(shí)

課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：學(xué)生要能夠根據(jù)問(wèn)題情境選擇合理的運(yùn)算策略，這對(duì)學(xué)生的思維靈活性和問(wèn)題解決能力提出了較高的要求。逆向建構(gòu)策略正是培養(yǎng)學(xué)生這種能力的有效途徑，它著重于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化意識(shí)，通過(guò)逆向思維的訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度思考問(wèn)題，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

在學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算時(shí)，學(xué)生通常是從因數(shù)計(jì)算出積，而通過(guò)逆向思維，讓學(xué)生從積和其中一個(gè)因數(shù)反推另一個(gè)因數(shù)，能夠使學(xué)生更加深刻地理解乘法運(yùn)算中因數(shù)與積的關(guān)系。逆向思維還能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決問(wèn)題的能力。當(dāng)學(xué)生面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用逆向思維可以從不同的角度思考問(wèn)題，尋找新的解題思路，從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的效率和靈活性。

如，在計(jì)算 125×8 時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用逆向建構(gòu)的方法，通過(guò)聯(lián)想長(zhǎng)125米、寬8米的長(zhǎng)方形面積來(lái)理解乘法運(yùn)算。教師首先提出問(wèn)題：一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是125米，寬是8米，面積是多少？”學(xué)生們根據(jù)公式，很快得出面積為 125×8 。通過(guò)這樣的聯(lián)想，學(xué)生將抽象的乘法運(yùn)算與具體的長(zhǎng)方形面積聯(lián)系起來(lái)，直觀地感受到了乘法的意義。這種從算式到圖形的逆向思維過(guò)程，不僅讓學(xué)生理解了乘法運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，還培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念和數(shù)形轉(zhuǎn)化意識(shí)。

在核心素養(yǎng)視域下，數(shù)形結(jié)合思想為小學(xué)生運(yùn)算能力的提升提供了理論與實(shí)踐的雙重支撐。教學(xué)中，通過(guò)“具象建模一圖形敘事—形符互譯一模型遷移一逆向建構(gòu)”的五維框架，將抽象的算理轉(zhuǎn)化為直觀的幾何表征，能有效彌合學(xué)生從形象思維到抽象思維的認(rèn)知鴻溝，促進(jìn)學(xué)生對(duì)運(yùn)算本質(zhì)的理解，最終促進(jìn)運(yùn)算能力等核心素養(yǎng)的發(fā)展。