以數學建模探究函數的單調性

摘 要：本文以新能源汽車電池容量研究為載體，通過數學建模方法開展函數單調性教學實踐。構建“數據采集-模型建立-單調性分析-專業應用”四階教學模式，運用Excel、GeoGebra、Python等工具實現數學與專業的深度融合。教學實踐表明，該模式有效提升了學生的數學建模能力和專業應用意識。

關鍵詞：函數的單調性 教學設計 數學建模

當前在高職數學教學過程中存在一定的局限性，數學作為一門公共基礎課程，與各專業實際應用場景的融合度不足[1]。在實際教學過程中，教師往往側重于理論知識的傳授，未能充分挖掘數學知識與不同專業領域的內在聯系，導致學生難以將所學數學知識靈活運用到專業學習中。如何有效把數學這門公共課巧妙融入各專業具體案例，讓學生真切感受到數學對專業學習的支撐作用，從而更好地利用數學知識解決專業問題，提升專業素養與實踐能力，成為亟待解決的關鍵課題。本文將以函數的單調性這一節課為例，來探索數學這門公共課和專業課的融合。本節課的授課對象為新能源汽車專業一年級學生。

1 教學背景與設計理念

1.1 專業需求分析

新能源汽車技術是一個跨學科領域，涉及機械工程、電子技術、材料科學和數學等多個學科[2]。在新能源汽車的研發和生產中，數學知識起著至關重要的作用。例如，在電池性能分析中，通過構建函數，可以了解電池容量隨環境溫度或循環次數的變化趨勢。通過數學建模，可以將復雜的實際問題簡化為數學問題，從而進行定量分析和預測。

1.2 教學分析

《高等數學1》這門課是我校汽車與航空學院的公共必修課，課程所用教材為高等職業教育規劃教材《高等數學》[3]，本次課選自第3章第三節《函數的單調性與極值》。該節授課學時為4學時，本次課為第2學時。

在第1學時中，學生已經學習了函數單調性的基本概念以及函數單調性的判定定理，在本次課中，學生將進一步通過實際案例分析和實踐操作，掌握如何將函數單調性的知識應用到新能源汽車專業的實際問題中。

1.3 學情分析

本次課授課對象為新能源汽車專業一年級學生，他們在學習數學課程時具有以下特點。

（1）學習興趣：學生對新能源汽車專業有濃厚的興趣，但對數學課程的興趣相對較低，尤其是理論知識的學習。他們更傾向于動手操作和實踐應用，希望通過實際案例來理解和掌握數學知識。

（2）數學基礎：學生的數學基礎參差不齊，部分學生在高中階段已經掌握了一定的數學知識，如函數、導數等，但也有部分學生的數學基礎較為薄弱，需要進一步鞏固和加強。

（3）軟件應用能力：學生對計算機軟件有一定的接觸和了解，但在使用數學軟件進行數據處理、建模分析等方面的能力還比較欠缺，需要教師進行指導和訓練。

（4）專業認知：學生對新能源汽車專業的相關知識有一定的了解，但對數學知識在專業中的應用還缺乏深入的認識，需要教師通過具體案例來引導學生認識到數學知識的重要性。

根據《高等數學1》課程標準與新能源汽車技術專業人才培養方案，結合新能源汽車技術未來發展專業人才需求，確定出了知識、能力、素質三維教學目標。知識目標為掌握函數單調性的判定定理；能力目標為能夠將新能源汽車專業中的實際問題轉化為數學問題，建立函數模型并分析其單調性、能夠使用數學軟件進行數據處理和分析，提高解決實際問題的能力；素質目標為通過專業案例分析，培養嚴謹的科學態度與工匠精神。

1.4 教學重難點

根據人才培養方案和課程標準確定了本次課的教學重點，根據往屆學生學習情況和本班學生課前預習結果分析，確定了本次課的教學難點。教學重點為掌握判斷函數單調性的步驟，教學難點為將函數的單調性與新能源汽車專業案例相結合，建立數學模型并進行分析。

1.5 教學策略

（1）數專結合，線上線下混合教學。將專業情境（案例）貫穿整個教學環節，依托平臺，線上線下混合教學，及時發現學生學習問題，調整教學策略。

（2）以學生為中心，開展實驗探究、討論等學習活動。通過專業情境、案例引入，結合與專業情境相關的實際問題，給學生創設自主探究、合作交流的空間，對重點內容再次鞏固，并傳達給學生將專業問題轉化成數學問題的方法。

（3）采用“雙線并行”教學模式：明線為電池容量影響因素探究，暗線為函數單調性知識體系構建。

2 教學實施過程

2.1 問題導入：專業情境創設

（1）播放視頻，激發興趣：播放一段關于新能源汽車發展的視頻，展示新能源汽車在環保、節能等方面的優勢，以及其在未來汽車市場中的重要地位。視頻中還提到了電池技術是新能源汽車的核心技術之一，電池容量的大小直接影響著新能源汽車的續航里程和性能。

（2）引導思考，提出問題：視頻播放結束后，引導學生思考視頻中提到的哪些因素會影響電池容量。學生經過小組討論，得出環境溫度、循環次數等因素會影響電池的剩余容量。教師進一步提問：“如何定量分析這些因素對電池容量的影響呢？”從而引出本節課的主題——函數的單調性。

（3）提供數據，明確任務：教師給出一份通過校企合作得到的關于磷酸鐵鋰電池的電池容量的實驗數據，實驗數據共計248條，3個變量，循環次數、環境溫度和電池容量，代表著在不同循環次數以及環境溫度下電池的剩余容量。教師需要引導學生通過實驗探究這些因素對磷酸鐵鋰電池的容量會產生怎樣的影響。

根據分析樣本數據，得到電池剩余容量為因變量，循環次數和環境溫度為自變量，電池剩余容量受到這兩者的影響，因此根據該樣本可以構建出多個模型，并將模型轉換成相對應的不同任務。

任務一：構建出循環次數為800的電池剩余容量（y）關于環境溫度（x）的函數，并描繪出該函數的單調性。

任務二：構建出環境溫度為20℃時，電池剩余容量（y）關于循環次數（n）的函數，并描繪出該函數的單調性。

任務三：升級難度，將兩個因素結合在一起，研究當循環次數增長時，環境溫度對電池容量的影響。

2.2 數學建模

2.2.1 任務一：環境溫度對電池容量的影響

題目中的數據為離散數據，而溫度是一個連續變量，不能直接得出函數，因此教師提示學生們可以使用擬合來構建函數，在構建函數的過程中，學生發現多種函數均可以用來進行擬合，從而引發思考：如何比較哪種函數更加適合這道題目。通過查閱相關資料，學生們發現可以采用R平方值（也稱決定系數）來進行比較，趨勢線的R平方值等于1或接近1時，其可靠性最高，反之則可靠性較低。在此次實踐的過程中，引導學生思考，如何去進行數據擬合并評價擬合之后的模型。

此次建模過程中，學生們采用了多種方法來構建函數，如用Excel、Python編程、Geogebra繪制曲線等。圖1為部分學生作品展示。

得到建立的函數為：

y=0.0002x3－0.0536x2+2.2589x+71.569

得到函數之后，就可以根據之前的關于判斷函數單調性的理論知識得出結論。結論為：當環境溫度為[－20，24.8）時，電池容量隨著環境溫度的上升而上升，當環境溫度為（24.8，60）時，電池容量隨著環境溫度的上升而下降。

此時可以讓學生上臺講述自己的步驟及結果，并讓其他學生進行評價，在互動的過程中，加深學生們對于函數的單調性的判定步驟的印象。

2.2.2 任務二：循環次數對電池容量的影響

任務一和任務二其實密切相關，有了任務一的操練，任務二可以進一步鞏固學生們使用計算機進行擬合建模的方法和技巧，此時教師可以進行限時任務，完成得最快最好的小組可以進行額外加分。

在建模過程中，學生們會發現使用三次函數進行擬合效果并不很好，教師可以鼓勵學生觀察曲線形態從而選取更加合適的函數，學生們經過思考、小組討論之后會發現三角函數更加適合，從而提高數學建模中模型選擇與優化的能力。下圖2為部分學生作品展示。

學生們構建的函數為：

y=54.505+sin（0.000275x+2.0471）

得到函數之后，學生們可以利用之前學習的知識得出，隨著循環次數的上升電池容量不斷下降，并預測出當循環次數為多少時，電池剩余容量將低于50%，將近報廢。

2.2.3 任務三：研究當循環次數增長時，環境溫度對電池容量的影響

在進行了任務二和任務三的操練之后，學生們了解了數學建模的具體步驟：建立模型、求解模型和模型檢驗，同時也動手實踐了如何使用計算機去進行數學建模。接下來，教師可以將難度進行升級，結合兩個因素，綜合來看，這兩者整體會對電池容量產生什么樣的影響。

因為學生目前不會構建多元函數，教師可以引導學生試著采用其他的方法來探究該問題。由于該問題相對較難，在建模過程中，教師應當加強巡視，主動與學生進行溝通，及時解決學生關于軟件操作上的困難。在師生的共同合作之下，提高學生們對解決復雜問題的能力，即將復雜問題進行分解，分解成簡單問題，并逐一攻破。圖3為部分學生作品展示。

學生們經過了多個任務的錘煉，通過小組討論、查閱資料等多種方式學習了如何將一個專業問題轉化為數學問題，真正見識到了什么是數學建模以及如何用科技手段去求解模型。

3 教學效果

（1）學生的參與度提高。視頻導入、真實案例、動手操作等多種方法提高了學生的學習興趣，打造了有趣的數學課堂，有效地調動了學生的學習積極性，學生在建模過程中切實感受到了數學的有趣，改變了他們對“數學無用論”的認知。

（2）學生的完成度提高。通過教學，學生不僅熟練掌握了求解函數單調性的理論步驟，還提高了將專業問題轉化成數學問題的能力，尤其是任務三，在難度加大的情況下，也能通過教師指導、小組討論等多種方式完成任務。

（3）學生編程技能進階。在學習進程中，學生借助Excel、GeoGebra進行動態繪圖，將抽象數學概念具象化，直觀呈現數據規律與圖形變化；同時投身Python代碼編寫，把想法轉化為可執行程序，解決各類實際問題。

（4）學生的能力素養提高。在建模與解模的過程中，學生得以直面復雜問題，逐步掌握拆解難題、剖析關鍵要素的方法，切實提升解決復雜問題的能力，能力素養也隨之進階。

4 教學反思

4.1 特色與創新

將數學建模[4]與新能源汽車專業深度融合，為學生打開技能提升的新通道。學生不再局限于理論知識的死記硬背，而是在建模實操里，把抽象數學知識具象化，學會用數學思維剖析實際問題、構建模型求解，全方位錘煉邏輯思維、數據處理、問題解決等核心技能，知識運用與遷移能力顯著增強。

4.2 診斷與改進

一是部分學生在軟件操作環節依賴同伴，缺乏獨立探索的能力，可以在課前發布微課進行預習，比如發布擬合算法與軟件操作的短視頻，降低課堂學習門檻。二是部分任務難度較大 ，分層教學不夠理想，可以對于不同學生發布個性化任務，真正讓所有學生都參與課堂中。

5 結論

本課程通過數學建模將函數的單調性理論與新能源汽車電池容量分析緊密結合，實現了“數學為專業服務”的教學目標。未來教學中，可進一步引入機器學習算法（如隨機森林回歸）深化數據分析層次，并通過校企合作獲取更多真實工況數據，提升教學的實效性與行業適配性。

參考文獻：

[1]教育部.職業教育專業教學標準-2025年修（制）訂[EB/OL].（2025-02-11）[2025-03-27].http：//www.moe.gov.cn/s78/A07/zcs_ztzl/2017_zt06/17zt06_bznr/bznr_zyjyzyjxbz/.

[2]王浩，等.動力電池容量衰減建模研究[J].汽車工程，2023（4）：56-61.

[3]劉艷，羅星海.高等數學[M].上海：上海交通大學出版社，2020.

[4]戴明強，宋業新.數學模型及其應用（第2版）[M].北京：科學出版社，2015.