“數”“形”并重，解決數軸動態問題

【摘要】數軸中動點問題的考查，將數軸與行程問題結合，綜合性較強，試題難度較大，不少學生在做此類題目時容易出現漏寫某種情況的現象，因此需加強學生對該部分知識內容的掌握.本文列舉兩道習題，分別是求運動的時間問題以及中點問題，且均需要分情況討論.通過以上問題的學習，期望能夠幫助學生更好地理解數軸動態問題，找尋到解題的關鍵之處，進一步促進學生數形結合思想、方程思想等數學學科素養的提升.

【關鍵詞】數軸；動點；初中數學；解題方法

1"求運動的時間問題

例1"如圖1，在數軸上，點A對應的數是－3，點B對應的數是16，兩動點M，N同時從點O出發，點M以每秒1個單位的速度沿數軸向點B運動；點N以每秒3個單位的速度沿數軸向左運動，到達點A后停留1秒，再從點A沿數軸向右到達點B后停止運動.設點M的運動時間為t（0lt;tlt;16）秒.

（1）當t=1時，線段MN的長為_____（直接填空）；

當t=3時，線段MN的長為_____（直接填空）；

（2）在運動過程中，當點M與點N重合時，求t的值；

（3）當線段MN的長為7時，直接寫出t的值.

分析策略"本題考查數軸上動點有關的運動時間問題，設問難度逐步提升，尤其第（3）問.由題目設問內容首先知道M，N兩動點運動的速度與方向不同，要注意區分；且點N在沿數軸向左運動到達點A后需停留1秒再繼續運動.

第（1）問較為簡單，不做過多贅述.

第（2）問，方法1：當點M與點N重合時，一定是N點運動的路程大于M點運動的路程，且多的部分即為點N從O點運動到A點，再由A點運動到O點的距離，是6個單位，因此等量關系可以表示為SN－SM=6；方法2：當點N從第3秒開始以每秒3個單位的速度由A點向B點運動時，N點表示的數是－3+3（t－2），M點表示的數是t，當兩點重合時，此時－3+3（t－2）=t.

第（3）問，需要考慮的情況有：當點N向點A運動時；當點N在點A處停留時；當點N從點A向點B運動，且點N沒有追上點M時；當點N從點A向點B運動，且點N追上點M，但點N未到達點B時；當點N從點A向點B運動，點N到達點B時.該問需分情況討論，學生極易忽視.

解題過程"（1）當t=1時，點M向右運動到表示1的點，點N向左移動到表示－3的點，

此時MN=1－（－3）=4；

當t=3時，點N因在點A處停留1秒，故點N運動到點O，點M運動到表示3的點，

此時MN=3－0=3.

（2）法1：等量關系為SN－SM=6，

因點N在點A處停留1秒，所以點N運動的路程為3（t－1），

因此可列出等式，3（t－1）－t=6，所以t=9/2.

法2：當點N從點A向點B運動時，點N表示的數是點－3+3（t－2）=3t－9，M點表示的數是t，所以3t－9=t，解得t=9/2.

（3）①當點N從點A向點B運動，且點N追上點M，但點N未到達點B，

此時列出等式，3t－9=t+7，解得t=8.

②當點N到達點B后，此時點N表示的數是16，M表示的數是t，

列出等式為，16=t+7，解得t=9.

因此當線段MN的長為7時，t的值為8或9.

（此處省略不符合題意的情況）

2"求中點問題

例2"數軸上兩點A，B對應的數分別為－1，4，點P為數軸上一動點，其對應的數為x.

（1）若點P到點A和點B的距離相等，求點P在數軸上對應的數.

（2）數軸上是否存在點P到點A和點B的距離之和為7？若存在，求出x的值.若不存在，請說明理由.

（3）當點P以每分鐘1個單位長度的速度從點O向左運動時，點A以每分鐘4個單位長度的速度向左運動，點B以每分鐘12個單位長度的速度向左運動，它們同時出發，幾分鐘后點P到點A和點B的距離相等？

分析策略"本題涉及數軸上與動點有關的中點問題，首先畫出數軸圖，輔助解題.解題的關鍵在于能夠熟練應用數軸上兩點間的距離公式，及能夠根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，并求解.

第（1）問，若點P到點A和點B的距離相等，即當點P對應的數與－1，4差的絕對值相等；

第（2）問，與（1）相同，若點P到點A和點B的距離之和為7，則點P對應的數與－1，4差的絕對值之和為7，同時在解這個絕對值方程時還需用到“分段法”輔助解決；

第（3）問，情況1：當點A和點B不重合時，由于點P的速度小于點A的速度，所以點P不能超過點A，而點P到點A和點B的距離相等，所以點B不能超過點P.設t分鐘時點P到點A和點B的距離相等，此時點P對應的數為－t，點A對應的數為－1－4t，點B對應的數為4－12t，因此BP，AP的距離便可表示出來，列出方程求解即可.情況2：當點A，點B重合時，也符合題目要求.按照上述步驟列式計算即可.

解題過程"畫出數軸圖，如圖2.

（1）由點P到點A和點B的距離相等，

則x－（－1）=4－x，

解得x=1.5，

所以點P在數軸上對應的數是1.5.

（2）因為點P到點A和點B的距離之和為7，

列方程為，"x－（－1）"+"x－4"=7，

當xlt;－1時，－x－1－x+4=7，解得x=－2；

當－1lt;xlt;4時，x+1－x+4=7，無解；

當xgt;4時，x+1+x－4=7，解得x=5，

所以存在點P到點A和點B的距離之和為7，點P對應的數為－2或5.

（3）①當點A和點B不重合，且點P在點A與點B之間時，

設t分鐘時點P到點A和點B的距離相等，

根據題意有，4－12t+t=－t+4t+1，解得t=3/14.

②當點A和點B重合時，

設t分鐘時點P到點A和點B的距離相等，

此時列方程為，－t+4t+1=－t－4+12t，解得t=5/8.

綜上，當經過3/14分鐘或5/8分鐘時點P到點A和點B的距離相等.

3"結語

由此，數軸動態問題的解決，一般需要以下幾個步驟：首先，借助數軸圖確定動點及動點個數；其次確定動點的起點、終點及運動速度；接著，設出動點的運動時間，寫出點的表達式；然后，用時間表示兩點間距離；最后，根據題目要求列出方程并求解.因此，要求學生在日常練習中，嚴格按照以上步驟解決問題，多多積累，加深對數軸動點問題的掌握，學會多角度思考問題，促進自身數學學科思維能力的提升與數學學科素養的養成.