勾股定理常見題型分析與探究

摘要：勾股定理是初中幾何中的重要定理之一，在數學解題和實際應用中有著廣泛的應用.勾股定理溝通了數與形之間的關系，能夠考查學生對數形結合思想的運用，深入理解和掌握勾股定理對于學生的數學學習和能力提升至關重要.本文中重點探究了勾股定理的常見題型，介紹了一些常見題型的解題思路，并例舉實例進行講解，以幫助學生在解勾股定理問題上更加得心應手.

關鍵詞：勾股定理；常見問題；初中幾何

1 勾股定理與構造直角三角形問題

勾股定理是解決三角形中線段問題最常用的知識點之一，但往往所遇問題的圖中沒有明顯的三角形，或沒有含特征線段的直角三角形，則需要我們靈活添加輔助線，構造出滿足條件的直角三角形[1].

例1如圖1所示，有一塊形狀不規則的土地ABCD，已知∠B=∠D=90°，AB的長為20 m，BC的長為15 m，CD的長為7 m，請計算這塊土地的面積.

解：連接AC，則這塊土地的面積為兩個小三角形面積之和.

在Rt△ABC中，AB=20，BC=15，由勾股定理得

AC=AB2+BC2=25.

在Rt△ACD中，AC=25，CD=7，由勾股定理得

AD=AC2-CD2=24.

所以S四邊形ABCD=12AB5BC+12AD5CD=12×20×15+12×24×7=234.

故這塊土地的面積為234 m2.

2 勾股定理與幾何體表面距離最短問題

解決幾何體表面距離最短的問題時，通常先將幾何體表面展開，轉化為平面展開圖中兩點之間的最短距離問題，然后構造出直角三角形，運用勾股定理或者等面積法求解[2].

例2如圖2所示，桌面上有一個圓柱形罐子，已知罐子的底面周長為12，高為5，一只螞蟻從罐子底部點A出發，環繞罐子爬到了點A的正上方點B處，求螞蟻的最短爬行路程？

解：如圖3，將圓柱的側面沿AB剪開鋪平，則四邊形AA′B′B為長方形，且AB=A′B′=5，AA′=BB′=12.

連接AB′，當螞蟻沿AB′爬時，爬行路程最短.

在Rt△AA′B′中，有

AB′=AA′2+A′B′2=122+52=13.

故螞蟻的最短爬行路程為13.

3 勾股定理與實際問題

利用勾股定理解決實際問題時，往往已知條件和待求的未知量的關系不會很明顯，解題關鍵是找出直角三角形，設出合適的未知數，然后圍繞直角三角形三邊之間的數量關系，運用勾股定理尋找相等關系建立方程，通過解方程來解決問題.

例3在池塘中有一根垂直豎立著的竹竿，竹竿頂端高出水面30 cm，突然一陣大風將竹竿吹歪，使得竹竿的頂端剛好與水面平齊，若竹竿的頂端水平移動了60 cm，求池塘水的深度.

解：如圖4所示，設池塘水深為h.

根據題意，在Rt△ABC中，AB=h，BC=60，AC=h+30.

由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，即（h+30）2=h2+602.

解得h=45.

所以池塘水的深度為45 cm.

4 勾股定理與翻折問題

解決翻折問題時，也常常會運用到勾股定理.解決這類問題，首先要弄清翻折前后邊、角的對應情況，不可錯亂，尤其是涉及到求線段長度時，將待求線段或角與已知線段、角歸結到一起，便可通過勾股定理列方程求未知線段的長，使問題得以解決[3].

例4如圖5，已知長方形ABCD的邊AB長為6，BC長為10，折疊BC邊使得點B落在AD邊上的點F處，折痕為CE，求EF的長.

解：由于FC是由BC翻折所得，根據題意可得Rt△FEC≌Rt△BEC.

所以EF=BE，FC=BC=10.

而在Rt△CDF中，CD=AB=6，則

DF=CF2-CD2=102-62=8.

所以AF=AD-DF=10-8=2.

設EF=x，則EB=x，AE=6-x.

在Rt△AEF中，由EF2=AE2+AF2，得

x2=（6-x）2+22.

解得x=103，即EF=103.

例5如圖6，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB的長為6，BC的長為9，將△ABC折疊，使點C與AB的中點D重合，折痕與邊AC相交于點M，與邊BC相交于點N，求線段BN 的長.

解：因為D是AB中點，AB的長為6，所以可得AD=BD=3.

由折疊可得DN=CN.

所以BN=BC-CN=9-DN.

在Rt△DBN中，由勾股定理得

DN2=BN2+DB2.

所以DN2=（9-DN）2+9，解得DN=5.

所以BN=4.

5 勾股定理在網格（數軸）中的應用

（1）運用勾股定理作長為n（n為大于1的整數）的線段

實數與數軸上的點是一一對應的，但在數軸上直接標出無理數對應的點較難，此時可以借助勾股定理作出線段.

例6在數軸上作出表示20的點.

解：如圖7所示，首先畫出數軸，在數軸上找出表示4的點A，即OA=4，然后過點A作直線l垂直于數軸，在l上取點B，使AB=2，最后連接OB，以點O為圓心，OB為半徑作弧，弧與數軸的正半軸交于點C，點C即為表示20的點.

（2）運用勾股定理求正方形網格中的線段長

正方形網格中的每一個角都是直角，正方形網格中的計算可以歸結為求任意兩個格點之間的距離問題，一般情況下都是應用勾股定理進行計算，關鍵是確定每一條邊所在的直角三角形.

例7已知正方形網格的每個小正方形的邊長都是1，AB的長為22，BC的長為13，AC的長為17，請在網格中畫出格點三角形ABC，并求出S△ABC.

解：因為（22）2=22+22，所以AB可以看作是以2為直角邊長的等腰直角三角形的斜邊.

又（13）2=22+32，所以BC可以看作是以2，3為直角邊長的直角三角形的斜邊.

又（17）2=42+12，所以AC可以看作是以4，1為直角邊長的直角三角形的斜邊.

因此求作的三角形ABC如圖7所示，且S△ABC=4×3-12×4×1-12×2×2-12×2×3=5.

勾股定理是初中數學中最基礎的定理之一，但學生在運用勾股定理實際解題時常常會遇到一些困難.因此，廣泛了解與勾股定理相關的常見題型，掌握其常用的解題思路和技巧，可以讓學生對勾股定理有更深刻的理解和認識，在遇到相關問題時會更加從容不迫，突破在實際解題運用上的困難.

參考文獻：

[1]魏建輝.利用勾股定理求幾何體表面兩點之間的最短距離[J].數理天地（初中版），2022（8）：78.

[2]卜建紅.初中數學平面幾何題型解決策略——以“勾股定理”為例[J].數學之友，2023，37（3）：7475，79.

[3]陳峰.“勾股定理”的常見題型[J].中學生數理化（八年級數學）（配合人教社教材），2023（Z2）：2021.