微探垂徑定理在解決圓問題中發揮的作用

摘要：垂徑定理是歷年中考的必考內容，或以選擇題、填空題的形式出現，或以解答題的形式出現，總體難度較小.可以說，垂徑定理在解決與圓有關的問題中發揮著重要作用.本文中在剖析例題的基礎上嘗試探究在圓中可用垂徑定理解決何種問題，從而一方面幫助學生掃清易錯點，另一方面拓展解題思路.

關鍵詞：圓；垂徑定理；作用；分類討論

課本中對垂徑定理的描述比較簡單，雖然“垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧”只有二十一個字，但高度概括了垂徑定理的本質，可謂極具邏輯性.筆者認為，學生在應用垂徑定理解決與圓有關的問題時，不僅要注意垂徑定理是在圓的軸對稱性基礎上提出的，抓住這一點就可以準確區分“是直徑平分弦且平分弦所對的弧”等，而且要注意直徑和弦的主次關系，于是就可以深入理解“是直徑平分弦，不是弦平分直徑”.具體要夯實如下理論基礎：

首先，把握圓的“對稱美”，牢牢抓住垂徑定理的理論背景.圓不僅是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.如圖1所示，AB是⊙O的直徑，沿著CD將⊙O翻折一部分，使得A點落在A′處.此時，如果連接A，C，A′，D四點，結合圓的對稱性，易得四邊形ACA′D是菱形，所以AB⊥CD，且AB平分CD.進一步連接OC和OD，易證得∠AOC=∠AOD，∠BOC=∠BOD，于是有AC=AD，BC=BD.

其次，在垂直平分線的性質的基礎上理解垂徑定理.事實上，垂徑定理中“直徑平分弦”的本質就是垂直平分線的性質.根據這一點，就明確了直徑與弦的主次關系，即直徑平分弦，而不是弦平分直徑，這是許多學生易錯得“AP=OP”的根源所在.

夯實基礎是靈活運用的基礎，所以在牢固掌握垂徑定理后，才能正確運用于解決問題中[1].垂徑定理在與圓有關的問題中發揮的作用主要體現在以下兩個方面.

1 利用垂徑定理進行計算

例1已知⊙O的半徑為13 cm，弦AB∥CD，AB=10 cm，CD=24 cm，則AB，CD之間的距離為（）.

A.17 cm B.7 cm C.12 cm D.17 cm或7 cm

分析：由于AB，CD在⊙O中的位置關系有兩種，即在圓心的同側或異側.若在同側，則它們的距離應為圓心到兩弦的距離之差；若在異側，它們的距離應為圓心到兩弦的距離之和.如圖2所示，過點O分別作AB，CD的垂線，垂足分別為E，F，延長OF與A′B′相交于點M，易得OM⊥A′B′.連接OA，OC，則OA，OC是⊙O的半徑.根據垂徑定理可得AE=12AB=5 cm，CF=12CD=12 cm.然后在Rt△AOE，Rt△OCF分別根據勾股定理得到OE，OF的長.

解：由于AB，CD在⊙O中的位置關系有兩種，即在圓心的同側或異側，如圖2中AB∥CD或A′B′∥CD.過O點分別作AB，CD的垂線，垂足分別為E，F，延長OF與A′B′相交于點M，易得OM⊥A′B′.連接OA，OC，則OA，OC是⊙O的半徑.

（Ⅰ）當AB∥CD且在點O的異側.

∵OE⊥AB，OF⊥CD，

AB=10 cm，CD=24 cm，

∴AE=5 cm，CF=12 cm.

∵⊙O的半徑為13 cm，

∴OA=OC=13 cm.

在Rt△AOE，Rt△OCF中，根據勾股定理，可得OE=12 cm，OF=5 cm.

∴AB，CD之間的距離EF=OE+OF=17 cm.

（Ⅱ）當A′B′∥CD且在點O的同側.

∵OF⊥CD，OM⊥A′B′，

A′B′=10 cm，CD=24 cm，

∴A′M=5 cm，CF=12 cm.

∵⊙O的半徑為13 cm，

∴OA′=OC=13 cm.

在Rt△COF，Rt△A′OM中，根據勾股定理可得OF=5 cm，OM=12 cm.

∴AB，CD之間的距離MF=OM-OF=7 cm.

綜上所述，AB，CD之間的距離為17 cm或7 cm.

故選答案：D.

點評：本題主要考查了垂徑定理，同時考查了勾股定理及分類討論思想.在圓中解決有關弦的問題時，往往先過圓心作該弦的垂線段，將圓心和弦的一個端點連接后可構造出直角三角形，如此就將垂徑定理和勾股定理完美結合了起來［2］.另外，如果弦的位置不明確，那么需注意分類討論，以防漏解.

2 利用垂徑定理進行證明

例2（2022·湖北黃岡）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，BC與過點A的切線EF平行，BC與AD相交于點G.

求證：AB=AC.

分析：BC與過點A的切線EF平行，所以AD⊥BC，根據垂徑定理可證得BG=CG.接著，可利用全等三角形或垂直平分線的性質、等腰三角形的判定定理證得AB=AC.

證明：∵AD是⊙O的直徑，

EF為⊙O在點A處的切線，

∴AD⊥EF.

∵BC∥EF，

∴AD⊥BC.

∴BG=CG.

∴BC的垂直平分線一定是AD所在的直線.

∴AB=AC.

點評：本題的證明思路多種多樣，且難度較低，把握“AD是⊙O的直徑，BC與過點A的切線EF平行”是關鍵.從解題過程來看，垂徑定理不僅可與勾股定理結合，還可與具有對稱性的圖形結合，如等腰三角形等.由此進一步說明了“把握圓的‘對稱美’，牢牢抓住垂徑定理的理論背景”以及“在垂直平分線的性質的基礎上理解垂徑定理”的重要性.

以上兩道例題的分析展現了垂徑定理在與圓有關的問題中發揮的兩個作用——計算與證明.縱觀2022年的中考數學試題，南充、云南、長沙、北京、黃岡、瀘州等地相繼出現了與垂徑定理有關的計算與證明問題，說明學生在解題時靈活應用垂徑定理尤為重要.這就啟示著教師在授新課或復習課中要注意以下幾個方面：

首先，垂徑定理在一定程度上體現出了圓的“對稱美”，所以教師在新授課或復習課中不能忽視培養學生的“美感”.待學生的“美感”建立后，就會由對稱聯想到弦被平分、弦所對的弧被平分，繼而與一系列和對稱有關的知識點聯系起來，如等腰三角形、垂直平分線等.如此一來，學生可在較短時間內避免“弦平分直徑”的錯誤[3].

其次，建立知識網絡，發揮由點帶面的作用，提高知識理解與應用的效率.從上述兩道例題的解析過程可以看出，垂徑定理被用于計算或證明與圓有關的問題時，往往會與諸多知識點產生聯系，如勾股定理、等腰三角形等.這其中，只要有一個知識點學生尚未理解與掌握，就無法順利解決問題[4].所以，夯實知識基礎、建立知識網絡尤為重要.本文建議，教師在講完例題或習題后，可和學生一起將該題中運用的知識點盡可能地羅列出來，并復述這些知識點的內容.久而久之，學生就學會了“分解”問題，并各個擊破.

最后，在計算與證明的過程中，難免會遇到多種情況存在于同一個問題中，此時就需要借助分類討論思想予以解決.如例1中的AB和CD兩條線段，學生極有可能遺漏其中的某一種情況.這就是思維定勢限制了學生思維的發展，使得發散性思維難以形成，分析問題具有片面性[5].為此，教師可在畫好圓之后，可用兩根木棒代表AB和CD兩條線段，讓學生思考木棒的擺放位置并上講臺展示.可能有的學生將之擺放在圓心的同側，而有的學生將之擺放在異側，這時候，學生的思維定勢得到了突破.

總而言之，雖然垂徑定理發揮的作用主要體現在計算和證明兩方面，但中考考查的形式多種多樣.雖然垂徑定理的考查難度并不高，但與之結合的知識點卻非常多.所以，教師的教學不能局限于解題，而應幫助學生發散思維.

參考文獻：

［1］石高安.數形結合，例談垂徑定理在圓問題中的高效作用[J].數理化解題研究（高中版），2013（4）：1011.

［2］程艷.再談垂徑定理及其應用[J].中學數學，2019（4）：1416.

［3］徐亞飛.如何用垂徑定理解有關圓的問題[J].語數外學習（初中版下旬），2014（12）：60.

[4]華騰飛.垂徑定理與推論 巧解圓題有妙用[J].數理化學習（初中版），2018（12）：4344.

[5]姜秀敏.深入題目本質，避免題海戰術系列談之一——垂徑定理及其推論的應用小妙招[J].數學學習與研究，2022（5）：6567.