基于數(shù)學(xué)實驗的高中立體幾何深度學(xué)習(xí)研究

摘"要：數(shù)學(xué)實驗在高中立體幾何教學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用.本文以“直線與平面垂直”教學(xué)為例，基于動態(tài)數(shù)學(xué)觀，研究設(shè)計了影子模擬、圓錐形成、折紙驗證等數(shù)學(xué)實驗，通過問題驅(qū)動、實驗探究和技術(shù)輔助等策略，構(gòu)建了“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的教學(xué)模式，實現(xiàn)從靜態(tài)到動態(tài)、抽象到直觀的教學(xué)轉(zhuǎn)變，為立體幾何教學(xué)提供了創(chuàng)新模式，對促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)具有重要啟示.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實驗；動態(tài)數(shù)學(xué)觀；教學(xué)設(shè)計

1"問題的提出

數(shù)學(xué)觀的演進(jìn)呈現(xiàn)出從靜態(tài)到動態(tài)的發(fā)展.傳統(tǒng)的靜態(tài)數(shù)學(xué)觀側(cè)重關(guān)注思維、論證與結(jié)果，而動態(tài)數(shù)學(xué)觀則將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)視為一個包含試誤和改進(jìn)的動態(tài)發(fā)展過程.^［1］然而，受傳統(tǒng)觀念的影響，當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)仍然沿襲傳統(tǒng)講授式，強(qiáng)調(diào)靜態(tài)的、絕對主義的教學(xué)觀，過分關(guān)注邏輯思維訓(xùn)練，忽視了觀察、猜想、實驗等數(shù)學(xué)教學(xué)活動.特別是在立體幾何等抽象度較高的內(nèi)容教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常表現(xiàn)出對空間關(guān)系的直觀感知不足，難以建立深層次的概念理解，使學(xué)習(xí)過程呈現(xiàn)出“獲取—存儲—復(fù)現(xiàn)”的簡單機(jī)械模式.

實際上，縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展的過程，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不只局限于邏輯推理，也是一門實驗科學(xué).正如歐拉所說：“數(shù)學(xué)既需要觀察，也需要實驗”.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標(biāo)2017版》）強(qiáng)調(diào)：“引導(dǎo)學(xué)生在背景和過程中主動探究、認(rèn)知建構(gòu)、理解結(jié)論.”^［2］

數(shù)學(xué)實驗強(qiáng)調(diào)動態(tài)的數(shù)學(xué)觀，可復(fù)現(xiàn)知識產(chǎn)生的背景與發(fā)展，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的活動中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、掌握數(shù)學(xué)知識、體會數(shù)學(xué)思想方法，從而改變學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的偏見，發(fā)自內(nèi)心地認(rèn)同數(shù)學(xué)是有趣、鮮活、有價值的.

2"數(shù)學(xué)實驗的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)實驗是一種融合手腦并用“做”數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動，是學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)思維引導(dǎo)下，利用各種實驗工具進(jìn)行的以動手操作、合作交流為特征的數(shù)學(xué)探究或數(shù)學(xué)驗證活動.^［3］其本質(zhì)是以問題為導(dǎo)向，以結(jié)果為目標(biāo)，通過實驗探究活動實現(xiàn)過程與結(jié)果、思維與操作的辯證統(tǒng)一.它將“做中學(xué)”的理念具象化，使抽象的數(shù)學(xué)知識變得可感知，促進(jìn)學(xué)生通過直觀體驗理解數(shù)學(xué)本質(zhì).

在深度學(xué)習(xí)視域下，數(shù)學(xué)實驗教學(xué)成為一種將抽象數(shù)學(xué)理論直觀化、可視化的有效教學(xué)方式.其獨(dú)特之處在于將知識的發(fā)現(xiàn)與探索過程以外顯、直觀的形式呈現(xiàn)出來，體現(xiàn)了發(fā)展性與過程性特征.學(xué)生通過實驗活動，將動作思維與邏輯思維相結(jié)合，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的生成過程，感悟知識的發(fā)生機(jī)制.這種親身體驗的學(xué)習(xí)方式使得新知識能夠更加穩(wěn)固地融入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而優(yōu)化知識系統(tǒng)，強(qiáng)化知識的靜態(tài)特征.

在立體幾何教學(xué)中，數(shù)學(xué)實驗的重要性尤為突出.實物模型操作、計算機(jī)模擬等實驗方式為學(xué)生提供了直觀感知空間關(guān)系的機(jī)會，有利于克服空間想象的困難，促進(jìn)學(xué)生對立體幾何核心概念的深入理解和掌握.鑒于此，本文以人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊》中“直線與平面垂直”的教學(xué)為例，探討如何借助數(shù)學(xué)實驗教學(xué)促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

3"教學(xué)設(shè)計

3.1"教學(xué)策略分析

本節(jié)課以“直線與平面垂直”為研究對象，采用問題驅(qū)動與數(shù)學(xué)實驗相結(jié)合的教學(xué)方法，以恰當(dāng)?shù)膯栴}為紐帶，基于現(xiàn)實情境，為學(xué)生營造自主操作、合作交流的學(xué)習(xí)空間，滲透直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

教學(xué)策略1：以問題驅(qū)動課堂，培養(yǎng)理性思維.

本節(jié)課著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問題情境，由循序漸進(jìn)、螺旋上升的問題貫穿，以具體實例體現(xiàn)直線與平面垂直—如何定義直線與平面垂直—如何判定直線與平面垂直為主線，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物本質(zhì)的科學(xué)精神和理性思維.

教學(xué)策略2：以實驗活躍課堂，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

對于線面垂直的定義，借助影子模擬實驗和圓錐形成實驗，從正反兩方面說明線線垂直與線面垂直的關(guān)系.對于線面垂直的判定，進(jìn)行探究實驗，猜想線面垂直的判定條件，再通過折紙實驗，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作、觀察、思考、歸納，使學(xué)生始終呈現(xiàn)積極主動的學(xué)習(xí)狀態(tài)，深刻體會“做數(shù)學(xué)、玩數(shù)學(xué)”的樂趣.

教學(xué)策略3：以技術(shù)輔助教學(xué)，降低思維難度.

本節(jié)課充分利用了GeoGebra軟件，動態(tài)模擬圓錐的形成過程、三角形折紙過程，讓學(xué)生在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上進(jìn)行理性思考，逐步培養(yǎng)學(xué)生空間觀念，提高空間想象能力.

教學(xué)策略4：以情境豐富課堂，實現(xiàn)立德樹人.

創(chuàng)設(shè)嫦娥六號火箭發(fā)射、日晷影子情境，弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感與愛國主義情懷.通過講述歐幾里得在《幾何原本》中對直線與平面垂直的定義，滲透數(shù)學(xué)文化，感受立體幾何研究貫穿古今的震撼.

3.2"教學(xué)過程設(shè)計

（1）情境導(dǎo)入，提出問題.

如圖1所示，在2024年5月3日，中國探月工程嫦娥六號成功登月，開啟了世界首次月球背面探索之旅.

問題1"空間圖形是對現(xiàn)實世界的抽象，圖1體現(xiàn)了直線與平面怎樣的位置關(guān)系？

追問1"直線與平面垂直在日常生活中存在許多，大家還能列舉出線面垂直的實例嗎？

追問2"在日常生活中，我們對線面垂直大多是感性的認(rèn)識，如何將直觀的形象數(shù)學(xué)化？

【設(shè)計意圖】借助最新火箭發(fā)射的情境，旨在引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，啟發(fā)他們從真實情境中抽象出數(shù)學(xué)問題.同時，介紹嫦娥六號探月工程有利于落實立德樹人的根本任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感，堅定愛國主義情懷.

（2）抽象出直線與平面垂直的定義.

實驗1：影子模擬實驗.

問題2"利用信息技術(shù)呈現(xiàn)我國古代的計時儀器——日晷（如圖2），介紹其基本結(jié)構(gòu)和計時原理，并思考晷針與晷盤之間有什么位置關(guān)系呢？

追問"隨著太陽的東升西落，晷針與晷面上的影子是什么關(guān)系？

師生活動：教師通過動畫影子模擬實驗（如圖3），學(xué)生觀察后容易發(fā)現(xiàn)與晷面上影子所在直線相交垂直，于是得到結(jié)論1：如果一條直線與平面垂直，則該直線與平面內(nèi)和它相交的所有直線都垂直，簡單概括為：如果線面垂直，那么線線垂直.

【設(shè)計意圖】將日晷與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，創(chuàng)設(shè)文化情境，體現(xiàn)了我國古代天文學(xué)的輝煌成就，為數(shù)學(xué)課堂增添了人文色彩.

實驗2：圓錐形成實驗.

問題3"如圖4、圖5所示，在直角三角形ABC旋轉(zhuǎn)變化過程中，你能發(fā)現(xiàn)其中的不變量嗎？圓錐的軸與底面是什么關(guān)系呢？

師生活動：利用GeoGebra軟件動態(tài)模擬圓錐的形成過程易發(fā)現(xiàn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直角邊AC和BC始終相交垂直，所形成的圓錐，其軸與底面垂直.進(jìn)而得到結(jié)論2：如果一條直線垂直于平面內(nèi)與它相交的所有直線，則該直線與平面垂直，簡單概括為：如果線線垂直，那么線面垂直.

問題4"定義具有充分必要性，根據(jù)上述兩個實驗，你能嘗試給出直線與平面垂直的定義嗎？

師生活動：根據(jù)影子模擬實驗和圓錐形成實驗，學(xué)生能夠給出直線與平面垂直的初步定義：如果一條直線與平面內(nèi)和它相交的所有直線都垂直，則該直線與平面垂直.這正是歐幾里得在《幾何原本》中給出的線面垂直定義，學(xué)生體會到用“線線垂直”來刻畫“線面垂直”，體現(xiàn)了空間問題平面化的思想.

問題5"如圖6所示，晷針與晷面內(nèi)與它不相交的直線是否垂直？如何完善歐幾里得對線面垂直的定義？

師生活動：對于平面內(nèi)任意不過點P的直線a，總可以在平面內(nèi)找到一條過點P的直線b，使得a∥b.根據(jù)異面直線垂直的定義可知，晷針與晷面內(nèi)的任意一條直線都垂直.于是得到完整的直線與平面垂直的定義（見表1）.

【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是動態(tài)發(fā)展的，即包含嘗試、錯誤和改進(jìn)的過程.通過具體實驗，讓學(xué)生仿若數(shù)學(xué)家一般體驗發(fā)現(xiàn)、探索定義的過程，把直觀、模糊的感知抽象化，逐步建立起數(shù)學(xué)對象的概念，體會定義的雙向性.

（3）探究直線與平面垂直的判定定理.

問題6"古人在建造日晷時，如何既簡便又準(zhǔn)確地判定晷針與晷面垂直呢？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生類比面面平行判定的研究方法（如圖7），將研究平面內(nèi)的“任意一條直線”轉(zhuǎn)化為研究“有限條直線”，進(jìn)而化繁為簡.

【設(shè)計意圖】從判斷晷針與晷面垂直的實際需求出發(fā)，說明探究線面垂直判定定理的必要性.通過引導(dǎo)學(xué)生類比面面平行判定的研究方法，在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)組織教學(xué)，有助于提升學(xué)生的邏輯推理能力.

實驗3：探究實驗.

問題7"已知直線與平面內(nèi)的幾條直線垂直時，才能判定線面垂直？

師生活動：數(shù)學(xué)講究簡潔美，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論，探究已知直線與平面內(nèi)的1條直線、2條平行直線、2條相交直線的垂直情況，學(xué)生可借助現(xiàn)有工具（三角尺、課本）進(jìn)行實驗操作舉出反例或正例（如圖8、圖9、圖10）.

猜想：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與平面垂直.

實驗4：折紙實驗.

準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，過△ABC頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD， CD與桌面接觸）.

思考：如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？為什么？

師生活動：通過小組合作探究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)折痕AD是BC邊上的高線時，AD垂直于桌面.由于翻折后的紙片開口大小是任意的，故BD， CD可表示桌面內(nèi)所有過點D的直線.又因為AD⊥BD，AD⊥CD，于是滿足歐幾里得的定義，進(jìn)而滿足線面垂直的定義.同時探究AD⊥C′D，AD⊥EF，C′D∥EF，但得不出線面垂直的過程.教師借助GeoGebra軟件動態(tài)呈現(xiàn)上述過程（如圖11），歸納總結(jié)線面垂直的判定定理（見表2）.

【設(shè)計意圖】折紙實驗創(chuàng)建了驗證直線與平面垂直的直觀模型，通過操作確認(rèn)展示判定定理的探究過程，利于發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).同時，在教學(xué)中注重傳統(tǒng)教學(xué)與信息技術(shù)的融合，有利于提高教學(xué)效率.

問題8"如何進(jìn)一步說明判定的合理性，一條直線垂直于平面內(nèi)兩條平行直線為什么無法判定線面垂直？

【設(shè)計意圖】根據(jù)《課標(biāo)2017版》，線面垂直的判定定理不要求證明.因此，在實踐操作的基礎(chǔ)上，簡單地通過平面向量基本定理對直線與平面垂直的判定定理的正確性進(jìn)行說明，體現(xiàn)了思辨論證的重要性.

4"教學(xué)反思

4.1"遵循幾何對象的研究路徑

在數(shù)學(xué)對象的研究過程中，要逐步形成“研究對象在變，研究套路不變”的數(shù)學(xué)探究方法.通過類比面面平行的研究方法，引導(dǎo)學(xué)生探索線面垂直的研究路徑，使其經(jīng)歷“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的立體幾何基本研究過程，宏觀把握全局，學(xué)會研究幾何對象的基本“套路”，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)線面垂直性質(zhì)、面面垂直積累了豐富的活動經(jīng)驗.

4.2"增添動態(tài)操作的數(shù)學(xué)實驗

數(shù)學(xué)實驗融合了動手操作與動腦思考，為學(xué)生營造了全面發(fā)展的學(xué)習(xí)環(huán)境.通過影子實驗、圓錐形成實驗和折紙驗證等多樣化的實踐活動，學(xué)生不僅直觀感受空間關(guān)系，還在分析、抽象和推理過程中實現(xiàn)從“線性思考”到“立體思維”的轉(zhuǎn)變.這種教學(xué)方式將教材中的完美結(jié)論還原為其原本的發(fā)展形態(tài)，使學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中深入體會知識的來源和演進(jìn)，激發(fā)探索樂趣.學(xué)生從可視化內(nèi)容入手，通過構(gòu)建新知識與已有經(jīng)驗的關(guān)聯(lián)，逐步抽象出數(shù)學(xué)概念、定理，實現(xiàn)了操作與思維的有機(jī)結(jié)合，深化了對空間幾何概念的理解，并為知識遷移和進(jìn)階學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，有效促進(jìn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

4.3"強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化的滋養(yǎng)滲透

《課標(biāo)2017版》強(qiáng)調(diào)：“教師應(yīng)有意識地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中.”^［4］通過引入數(shù)學(xué)史元素，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)家探索定義的過程，培養(yǎng)其理性思維和科學(xué)精神.同時，巧妙運(yùn)用火箭發(fā)射、日晷等富有文化內(nèi)涵的數(shù)學(xué)元素作為載體，以潤物細(xì)無聲的方式滋養(yǎng)學(xué)生心靈，充分落實了數(shù)學(xué)教育中立德樹人的根本任務(wù)，真正實現(xiàn)了知識傳授與價值引領(lǐng)的統(tǒng)一.

參考文獻(xiàn)

［1］喻平，董林偉，魏玉華.數(shù)學(xué)實驗教學(xué)：靜態(tài)數(shù)學(xué)觀與動態(tài)數(shù)學(xué)觀的融通［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015（1）：26-28.

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