構造法在初中數學解題中的應用

摘要：在初中數學教學中，解題方法的多樣性與創新性對學生數學素養的培養十分關鍵.構造法作為獨特的數學解題方法，能幫助學生更好地理解數學概念，解決實際問題，提高邏輯思維能力.基于此，筆者采用案例教學法，分析構造法的內涵、解題原則及在初中數學教學中的作用，并通過構造幾何圖形、函數關系、反例等案例展示構造法的具體解題思路.研究表明，構造法不僅能夠簡化數學問題的解答過程，而且還能夠培養學生的創新思維與知識轉化能力.

關鍵詞：構造法；初中數學；解題；應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）08-0008-03

收稿日期：2024-12-15

作者簡介：黃晚玉，本科，從事初中數學教學研究.

基金項目：廈門市直屬中小學2021年度課題“基于數學閱讀的初中數學復習導學案研究”（編號：ZSX2021003）.

在初中數學教學中，構造法作為一種重要的解題策略，展現出了獨特優勢與廣闊的應用前景.它通過引入輔助元素或建立新的數學關系，可將復雜的數學問題轉化為簡潔易解的形式，從而提高解題效率.這種方法不僅能夠鞏固學生對數學基礎知識的掌握，更能培養學生的創新思維與邏輯推理能力.在初中數學解題中應用構造法，可以提升學生的解題能力、邏輯思維能力及知識轉化能力.基于此，筆者系統闡述構造法在初中數學解題中的應用，以期為初中數學教學提供理論支持.

1構造法的內涵

構造法是一種在數學中廣泛應用的解題策略，要求學生在解決問題的過程中主動構建數學模型，以揭示問題的本質與解決路徑.構造法強調從問題的具體情境出發，根據已知信息，通過邏輯推理與數學工具構造出解題所需的數學對象.構造法不僅是一種技術手段，更是一種思維訓練，它能夠培養學生的抽象思維能力，使學生能在面對復雜問題時，能夠給出創新解法.在初中數學教學中，構造法可應用于幾何、代數、函數等多個領域，通過構造線段、角度、函數模型等，學生能夠更深入地理解數學概念，提升解題的直觀性與有效性.除此之外，在構造過程中，構造法也可促使學生不斷檢驗，調整解題思路，有助于學生深刻理解問題，提高數學學習效果.

2構造法的解題原則

2.1熟悉化原則

熟悉化原則要求學生通過仔細審題、深入分析題目給定的條件與結論，發掘已知條件與所求結論及已學知識之間的關聯.在解題過程中，學生要聯想到相關的數學概念，構造相應的數學模型簡化問題.

2.2直觀性原則

直觀性原則強調通過構造函數、方程等，使問題條件與結論之間的關系直觀明了，從而揭示數學問題的內在聯系.直觀性原則有助于學生直觀地看出解題路徑，理解問題的核心.

2.3簡單性原則

簡單性原則是指學生在構造模型時，應避免構造過于復雜的數學對象，選擇可以簡化問題的簡單模型.簡單性原則旨在保持解題過程的高效性，避免因構造復雜的模型而使得問題更加難以解決.

2.4相似性原則

相似性原則鼓勵學生分析題目中的已知條件與所求結論，基于相似外顯特征，聯想并構造與之相似的模型，如方程、函數、不等式等，以方便解決問題.相似性原則利用學生已掌握的知識，通過類比推理，找到解決問題的切入點，從而提高解題效率[1].

3構造法在初中數學解題教學中的作用

3.1有利于培養學生的解題能力

構造法在初中數學解題教學中的應用，有助于培養學生的解題能力，主要體現在它引導學生從多角度思考數學問題，多維度理解和解決數學問題.利用構造法解決問題，學生不僅僅要尋求問題的答案，而且還要深入理解問題結構，從而獨立構建解決方案.在具體教學過程中，教師須引導學生識別問題中的關鍵信息，并將這些信息與已有的數學知識相結合，通過構建函數、方程、不等式、幾何圖形等數學模型，順利解決問題.構造法強調學生對問題的深入分析及對解題策略的靈活運用，而不是簡單地依賴記憶或公式套用；構造法的應用還能增強學生對數學概念的理解與運用能力，因為它要求學生在構造解題模型時，須準確理解數學定理與公式；構造法還可促使學生在解題過程中發展批判性思維、創新性思維.在面對復雜問題時，學生須判斷何種構造方式最為高效，通過創新方法簡化解題步驟，還須不斷評估自己的解題策略，提升解題能力[2].

3.2有利于提升學生的邏輯思維能力

構造法在初中數學教學中的應用，對提升學生的邏輯思維能力有顯著效果.通過構造法，學生需基于已知信息推導必要的未知元素，整個過程涉及對信息的分析、整合、邏輯推理，能夠促進邏輯思維的發展.在構造法指導下，學生能夠逐漸從問題的表象深入到數學問題核心，從而順利解決問題.深度的邏輯探索不僅可增強學生的數學解題能力，還能培養學生在面對復雜問題時的分析應對能力.

3.3有利于培養學生的知識轉化能力

構造法在初中數學教學中的應用，可以提升學生的知識轉化能力，即將理論知識應用于解決實際問題的能力.構造法通過激勵學生將抽象的數學概念與具體問題相結合，培養學生將學到的知識運用到不同情境中的技能.構造法要求學生在面對數學題目時，不僅要理解題目的數學背景，還需能靈活地將理論知識轉化為解題模型.這種從抽象到具體、從具體到抽象的循環過程，不僅可加深學生對數學理論的理解，也可以提高學生將理論知識應用到實際問題中的能力.通過多元化解題訓練，學生能更好地理解數學知識的實用價值，從而在其他學科的學習和日常生活中更加自如地應用這些知識.

4構造法在初中數學解題中的具體應用

4.1構造幾何圖形解題

在初中數學解題過程中，構造幾何圖形解題是一種常見的方法.在解決與形狀、大小、相對位置相關的數學問題時，幾何圖形有助于學生更直觀地理解問題，從而提供系統的解題框架.利用構造法解題的重點是不斷探索嘗試不同的構造方法，直到找到能揭示問題核心的方法.這種策略既可鍛煉學生的空間想象能力，也可加深學生對幾何知識的理解.

例1如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，點D在BC邊上（不與B，C重合），點E在AB邊上，且∠AED=∠ADB，過點A作AF⊥DE與點F，點G是BD的中點，連接FG，判斷∠FGD與∠ABC的數量關系，并說明理由.

解析圖解析如圖2所示，由G為BD中點，聯想到構造三角形的中位線GF，因此延長DF到點K，使KF=DF，GF為△DBK的中位線，由三角形中位線可得GF∥BK.因為∠AED=∠ABC+∠EDB，∠ADB=∠EDB+∠ADE，所以∠ABC=∠ADE.又因為F為DK的中點，AF⊥DE，所以AF垂直平分DF，所以AK=AD，∠AKD=∠ADE，∠KAD=180°-2∠ADE.同理可得∠BAC=180°-2∠ABC，所以∠KAD=∠BAC，∠BAK+∠BAD=∠CAD+∠BAD，所以∠BAK=∠CAD.又因為AK=AD，AB=AC，所以△KAB≌△ADC.又因為GF∥BH，所以∠FGD=∠KBD=∠ABK+∠ABC=2∠ABC，即∠FGD=2∠ABC.

點評通過添加輔助線，學生可以清晰地發現隱藏的幾何關系，從而更容易地得出所求結論.在初中數學教學過程中，教師應鼓勵學生多動手、多思考，從而培養他們的幾何思維能力.

4.2構建函數關系或方程解答數學問題

構建函數關系或方程解答數學問題是初中數學教學中的重要內容.通過建立函數或方程關系，可將復雜的代數問題轉化為函數或方程問題，并利用函數的性質與圖象或方程求解數學問題.

例2已知二次函數y=ax2+bx+c，其中a≠0，求該函數的頂點坐標.

解析將含有x的項構造為完全平方式，易得y=ax2+bx+c=a（x+b2a）2+4ac-b24a，所以頂點坐標為（-b2a，4ac-b24a）.

例3已知實數x，y，z滿足x+y=3，xy=（z-3）2+x+1，求x+2y+3z的值.

解析因為x+y=3，所以y=3-x，將y=-x+3與xy=（z-3）2+x+1聯立，構建方程（z-3）2+（x-1）2=0，解得z-3=0，x-1=0，z=3，x=1.因為xy=（z-3）2+x+1，易得y=2，所以x+2y+3z=1+2×2+3×3=14.

點評通過以上實例，學生不僅能熟練掌握構建函數關系或方程解答數學問題的方法，還能提升代數思維與解題能力，從而形成系統的知識結構.

4.3構建構造反例簡化解題過程

構建反例是構造法的一種應用，通過找出習題中特殊情況或反例，可迅速驗證命題的正確性，從而簡化解題過程.在教學實踐中，教師可通過不同類型的習題，幫助學生掌握構建反例的解題方法.

例4設a，b，c是實數，下列命題是否正確，對正確的命題給出證明，對不正確的命題予以否定.

（1）若a2+ab+cgt;0，且cgt;1，則0lt;blt;2.

（2）若cgt;1，且0lt;blt;2，則a2+ab+cgt;0.

（3）若0lt;blt;2，且a2+ab+cgt;0，則cgt;1.

解析命題1不正確，令b=4，c=5，此時a2+ab+c=（a+b2）2+（c-b24）gt;0；命題2正確，證明如下：由cgt;1，且0lt;blt;2，得0lt;b2lt;1lt;c，有cgt;b2gt;（b2）2，從而可得cgt;b24，即c-b24gt;0，故a2+ab+c=（a+b2）2+（c-b24）gt;0；命題3不正確，令b=1，c=12，此時0lt;blt;2，且a2+ab+c=a2+a+12=（a+12）2+14gt;0，條件滿足，但結論cgt;1不成立.

點評通過上述命題驗證，學生可理解構造反例與直接證明在數學解題中的應用.對不正確的命題，構造一個反例能迅速否定命題；對正確的命題，通過嚴格的數學證明可以確保結論的正確性.

5結束語

在初中數學解題中，構造法不僅可以簡化解題過程，提高解題效率，而且能夠有效提升學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力，有助于引導學生全面掌握數學知識，提升數學核心素養.

參考文獻：

［1］ 孫麗葉.初中數學常用解題方法及例題分析[J].現代初中生（初中版），2024（2）：17-18.

[2] 馬沁芳.巧用構造法解答數學難題[J].數理化解題研究，2024（2）：65-67.

［責任編輯：李慧嬌］