靜電場中常考的圖像問題及其解題方法

摘要：對靜電場中常考的圖像問題進行歸類，并結合具體圖像問題的求解來總結其對應的基本解題思路與方法，以期為學生建構良好的知識結構體系，提高解決靜電場圖像問題的思維品質.

關鍵詞：高中物理；靜電場；圖像問題；解題方法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0121-04

靜電場問題是高考命題的高頻考點，題型大多是結合相關圖像來考查電場的場強、電勢及電勢能等與距離相關的基本性質.運用圖像處理有關物理問題可達到化難為易，化繁為簡的目的[1].靜電場常考的圖像可分為三大類：一是與電場中帶電粒子運動有關的圖像，如v-t圖像；二是與帶電粒子在電場中運動時各物理量相關的圖像，如EP-x圖像、EK-x圖像等；三是與電場的空間分布有關的圖像，如E-x圖像、φ-x圖像等.解決此類圖像問題，一定要弄清楚坐標軸所表示的物理量，理解圖像中所給圖線的斜率、截距、交點及圖線與坐標軸所圍面積所對應的物理意義，其解題步驟可以歸納為：一看軸，二看線，三看斜率，四看面（面積），五看截距，六看點.下面結合具體圖像問題的求解來總結其對應的基本解題思路與方法，以期為學生建構“知識結構體系”有所助益.

1由v-t圖像判斷電場的空間變化情況

例1光滑絕緣水平面上固定兩個等量點電荷，它們連線的中垂線上有A、B、C三點，如圖1甲所示.一質量m=1g的帶正電小物塊由A點靜止釋放，并以此時為計時起點，沿光滑水平面經過B、C兩點，其運動過程的v-t圖象如圖1乙所示，其中圖線在B點位置時斜率最大，根據圖線可以確定（）.

A.中垂線上B點電場強度最大

B．A、B兩點之間的位移大小

C．B點是AC連線中點

D．UBCgt;UAB

解析從圖1乙可知，帶正電小物塊從A點運動到C點的過程中速度不斷增大，其v-t圖線的斜率表示加速度，B點的斜率最大，說明此處的加速度最大，再根據牛頓第二定律可得a=qEm，可知中垂線上B點電場強度最大，選項A正確；v-t圖線與時間軸所圍成的面積表示小物塊的位移，但這里無法計算，所以不能確定A、B兩點之間的位移大小，選項B錯誤；從v-t圖線與時間軸所圍成的面積來看，A、B兩點之間的位移小于B、C兩點之間的位移，B點不是AC連線中點，選項C錯誤；由于小物塊在B、C兩點之間的動能增量ΔEK2=12mv2C-12mv2B=16.5×10-3J，在A、B兩點之間的動能增量ΔEK1=12mvB2-12mvA2=8×10-3J，而小物塊在光滑水平面上運動，電場力做功等于其動能的增量，所以qUABlt;qUBC，UABlt;UBC，選項D正確.

思路與方法對于靜電場中的v-t圖像問題，解題的關鍵是抓住速度隨時間的變化情況，根據圖線的斜率表示加速度確定加速度的變化情況，從而判定電場力的大小和方向.結合帶電體的電性確定電場的大小和方向，進一步根據電場力做功情況判定帶電體電勢能、動能和機械能的變化情況；結合圖線與時間軸所圍面積判斷帶電體的位移.

2帶電粒子的運動軌跡圖像與電場線、等勢線（面）相結合的綜合問題

例2如圖2所示，在坐標平面xoy內存在靜電場，其等差等勢線關于坐標軸對稱，如圖2中虛線所示.現有一質子從左上方射入該電場，僅在電場力作用下的運動軌跡如圖2中實曲線所示，P、Q、S、T、L分別為軌跡與各等勢線的交點.下列說法正確的是（）.

A. P點電勢低于L點電勢

B. 質子在由P至L的運動過程中，電勢能逐漸減小

C. 質子在由P至L的運動過程中，加速度先增大后減小

D. 若將質子從坐標原點由靜止釋放，質子沿y軸負方向加速運動

解析由于質子帶正電，所受電場力即為其合力，而合力方向總是指向軌跡的凹側，電場力方向沿電場線的切線方向，而電場線與等勢線垂直，可知電場線方向整體向左，又由于沿電場線電勢降低，可知，P點電勢低于L點電勢，選項A正確；質子在由P至L的運動過程中是從電勢較低處向電勢較高處運動，電場力做負功，電勢能增大，選項B錯誤；

由P至L的運動過程中，等勢線分布先變稀疏后變密集，則電場強度先變小后變大，即電場力先變小后變大，加速度先減小后增大，選項C錯誤；x軸上的電場方向沿x軸負方向，若將質子從坐標原點由靜止釋放，質子沿x軸負方向加速運動，選項D錯誤.

思路與方法對于靜電場中含有粒子運動軌跡的問題，需要根據軌跡判斷粒子的運動方向（軌跡上某點的切線方向）和電場力方向（指向運動軌跡彎曲的凹側），結合粒子的電性判斷電場線方向，若題目給出的是等勢線的分布情況，則需要根據電場線與等勢線垂直來確定電場線方向，再確定電勢的高低、場強方向、電場力做功、電勢能及動能等的變化情況.

3EP-x圖像與EK-x圖像的綜合問題

例3空間存在沿x軸方向的電場，從O點沿x軸正方向釋放一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，粒子只在電場力作用下剛好運動到x4處，粒子在運動過程中電勢能隨位置變化的關系如圖3所示，下列說法正確的是（）.

A. 由圖可知，粒子在x1處受到的電場力最大

B. 電場中x2點的電勢低于x1點

C. 粒子釋放時的動能為Ep4+Ep0

D. 粒子經過x2處的動能為Ep4-Ep2

解析Ep-x圖像的斜率k=ΔEPΔx=qE，即斜率表示粒子所受的電場力，由于x1處的斜率為零，則粒子在x1處受到的電場力為零，選項A錯誤；因帶正電的粒子在電勢較高處時電勢能大，這里Ep2gt;Ep1，所以φ2gt;φ1，選項B錯誤；粒子只在電場力作用下運動的過程中動能與電勢能之和不變，運動到x4處時的動能為零，有Ek0+Ep0=Ek2+Ep2=Ep4，可得粒子釋放時的動能為Ek0=Ep4-Ep0，粒子經過x2處的動能為Ek2=Ep4-Ep2，選項D正確，C錯誤.

例4如圖4甲所示，兩等量正電荷水平固定，一光滑的絕緣細桿豎直放置在兩電荷連線的中垂線上，桿上A點與連線中點O的距離為h0.一帶正電小球套在桿上從A點由靜止釋放，從A運動到O的過程中其動能EK隨下降距離h變化的圖像如圖4乙所示.若忽略空氣阻力，則在此過程中（）.

A. 小球所受合外力先增大后減小

B. 小球機械能一直增大

C. 電場強度先增大后減小

D. 小球電勢能一直減小

解析Ek-h圖像的斜率表示合外力，由圖像可知，合外力先減小后增大，再減小，最后又增大，選項A錯誤；小球下落過程中，

電場力一直做負功，小球的機械能一直在減小，而小球的電勢能一直在增大，故選項B、D錯誤；因為小球在運動過程中僅受重力和電場力作用，且小球帶正電，所以從A到O的過程中，小球受到的電場力一直向上.初始時，小球動能增大，說明小球的重力大于電場力，而圖像的斜率在減小，說明小球的合外力在減小，其中的重力保持不變，所以小球受到的電場力必定增大，當動能達到最大值時，小球的重力等于電場力；之后小球的動能開始減小，說明小球受到的電場力大于重力，圖像斜率增大，即電場力依然在增大，直到某一時刻達到最大值，然后開始減小，當電場力再次等于重力時，小球的速度達到最小值；最后小球的動能一直增大，圖像的斜率也再次增大，說明小球在做加速運動，合力必然是逐漸增大的，而重力始終保持不變，則電場力一定是逐漸減小的，所以小球在從A到O的運動過程中，電場力先增大后減小，選項C正確.

思路與方法對于電場中的EP-x圖像問題，要抓住電場力做功與電勢能變化的關系：W電=qE·Δx=-ΔEP，結合圖線斜率的絕對值表示電場力的大小qE進行分析、判定；對于EK-x圖像問題，則要根據合外力做功與動能的變化關系，由F合·Δx=ΔEK來分析，圖線的斜率表示合外力F合，由斜率判定合外力的變化情況后，結合重力不變即可確定電場力的變化情況.

4電場強度隨位移變化的E-x圖像問題

例5如圖5甲所示，有一電荷均勻分布的固定絕緣細圓環，圓心為O，軸線上的電場強度如圖5乙所示.現有一帶正電的粒子（不計重力）以大小為v0的初速度沿軸線由P點運動到Q點，OP=OQ=L.以x軸的正向為電場強度的正方向，關于粒子由P點運動到Q點的過程，下列說法正確的是（）.

A. 細圓環帶負電

B. 粒子到達Q點時的速度大小為v0

C. 粒子所受靜電力先增大后一直減小

D. 粒子到達Q點時的速度大小為2v0

解析E-x圖像反映了電場強度隨位移變化的規律，圖5乙中x軸的正半軸Egt;0，表示電場沿x軸正方向，而x軸的負半軸Elt;0，表示電場沿x軸負方向，可知絕緣細環帶正電，選項A錯誤；從圖5乙可以看出，電場關于絕緣細環呈對稱分布，而E-x圖線與x軸所圍面積表示電勢差，所以P、Q兩點的電勢是相等的，正粒子從P點運動到O點電場力所做的負功等于從O點運動到Q點電場力所做的正功，因此，粒子到達Q點時的速度大小為v0，選項B正確，D錯誤；粒子由P點運動到Q點的過程中，電場力F=qE先增大后減小，在O點時電場強度為零，電場力為零，之后電場力先增大后減小，選項C錯誤.

思路與方法E-x圖線與x軸所圍面積表示電勢差.根據電場方向即可確定各點的電勢高低，結合粒子的電性可確定電勢能和動能的變化情況；由E-x圖線直接確定電場強度的變化情況，進一步確定電場力和加速度的變化情況.

5電勢隨位移變化的φ-x圖像問題

例6空間存在沿x軸方向的靜電場，其電勢φ隨x按正弦規律變化，如圖6所示.質量為m、電荷量為＋q的粒子，從O點以初速度v0沿x軸正方向運動.不計粒子的重力，下列說法正確的是（）.

A．0～x0區間的場強方向與2x0～3x0區間的場強方向相同

B．粒子從x0處運動到3x0處的過程中，電勢能先減少后增加

C．若粒子運動能經過3x0處，則粒子經3x0處速度最小值為2qφ0m

D．若v0=2qφ0m，粒子運動到3x0處速度最大且最大值為v=6qφ0m

解析因為沿電場方向電勢降低，在0～x0區間電勢升高，所以場強方向沿x軸負方向，而2x0～3x0區間的電勢降低，場強方向沿x軸正向，兩個區間的場強方向相反，選項A錯誤；從x0處到3x0處電勢一直降低，電場力做正功，電勢能一直減小，選項B錯誤；若粒子運動能經過3x0處，只需到達x0處即可，

由12mv2=qφ0-（-φ0），解得v

=2qφ0m，選項C錯誤；若v0=2qφ0m，因為3x0處電勢最低，電勢能最小，則動能最大，粒子運動到3x0處速度最大，由

12mv2-12mv20=q［0-（-φ0）］，解得v=6qφ0m，選項D正確.

思路與方法φ-x圖線的斜率k=ΔφΔx的絕對值表示電場強度.在φ-x圖像中可以直接判定各點電勢的高低，再由沿著電場方向電勢降低，逆著電場線方向電勢升高可確定電場強度的方向，結合帶電粒子的電性可分析其受力情況，進而判斷加速度變化情況，進一步可由WAB=qUAB求電場力做功，并分析電勢能和動能的變化情況，可由動能定理完成相應的定量計算.在分析電荷運動過程中的能量變化問題時，若不考慮重力，則電勢能與動能之和不變；若考慮重力，則電勢能、動能與重力勢能三者之和不變，這個“能量觀念”也是解決問題的重要依據.

6結束語

以上將靜電場中常考的圖像問題及其解題思路與方法進行了歸類分析，針對每一類圖像的不同物理意義及其涉及的知識點和常見問題提煉了基本的解題思路與方法，但具體的題目中可能會提出涉及更多知識點的問題，需要緊扣相關知識，充分發揮自己的推理論證能力，有時還需要利用“假設法”去推出與已經得出的結論或已知條件相悖的結果，從而判定出正確的結論，這對解題的思維品質要求較高.值得注意的是在計算電場力做功、電勢能大小時，一定要代入電荷量的正負號和各個物理量的符號參與計算.靜電場中的圖像問題雖然涉及的知識內容較多，提出的問題也會千變萬化，但都可以在上述基本解題思路與方法的基礎上去進行深入分析、推理、論證，從而得出正確的結論.

參考文獻：

［1］"成金德.淺析圖像的認識和應用[J].數理化解題研究，2022（10）：87-93.

［責任編輯：李璟］