例談三力平衡問題

摘要：共點力平衡問題是高考常考知識點，而三力平衡在考試中最為常見.通過對三力平衡中常見的兩種模型以及動態平衡問題的解法歸納分析，以期培養學生分析問題、解決問題的能力.

關鍵詞：共點力；三力平衡；模型；動態平衡

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0108-03

共點力平衡是高中物理學習中的重要知識，是高考常考考點，而物體受三力平衡的問題最為常見.下面以三力平衡問題為例，通過對三力平衡中兩種模型的總結和動態平衡問題解決方法的歸納，達到從量的積累到質的轉變，從而培養學生的科學思維，有效落實物理核心素養.

1三力平衡中的兩種模型

物體受到三個力處于平衡狀態，三力常見的情況主要有兩種：一是三力中有兩個力互相垂直，二是三力中有兩個力大小相等.根據其中兩個力的特點，我們不妨把第一種情況稱為“L”模型（兩力垂直），第二種情況稱為“V”模型（兩力大小相等）.

1.1“L”模型

例1將一個質量為3 kg的鉛球放在傾角為37°的斜面上，并用豎直擋板擋住，鉛球處于靜止狀態，如圖1所示.如果不考慮鉛球受到的摩擦力，試求：擋板對鉛球的支持力和斜面對鉛球的支持力是多少？（g取10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

解析方法一合成法

對鉛球受力分析，鉛球受重力G、擋板對鉛球的支持力F1和斜面對鉛球的支持力F2，由平衡條件可知，擋板對鉛球的支持力F1和斜面對鉛球的支持力F2的合力F與重力G等大反向，如圖2所示，由圖可知：

F1=mgtan37°=3×10×0.60.8 N=22.5 N

F2=mgcos37°=3×100.8 N=37.5 N

故擋板對鉛球的支持力為22.5 N，斜面對鉛球的支持力為37.5 N.

方法二分解法

將重力G按效果（需求）分解為方向沿著擋板對鉛球的支持力F1和斜面對鉛球的支持力F2的反方向的分力F1′、F2′，如圖3所示.

由共點力平衡條件可知：

F1=F1′=mgtan37°=3×10×0.60.8 N=22.5 N

F2=F2′=mgcos37°=3×100.8 N=37.5 N

故擋板對鉛球的支持力為22.5 N，斜面對鉛球的支持力為37.5 N.

方法三正交分解法

以球心為坐標原點，水平方向和豎直方向分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，將F2正交分解，如圖4所示.

由共點力平衡條件可知：

F1=F2x=F2sin37°

F2y=F2cos37°=mg

聯立解得：

F1=22.5 N，F2=37.5 N

故擋板對鉛球的支持力為22.5 N，斜面對鉛球的支持力為37.5 N.

點評“L”模型的題目，一般都已知一個恒力和一個銳角，解題方法主要有合成法、分解法、正交分解法三種.合成法和分解法最終都轉化為解直角三角形，很適合解決該模型問題.

1.2“V”模型

例2（2011年江蘇卷）如圖5所示，石拱橋的正中央有一質量為m的對稱楔形石塊，側面與豎直方向的夾角為α.若接觸面間的摩擦力忽略不計，重力加速度為g.則石塊側面所受彈力的大小為（）.

A. mg2sinα

B. mg2cosα

C. 12mgtanαD. 12mgcotα

解析方法一合成法

以石塊為研究對象，石塊受重力和兩個垂直側面向上的支持力.根據對稱性和平衡條件可知，石塊受到的兩個支持力大小相等，且合力與重力等大反向，如圖6所示.

由幾何關系可知支持力FN與水平方向的夾角為α.

由圖可知：FN=mg/2sinα=mg2sinα.

故答案選A.

方法二正交分解法

石塊受三力處于平衡狀態，由于兩個垂直側面向上的支持力大小相等，以水平方向為x軸，豎直方向為y軸建立坐標系，如圖7所示.

由共點力平衡條件可知：

2FNsinα=mg，

所以FN=mg2sinα.

故答案選A.

點評“V”模型的題目，由于有兩個力大小相等，利用合成法求解時，作出的平行四邊形是菱形，根據菱形對角線互相垂直平分，構造出直角三角形，最終還是落腳到解直角三角形問題；利用正交分解法求解時，要充分利用兩力相等的對稱關系，合理建立坐標系.

2三力平衡中的動態平衡

三力平衡中的動態平衡問題是高中物理學習的難點，也是考查的重點.所謂動態平衡就是通過控制某些物理量，使物體的狀態發生緩慢的變化，物體在這一變化過程中始終處于一系列的平衡狀態中[1].處理動態平衡問題常用的方法有解析法、圖解法和相似三角形法.

例3如圖8所示，用輕繩將一小球懸掛在豎直光滑墻壁上靜止，當輕繩變長時（）.

A.繩子拉力變小，墻對球的彈力變大

B.繩子拉力變小，墻對球的彈力變小

C.繩子拉力變大，墻對球的彈力變大

D.繩子拉力變大，墻對球的彈力變小

解析方法一解析法

以小球為研究對象，小球受重力G、墻的支持力F1和繩子拉力F2處于平衡狀態，如圖9所示.設繩子與豎直方向夾角為α，由共點力平衡條件可知：

F1=Gtanα，F2=Gcosα

當輕繩變長時，繩子與豎直方向夾角α減小，tanα減小，cosα增大，所以墻對球的支持力F1減小，繩子拉力F2減小.故答案選B.

方法二圖解法

圖解法是對研究對象在動態變化過程中進行受力分析，在同一圖中作出物體在若干狀態下所受力的矢量三角形，由各邊長度及角度變化來判斷力的變化情況[2].

小球受重力G、墻的支持力F1和繩的拉力F2，如圖10所示.此三力組成矢量三角形的變化情況如圖11所示（重力大小方向均不變，墻的支持力方向始終不變），輕繩變長，繩子與豎直方向夾角α減小，此過程小球處于動態平衡狀態.由圖11可知此過程中墻對球的支持力F1不斷減小，繩子拉力F2不斷減小.故答案選B.

點評解析法一般利用合成法作出平行四邊形，平移一個力后將三力構成三角形，根據解直角三角形或正弦定理求出待求力的表達式，然后依據角度變化討論待求力的變化情況.圖解法形象、簡單、直觀，適合三個力中有一個力是恒力，另一個力方向不變的動態平衡問題.

例4如圖12所示，光滑半球固定在水平地面上，球心O的正上方固定一小定滑輪，細線一端繞過定滑輪，另一端拴一小球，現將小球從圖示位置緩慢拉至B點.在小球到達B點的過程中，半球對小球的支持力N及細線的拉力T的大小變化是（）.

A.N增大，T增大B.N減小，T增大

C.N不變，T減小D.N增大，T減小

解析以小球為研究對象，小球受重力、支持力和拉力.小球緩慢移動到B點，可認為小球始終處于平衡狀態.三力中重力是恒力，支持力和拉力的方向都發生變化.如圖13，三力構成的矢量三角形與三角形ACO始終相似，因此可由相似三角形求解.

由圖可知：TAC=NAO=GCO.

小球在上滑的過程中，AO和CO的長度不變，AC減小，重力G不變，所以半球對小球的支持力N不變，繩對小球的拉力T變小，故答案選C.

點評三力動態平衡問題中，如果有一個力是恒力，另外兩個力方向都變化，且題目給出了空間幾何關系，一般情況下力的矢量三角形與幾何三角形相似，可利用相似三角形對應邊成比例進行計算[3].

3結束語

在三力平衡問題的學習中，要分析三力特點，建構模型，總結解題方法，反思解題過程和結果.教師應通過典型題目一題多解和一題多變，激發學生創新意識和深入思考，培養學生的科學思維[4].

參考文獻：

［1］"許文.共點力的平衡問題一二三［J］.數理化解題研究，2019（01）：71-73.

［2］ 陳朝方.對一道三力平衡問題解法的探討［J］.物理之友，2018，34（02）：45-46.

［3］ 楊志強.例談高中物理三力平衡問題中的幾種特殊解決方法［J］.中學生理科應試，2016（Z1）：49-50.

［4］ 夏少標.深入研究典型問題 培養學生科學思維：以三力動態平衡問題為例［J］.物理教師，2018，39（09）：87-88，94.

［責任編輯：李璟］