基于核心素養(yǎng)導(dǎo)向的微積分基本定理教學(xué)設(shè)計

摘"要：數(shù)學(xué)教育承載著落實立德樹人根本任務(wù)、實施素質(zhì)教育的功能。數(shù)學(xué)課程具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，學(xué)生通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，除了掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，還要形成和發(fā)展核心素養(yǎng)，樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀。因此，為了使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)必然要以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為綱。本文以“微積分基本定理”為例，給出了教學(xué)中的案例設(shè)計，探討如何在課堂教學(xué)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：微積分基本定理；導(dǎo)數(shù)；定積分；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

Core"CompetencyOriented"Instructional"Design

for"the"Fundamental"Theorem"of"Calculus

Yang"Xiaoli"Liu"Hongxiang"Wang"Hairong

Baoji"Vocational"and"Technical"College"ShaanxiBaoji"721013

Abstract：Mathematics"education"carries"the"fundamental"task"of"fostering"virtue"and"cultivating"talent"while"implementing"quality"education.The"mathematics"curriculum"is"fundamental，niversal，and"developmental.Through"learning"mathematics，students"not"only"acquire"basic"knowledge"and"skills"but"also"develop"core"competencies"and"establish"a"correct"worldview，outlook"on"life，and"values.Therefore，to"help"students"gradually"form"and"develop"core"mathematical"competencies"in"the"process"of"learning"and"applying"mathematics，mathematics"teaching"must"be"guided"by"these"core"competencies.This"paper"takes"the"\"Fundamental"Theorem"of"Calculus\""as"an"example"to"present"a"case"study"in"teaching"and"explore"how"to"enhance"students'"mathematical"core"competencies"in"classroom"instruction.

Keywords：Fundamental"Theorem"of"Calculus;Derivative;Definite"Integral;Mathematical"Core"Competencies

1"背景分析

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)階段重要的基礎(chǔ)學(xué)科，它主要包含微積分、向量代數(shù)和空間解析幾何、級數(shù)理論等內(nèi)容。微積分是高等數(shù)學(xué)的核心部分。微分主要研究函數(shù)的變化率，例如，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在物理中可以用于計算瞬時速度。積分則與微分互為逆運(yùn)算，可用于計算曲線圍成的面積、立體的體積等諸多幾何和物理問題。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生在理解和掌握這些基本理論的同時，可以培養(yǎng)邏輯思維能力和抽象思維能力以及發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，還可以為學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)提供強(qiáng)有力的支撐。微積分基本定理也叫牛頓萊布尼茨公式，它建立了微分和積分之間的緊密聯(lián)系。

“高等數(shù)學(xué)”是一門理論體系完備、內(nèi)容豐富、應(yīng)用十分廣泛的課程，該課程的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效果直接影響到學(xué)生對專業(yè)的學(xué)習(xí)興趣和未來的職業(yè)規(guī)劃。通過該門課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生可進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。［3］本著“提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的原則，精心設(shè)計教學(xué)，重視知識目標(biāo)和能力目標(biāo)，更要融入情感態(tài)度與價值觀的教學(xué)目標(biāo)，在授課過程中，潛移默化地開展思想引領(lǐng)，更好地服務(wù)于學(xué)生的成長、成才。

2014年印發(fā)的《教育部關(guān)于全面深化課程改革"落實立德樹人根本任務(wù)的意見》正式提出“核心素養(yǎng)體系”的概念。核心素養(yǎng)被置于深化課程改革、落實立德樹人目標(biāo)的基礎(chǔ)地位，是課程設(shè)計、教材開發(fā)和課堂改革實踐的依據(jù)和目標(biāo)。隨后，國家啟動了學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)項目，經(jīng)過專家團(tuán)隊的努力，建構(gòu)了三個維度、六個素養(yǎng)、十八個基本要素的中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)框架。一系列重要文件的頒布實施，標(biāo)志著我國基礎(chǔ)教育已全面進(jìn)入落實核心素養(yǎng)的新時代。［1］

2"設(shè)計步驟

2.1"通過介紹數(shù)學(xué)故事，促進(jìn)學(xué)生對新知的認(rèn)識和深刻理解

早在古希臘時代，阿基米德等人的著作就有積分學(xué)的萌芽。阿基米德通過“窮竭法”計算拋物線弓形等圖形的面積，這種方法雖與現(xiàn)代積分概念不同，但體現(xiàn)了分割、求和、取極限的思想，為后來積分學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

17世紀(jì)時，牛頓在他的第一篇微積分論文《流數(shù)簡論》中，利用運(yùn)動學(xué)描述了微積分基本定理。他把連續(xù)變量叫作流動量，把流動量的導(dǎo)數(shù)叫作流數(shù)，提出了已知運(yùn)動速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過路程的積分法等問題，解決了如何根據(jù)物體的速度求解物體的位移及曲線圍成的面積等問題，為微積分基本定理的提出奠定了重要基礎(chǔ)。萊布尼茨在研究微分三角形時發(fā)現(xiàn)曲線的面積依賴于無限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)值和，進(jìn)而明確陳述了微積分基本定理。他從幾何角度出發(fā)，通過對曲線的切線和面積問題的研究，獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了微分與積分之間的互逆關(guān)系，并創(chuàng)造了一套簡潔而有效的符號系統(tǒng)，如dx、dy等，簡化了微積分的表達(dá)和計算。牛頓和萊布尼茨的工作創(chuàng)立了微積分學(xué)，但初期微積分的基礎(chǔ)并不完善，存在一些邏輯上的爭議。后來，眾多數(shù)學(xué)家如柯西、黎曼等不斷努力，為微積分建立了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，使微積分基本定理在更嚴(yán)密的數(shù)學(xué)框架下得到了確認(rèn)和推廣。

牛頓和萊布尼茨從不同角度、用不同方法各自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了微積分基本定理，他們的工作共同推動了微積分學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展。

2.2"教學(xué)目標(biāo)

2.2.1"知識與技能目標(biāo)

（1）學(xué)生能精準(zhǔn)闡述微積分基本定理（牛頓萊布尼茨公式）的內(nèi)容，理解公式中各參數(shù)的含義及關(guān)系。

（2）能熟練運(yùn)用該定理計算簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的定積分。

2.2.2"過程與方法目標(biāo)

（1）通過對定理的探究推導(dǎo)過程，如從變速直線運(yùn)動的位移與速度關(guān)系、曲邊梯形面積的不同計算方法等實例出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、分析問題和轉(zhuǎn)化問題的能力，使其能將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用定理解決。

（2）經(jīng)歷運(yùn)用定理解決問題的過程，提升學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)符號運(yùn)用能力，學(xué)會規(guī)范書寫解題步驟和準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)思維過程，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.2.3"情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)

（1）體會微積分基本定理將微分與積分這兩個看似獨(dú)立的概念建立起緊密聯(lián)系的奇妙之處，感受數(shù)學(xué)知識體系的嚴(yán)謹(jǐn)性和內(nèi)在邏輯性，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的探索欲望和學(xué)習(xí)興趣。

（2）在小組合作探究和課堂互動交流中，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神與溝通能力，使其敢于發(fā)表自己的見解并尊重他人觀點，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和成就感。

3"教學(xué)過程

3.1"回顧舊知

師：（1）什么是定積分和定積分的幾何意義？分別叫兩個學(xué)生來回答。

（2）如何計算∫10xdx？

師：我們先回憶昨天的知識。

生1：利用定積分的幾何意義去解決，∫10xdx表示的是y=x，x=0以及x=1這三條線所圍成的三角形的面積，所以∫10xdx=12×1×1=12。

師：那么如何計算∫10x2dx？如果用定積分的幾何意義，我們只能知道是y=x2，x=0，x=1這三條線所圍成的曲邊梯形的面積，但是這個面積用我們目前所學(xué)的幾何知識是求不出來的。

生2：可以用定積分的定義來做。

師：好，那我們一起來探究。利用定義進(jìn)行計算分四步：①分割；②近似代替，③求和；④取極限。

∫10x2dx=limn→SymboleB@

∑ni=1（in）21n

=limn→SymboleB@

1+4+9+…+n2n

=limn→SymboleB@

2n2+3n+16n2

=13

這里用到了12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1）6，計算較為復(fù)雜，技巧性較強(qiáng)。

3.2"問題提出

師：同學(xué)們交流一下用定義計算∫10x2dx的感受，能否按照定義計算∫211xdx？

學(xué)生思考。

生（或師）：解決這個問題需要求1n+1+1n+2+…+12n的和，而這個“和”用我們目前所學(xué)知識是求不出來的，因此用定義不能解決這個問題。

師：因此，我們有這樣一個感覺，盡管我們的被積函數(shù)比較簡單（如y=1x，y=sinx），但是利用定義求它們的定積分依然會很困難，甚至“求”不出。那么我們?nèi)绾蝸斫鉀Q這樣的問題？

設(shè)計意圖：在鞏固復(fù)習(xí)以前知識的基礎(chǔ)上，自然地提出用所學(xué)知識不能解決的問題，采用問題驅(qū)動的形式引出需要學(xué)習(xí)的新知識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和求知欲。并在認(rèn)知沖突中激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，激發(fā)學(xué)生對新知的渴望，也有利于學(xué)生素養(yǎng)的發(fā)展。

3.3"新知探究

3.3.1"研究背景

數(shù)學(xué)是一種語言，也是一門工具，它的功能是發(fā)現(xiàn)問題并解決問題。17世紀(jì)，科學(xué)開始了它的革命化─數(shù)學(xué)化的進(jìn)程。力學(xué)和天文學(xué)中曲線的弧長、曲線圍成的平面圖形的面積、曲面圍成的立體體積、物體重心引力等實際問題的研究，為積分學(xué)的誕生奠定了基礎(chǔ)。英國數(shù)學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨幾乎在同一時期分別獨(dú)自研究和創(chuàng)立了積分學(xué)的理論。恩格斯曾說：“在一切的理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了”。如果微積分難以在實際中應(yīng)用，那么歐洲17世紀(jì)的科學(xué)也不會得到那么快的發(fā)展。

積分學(xué)是微積分的一個重要組成部分，微積分基本定理是積分學(xué)的精髓。本節(jié)課我們不妨循著前輩足跡走一走，來認(rèn)識微積分基本定理。

師：我們可以從物理問題出發(fā)來探究這個問題。

回顧變速直線運(yùn)動問題，如果一個物體以速度v=v（t）做變速直線運(yùn)動，s=s（t）表示物體在時間區(qū)間［a，b］內(nèi)的位移。

問題1：如何用s（t）表示物體在［a，b］內(nèi)的位移S？

生：由物理知識可知，S=s（b）－s（a）。

問題2：如何用v（t）表示物體在［a，b］內(nèi)的位移S？

生：由定積分的幾何意義，S=∫bav（t）dt，那么就有∫bav（t）dt=s（b）－s（a）。

師小結(jié)：由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，s'（t）=v（t），換言之，s（t）是v（t）的一個原函數(shù)，上式表明定積分∫bav（t）dt的值等于被積函數(shù)v（t）的一個原函數(shù)s（t）在積分上、下限處的增量s（b）－s（a），即：∫bav（t）dt=∫bas′（t）dt=s（b）－s（a）。

3.3.2"得出結(jié)論

微積分基本定理的一般形式：一般地，如果f（x）是區(qū)間上［a，b］的連續(xù)函數(shù)，并且F（x）是f（x）的一個原函數(shù)，即F′（x）=f（x），則有∫baf（x）dx=F（b）－F（a）。

這個結(jié)論叫作著名的微積分基本定理（fundamental"theorem"of"calculus），也叫作牛頓萊布尼茨公式（NewtonLeibniz"Formula），簡稱為NL公式。

為了方便，我們常常把F（b）－F（a）記成F（x）ba，于是NL公式也可寫作∫baf（x）dx=F（x）ba=F（b）－F（a）。

說明：NL公式不僅明顯簡化了定積分的計算，而且把定積分與和不定積分這兩個“貌合神離”的概念，自然、優(yōu)美、巧妙地融合在一起。［4］NL公式建立了積分與導(dǎo)數(shù)之間的密切聯(lián)系，它使求定積分的問題變得簡捷。在求定積分時，只需要找到被積函數(shù)的一個原函數(shù)，就可以求得它的定積分，這是求定積分非常重要的方法。

從計算角度講，微積分基本定理極大地簡化了定積分的計算。在這之前，計算定積分只能用定義，通過分割區(qū)間、近似求和、取極限的復(fù)雜步驟來求面積或體積等。但有了這個定理，只要能找到被積函數(shù)的一個原函數(shù)，就可以通過原函數(shù)在積分區(qū)間端點的值相減來快速得到定積分的值。例如，求函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間［1，2］上的定積分時，先找到它的原函數(shù)F（x）=13x3，再用牛頓萊布尼茨公式計算就很簡便。

在理論意義上，微積分基本定理讓微積分成為一個完整的體系。微分主要關(guān)注瞬時變化率，積分主要關(guān)注累積量，而微積分基本定理將這兩個概念統(tǒng)一起來，深化了人們對函數(shù)整體性質(zhì)的理解，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析的基石。并且，它在物理等眾多學(xué)科領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，為解決變力做功、物體變速運(yùn)動的位移等問題提供了有效方法。

3.4"學(xué)以致用

例1：計算∫10x2dx的值。

以學(xué)生練習(xí)、討論為主，讓學(xué)生與剛開始用定義解答的方法進(jìn)行比較，得出結(jié)論：結(jié)果相同，但比用定義計算定積分簡單。教師給出規(guī)范的書寫格式。

設(shè)計意圖：這個問題與本節(jié)“問題提出”中討論過的問題相呼應(yīng)，讓學(xué)生體會利用微積分基本定理求定積分的優(yōu)越性以及獲得新知的愉悅感，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和發(fā)展學(xué)生抽象能力和運(yùn)算能力的核心素養(yǎng)。微積分基本定理讓學(xué)生明白微分和積分是互逆的運(yùn)算過程，使知識形成完整體系。例如，之前通過分割、近似、求和、取極限的復(fù)雜過程求定積分，有了該定理后，只要找到被積函數(shù)的一個原函數(shù)，就可以簡便地計算定積分。

例2：計算∫211xdx和∫π0sinxdx。

解：①因為（lnx）′=1x，所以，由NL公式，得：

∫211xdx=lnx21=ln2-ln1=ln2

②因為（-cosx）′=sinx，所以，由NL公式，得：

∫π0sinxdx=（-cosx）π0=（-cosπ）-（cos0）=2

設(shè)計意圖：讓學(xué)生自主探索，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上互相交流，教師巡視觀察，展示有代表性的解答。在理解和應(yīng)用定理的過程中，學(xué)生需要思考函數(shù)和其原函數(shù)之間的關(guān)系、定積分和不定積分的聯(lián)系等諸多邏輯關(guān)系，鍛煉邏輯推理能力和運(yùn)算能力。

例3：求拋物線y=x2與直線y=2x所圍成平面圖形的面積。

解：先求出拋物線y=x2與直線y=2x的交點為（0，0）與（2，4），畫出拋物線y=x2與直線y=2x所圍成的平面圖形，如下圖所示。

拋物線y=x2與直線y=2x所圍成的平面圖形的面積S等于直線y=2x，x=2以及x軸所圍成的三角形的面積（設(shè)為S1）減去y=x2，x=2以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積（設(shè)為S2）。

由定積分的幾何意義：S1=∫202xdx，S2=∫20x2dx，由NL公式可得：

S1=∫202xdx=x220=22-02=4

S2=∫20x2dx=13x320=13×（23-03）=83

所以，S=S1-S2=4-83=43。

設(shè)計意圖：例3回歸到面積的計算，平面圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積與三角形面積之差，再利用定積分的幾何意義和NL公式，得出我們所要的結(jié)果，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)學(xué)建模的思想，也提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。在計算題目的過程中，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，做到用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界。［6］

4"總結(jié)

在講解微積分基本定理之前，帶領(lǐng)學(xué)生回顧了之前所學(xué)的導(dǎo)數(shù)、定積分的概念及簡單計算方法等知識，為新知識的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。在推導(dǎo)定理的過程中，注重引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，逐步構(gòu)建起微分與積分之間的聯(lián)系，使學(xué)生能夠較為順利地理解定理的內(nèi)涵，知識過渡自然，降低了學(xué)生的認(rèn)知難度。

課程利用多媒體動畫演示了曲邊梯形面積的分割、近似、求和、取極限的過程，以及原函數(shù)的圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系。這些直觀的動態(tài)演示可以幫助學(xué)生更好地理解抽象的數(shù)學(xué)概念和復(fù)雜的推導(dǎo)過程，增強(qiáng)教學(xué)的可視化效果，有助于學(xué)生對微積分基本定理的理解與記憶。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)，主要包括三個方面：（1）會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，主要表現(xiàn)為：抽象能力、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識。（2）會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，主要表現(xiàn)為：運(yùn)算能力、推理意識。（3）會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，主要表現(xiàn)為：數(shù)據(jù)意識、模型意識與應(yīng)用意識。［2］

本教學(xué)設(shè)計中，學(xué)生在教師的點撥和引導(dǎo)下，應(yīng)用觀察—探究的教學(xué)研究方法，認(rèn)識了微積分基本定理，感受到自主探究新知的艱辛與快樂，被激發(fā)起濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。課程以問題情境驅(qū)動課堂，促使學(xué)生去思考問題，解決問題，在體驗中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是高數(shù)課程教學(xué)的主要任務(wù)，教學(xué)設(shè)計要把提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透到教學(xué)的各個環(huán)節(jié)。本文在新課引入時，創(chuàng)設(shè)適合的問題情境，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)想象能力；在新知的探索過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)推理能力；在新知的應(yīng)用過程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模能力。［7］

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是隱性的，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展必須內(nèi)化在課堂教學(xué)中。課堂教學(xué)是教師通過問題的提出，激發(fā)學(xué)生對新知的探索，是師生之間數(shù)學(xué)思想的交流，旨在對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升達(dá)到“春風(fēng)化雨，潤物無聲”的效果［5］。

參考文獻(xiàn)：

［1］教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2017.

［2］教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［3］陳立宇，王偉芳.基于課程思政的數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)設(shè)計探討［J］.唐山師范學(xué)院學(xué)報，2021，43（06）：112115.

［4］張孝理.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2014.

［5］翟洪亮.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計：極大值和極小值的教學(xué)實錄與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（07）：14.

［6］胡浩.源于本真"始于探究"成在素養(yǎng)：基于“正弦定理（第一課時）”教學(xué)片斷的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（11）：1821.

［7］張曜光.以數(shù)學(xué)教育的整體觀把握數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)［J］.課程·教材·教法，2018，38（07）：6772.

作者簡介：楊小莉（1986—"），女，漢族，甘肅天水人，碩士研究生，助教，研究方向：數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)建模。