基于大概念視域的初中數學解題教學實踐探究

摘 要：文章通過分析代數和幾何例題的解題過程，在大概念視角下，從多元角度分析題意，構建概念體系、搭建階梯聯系概念，形成數學表達和舉一反三拓展訓練，積累概念模型對初中數學解題教學進行實踐探究，以此反哺課堂教學，讓學生學會有邏輯地思考，有理由地解題。同時，文章還反思數學解題教學過程，引導學生在解題后及時糾錯，歸納總結。

關鍵詞：大概念；解題教學；邏輯思維鏈

中圖分類號：G633.6"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1673-8918（2025）04-0068-04

一、 問題提出

解題是數學活動的基本形式和主要內容，因此數學教學與解題教學密不可分。然而日常解題教學實踐中存在不少問題：①機械模仿解題過程，缺乏條件聯系；②反復解決重復問題，遺忘解題思路；③不會劃分問題類型，深陷題海戰術。究其原因，學生忙于復制解題過程，眼花繚亂；教師忙于展示解題結果，火急火燎。教師沒有精力教會學生學習解題，學生沒有時間回顧整理解題經驗，因此難以實現數學解題思維認知結構的重構。

文章認為可將大概念用于數學解題教學過程，通過例題統攝教學內容，明確核心概念，聯系解題方法，逐步剖析問題本質，理清數學思維方法，再變式訓練鞏固熟悉，實現解題教學的真正價值。

二、 大概念視角解題結構

數學大概念是大概念理念在數學學科中的具體表達和綜合運用，是基于數學學科本質和數學核心內容提取出來的具有統攝性的表達，具有以下特征：能夠幫助學生理解數學的本質；能夠賦予學生參與數學探究的能力；支持數學與其他學科、學生生活產生聯系，可以表述為一個詞語、一個短語或者是一個問題。

大概念視角下數學解題教學的教學實踐，從典型例題出發，明確相關概念網絡，分析其所屬問題體系。依據等價命題與前后問題拓展構成命題鏈，形成解決問題的路徑，其具體流程如圖1所示。

三、 基于大概念視角的解題教學

無論是代數解題教學還是幾何解題教學，解決問題的過程實則都是有邏輯地研究一個問題對象的過程，梳理所涉及的核心概念，遵循數學對象的一般研究套路，以聯系的觀點搭建相關概念的知識網絡，形成邏輯思考鏈，最后變式研究揭示問題本質，從而挖掘解題教學背后的育人價值。

以二次函數題和圓的綜合大題為例，對基于大概念視角的初中數學中的代數和幾何解題教學具體展開實踐探究，兩者在大概念的統領下辯證統一，但也略有區別。

題1：已知二次函數y=ax2-2ax+3（a為常數，a≠0）

（1）若a＜0，求證：該函數的圖像與x軸有兩個公共點；

（2）若a=-1，求證：當-1＜x＜0時，y＞0；

（3）若該函數的圖像與x軸有兩個公共點（x1，0），（x2，0），且-1＜x1＜x2＜4，求出a的取值范圍。

題2：如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑，AB⊥CD，點E是BD上一點，連接AE，CE，分別交OD，OB于點F，G，連接AC，AD，FG。

（1）若∠AFO=60°，求∠CGO的度數；

（2）求證：AC2=AG·CF；

（3）設∠AFO=α，△CFG的面積為S1，△AOF的面積為S2，求證：S1S2=tanα-1。

（一）逐點擊破，多元角度分析題意，構建概念體系

數學概念是大概念視角下解題教學的核心與起點，而命題則是由各種概念組合而成。在解題教學中，教師應先幫助學生學會閱讀條件信息，逐步進行條件要素分析，構建數學概念體系。

從涉及的概念來看，題1涉及二次函數及其圖像、一元二次方程與不等式等概念，題2涉及圓的基本性質、圓周角定理、相似三角形及三角函數等概念。下面將圍繞這些概念明確解題教學過程中的主要研究對象，以確定各題組問題類型，并展開知識網絡搭建。首先要著眼于對題目條件信息的獲取，教師先提出一個統領性問題作出鋪墊，啟發學生思考：這是個什么問題？要求什么？然后給予學生充分時間對文本材料進行解讀分析。在代數解題教學前期，教師應積極幫助學生分析轉化等價命題，同時，幫助學生養成好審題習慣——做好幾何條件標注，用相同的符號標注相等的角或邊，用字母表示相對復雜的邊角數量關系。通過審題與分析，搭建起概念系的知識網絡，建立解題整體觀，為后續各要素間建立聯系奠定理論基礎，得到研究問題分析如下。

題1研究對象——二次函數

問題類型整理：

（1）二次函數與x軸交點問題；

（2）二次函數的圖像與性質之求解函數取值范圍；

（3）二次函數圖像與不等式綜合。

題2研究對象——圓與相似三角形

問題類型整理：

（1）圓中角度計算

（2）相似中線段數量關系求解

（3）幾何面積比值問題

（二）串點成線，搭建階梯聯系概念，形成數學表達

在二次函數和幾何解題中，學生往往會陷入無頭緒的困境，題干中的條件與結論分明了然，但難以找尋兩者之間的“聯結點”。運算公式、法則和性質定理倒背如流，但不知何去何從。因此，教師要指引學生進行聯想，利用有結構的問題鏈推動學生思維的有序前進，在問答中呈現學生的思維過程，揭示解題的一般方法；最后用思維框圖的形式進行數學表達，實現用數學的語言表達世界。

1. 問題鏈接思維斷點，學會有邏輯地思考

題1中所涉及的代數模型較多，但是可以互相轉化，學生沒有掌握研究思路而遲遲不得進展。因此在此類代數解題教學中，教師不妨先設計問題鏈啟發學生按照條件信息進行程序性思考，從而將各等價命題與代數相關命題進行串聯，進而找尋到解題思路。

【題組一問題鏈】

問題1：第（1）問中要證明的命題條件與結論分別是什么？

追問1：由a＜0出發，可以得到什么？從函數圖像上還可以得到什么信息？

追問2：怎么證明二次函數圖像與x軸有兩個公共點？二次函數與x軸的交點問題還可以理解為什么問題？你能算出與x軸的交點坐標嗎？為什么這么算？

分析：通過問題引導，學生經歷從條件到結論，結論推得所需條件的過程，學會自主尋找問題沖突點，自然理清思維邏輯線。例如“由a＜0出發”，學生自然會想到開口方向，從而用二次函數圖像解決問題，進一步推進學生探究二次函數的對稱軸表示、頂點坐標、與坐標軸的交點及是否過定點等問題。與幾何一樣，尋找邏輯推理思路不僅可以由因導果，還可以執果索因。例如，“怎么證明與x軸有兩個公共點”，啟發學生從方程角度進行求解，遵循一元二次方程的一般研究路徑，進而探究解的個數。

【題組二問題鏈】

問題2：第（2）問中要證明的命題條件與結論分別是什么？

追問1：從a=-1和-1＜x＜0出發，可以得到什么？從函數圖像上還可以得到什么信息？

追問2：當a=-1時，怎么證明y＞0？若要y＞0成立，需要滿足什么條件？依據是什么？

追問3：當a=-1和-1＜x＜0時，怎么證明y＞0？若要y＞0成立，需要滿足什么條件？依據是什么？

分析：從兩個條件出發，啟發學生從函數圖像角度求解函數的取值范圍，自然推出結論，滲透數形結合的代數推理能力。從一個條件與結論出發，引導學生聯想不等式，利用不等式的變形降次求解一元一次不等式組，發展代數命題推理能力，啟發學生聯系自變量和函數之間的關系，應用不等式的基本性質進行代數命題推理。此方法對學生提出了更高的要求，要求學生能靈活應用運算，從函數的角度解決不等式問題。

【題組三問題鏈】

問題3：第（3）問中要證明的命題條件與結論分別是什么？

追問1：從該函數的圖像與x軸有兩個公共點（x1，0），（x2，0），且-1＜x1＜x2＜4出發，可以繪制出怎樣的二次函數圖像呢？根據表達式尋找圖像中的變與不變？根據圖像，可以得到怎樣關于a的不等式？

追問2：要求a的取值范圍，需要先得到什么？x1與x2分別用a怎么表示？a何時取到最小值和最大值？

分析：基于前面的解題經驗，啟發學生從條件與結論入手，分別從二次函數圖像法及代數法對該問題進行進一步的解決。引導學生利用不等式還原函數圖像，依據函數圖像聯想所得的代數關系。其中，追問2自然啟發學生有序開展對含a的不等式或方程的探索，進而得到數量關系，這一過程讓學生感受代數推理與幾何直觀密不可分的關系，教會學生靈活應用數形結合解決代數問題。

題2中所涉及的幾何圖形較為綜合，較代數解題教學，幾何中的研究對象較多，因此該解題教學中應側重于啟發學生找尋幾個條件要素的關聯性，不僅要找尋要素與要素之間的聯系，還要分離要素與環境之間的聯系，甚至還要積極探索對象與對象之間的聯系，因此更加考驗教師問題設計的邏輯性。為清楚表示其問題設計，將其以如下表格的形式呈現。

問題鏈設計分析與解答

求解第一問

這是一個什么問題？要求什么？這是一個角度計算問題，要求∠CGO的度數。

已知條件有哪些？可以直接利用嗎？已知條件有直徑AB與CD相互垂直，∠AFO=60°，要求∠CGO的度數，因此要構建兩角的數量關系。

可以對已知條件進行轉化嗎？由已知條件∠AFO的度數推得余角∠AOF，因此∠CGA可以看作△AGE的外角。

有哪些條件可以利用？怎么利用？可以利用直徑AB與CD相互垂直此條件，得到圓心角∠AOC的度數，從而求得同弧所對圓周角∠AEC的度數。

求解第二問

要證明什么？利用什么方法得到這些線段之間的等量關系呢？要證明的是線段之間的比值關系，根據此形式可以推得應利用相似三角形來證明。

要證明相似的三角形是哪一對呢？根據等式中的線段可以找尋到要證明相似的三角形為△AGC與△AFC。

這對相似三角形中已經存在的等量關系有什么？可以直接利用條件得到嗎？因為要證明邊之間的等量關系，所以是根據角的等量關系推得的，利用直徑AB與CD相互垂直可以找到等弧，推得所對的圓周角∠CAD=∠CAB，因此仍需要再得到一對角對應相等。

還能再找到一對角相等嗎？有哪些條件可以利用？∠AGC=∠CAF，聯系（1）中角的數量關系，不難發現由外角定理可推得∠AGC=∠GAE+∠E=∠GAE+∠CAB=∠CAE。

現在可以證明了嗎？利用對應邊成比例可以得到有公共邊的比例式。

求解第三問

這是個什么問題？要求證什么？要得到兩三角形的面積比。

這兩個三角形面積之間有直接關系嗎？要如何構建聯系？沒有直接關聯性，可以嘗試用已知條件表示這兩個三角形的面積，通過計算求出面積比值。

用于求解這兩個三角形面積的可利用條件有哪些？怎么求解？設半徑為r，觀察求證結論，可利用tanα表示OF的線段長，通過線段和差計算進一步得到CF的長度，結合第（2）題結論，得到AG長，從而得到OG長，求解S1和S2，得出面積比。

還有其他方法嗎？如果從可利用的條件出發呢？由第（2）題結論發現，AG和CF為四邊形AFGC的對角線，因此等式可轉化為“△ADC和四邊形AFGC面積相等”。

這個面積關系和要求的結論之間有什么關聯呢？等積和差變化轉化為“△CFG和△AFD面積相等”，最終將要求的面積比轉化為DF∶OF，即（OD-OF）∶OF。

最終將其轉化為什么問題？用代數求解幾何問題或面積等積轉化。

2. 圖式聯結條件要素，學會有條理地表達

在問題鏈的指導下，學生無形中明晰解題思路，但這依舊還是在教師精心設計之下，仍舊會存在理解但遺忘的情況。若學生學會自己搭建腳手架，自己提問推動問題解決進程，那才是真正意義上的學會解題，因此需要預留時間讓學生重新經歷問題推動過程，以圖式形式顯化思維過程，給出嚴謹且有條理的推理線索鏈。

下面分別以第（3）小題為例，依次梳理出代數和幾何推理過程的一般路徑與一般思路。

【題1等價條件程序圖】

思路1：由因導果

思路2：執果索因

【題2幾何要素關聯圖】

思路1：由因導果

思路2：執果索因

（三）由線輻面，舉一反三拓展訓練，積累概念模型

教師帶學生分析了核心概念，給出主要研究對象和核心問題，搭建概念體系，也找尋了各概念間的聯系，鞏固了問題解決的一般思路，但最終目的是為學會解決一類問題。因此，構建適當范圍的命題系統是提升學生思維能力的關鍵，而其本質在于得到問題解決的基本模型，實現遷移應用。

1. 代數形式轉換模型

基于前面代數問題鏈推理與思維框圖梳理，獲得三個基本代數模型：二次函數模型、二次函數與方程模型和二次函數與不等式模型，設置相應的變式訓練，讓學生在變化過程中感受三種代數模型之間的關系并能實現靈活應用與轉化，最終解決問題。

2. 幾何要素的研究模型

為從大概念視角教會學生幾何解題，需要讓學生形成對幾何對象的邏輯探究系統，實現各要素之間的全面研究，用大概念視角下聯系的觀點對研究對象解構與重構，以變式揭示對象本質，通過應用來檢測解題教學是否真實發生。基于此，可以得到幾何要素的研究模型（圖2）。

四、 教學成效反思

文章在大概念視角下的解題教學實踐過程研究中，獲得相對完整的代數和幾何解題教學案例。學生還是很難做到零失誤。因此，教師解題教學不僅應著眼于教會學生解題，還應讓學生養成錯題必糾的習慣。若要學生糾錯，教師要教會學生從審題習慣、解題策略和答題規范等多角度研究錯誤，糾正錯誤。

（一）審題有節奏，不急不躁

在解題教學中，教師應給予學生充分時間獨立解題，根據解答情況分析出典型審題問題，引導學生反復讀題和理解關鍵信息。教師要教學生仔細審題，看清所有題設，思考全面再落筆計算或推理，而不是一味地抓住某個細枝末節而倉促解題，導致條件缺失而降低解題效率。

（二）解題有策略，胸有成竹

解題中需要注意條件與結論的雙向奔赴，運用綜合法和分析法得出針對不同問題類型的解題方法，學生積累解題經驗，應用多種解題方法，才能做到心中有數，增強解題自信。在此基礎上，教師也可安排多種形式的師生對話或生生對話，使解題思路與解題方法多元化。

（三）答題有依據，井然有序

在答題時教師應側重于采分點的核對，或者讓學生自主設置得分點，經過班級評審后，規范解題過程。以自我評價或小組評價的方式體驗“小先生”的身份，更加清楚評分細則，讓學生建立解決問題的整體觀，懂得省略非必要表達步驟，并懂得完善答題關鍵步驟。

參考文獻：

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