例說大概念視角下的高中數(shù)學(xué)試題轉(zhuǎn)型

【摘要】新教材新高考背景下的高中數(shù)學(xué)試題研究已然成為當(dāng)前的熱點(diǎn)問題.本文以“寧波市2023學(xué)年第一學(xué)期高考模擬考試（下稱寧波一模）第21題”為例，在學(xué)科大概念視角下從“閱題、悅題、越題”三個(gè)維度指導(dǎo)試題的命制，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)形成概念性系統(tǒng)化的理解，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移，給教師提供一個(gè)優(yōu)化課堂教學(xué)的方向，以期豐富數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，提升學(xué)科素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】大概念教學(xué)；高中數(shù)學(xué)；試題設(shè)計(jì)

1學(xué)科大概念

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》，進(jìn)一步精選了學(xué)科內(nèi)容，以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí).數(shù)學(xué)大概念是對(duì)內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進(jìn)一步提煉和概括，是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的一般性回答，具有知識(shí)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、思維的系統(tǒng)性和方法的普適性等表征，是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法論，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)具有指路明燈的作用，也是教師教學(xué)中研究問題路徑和方法的向?qū)?

2概率與統(tǒng)計(jì)

高中數(shù)學(xué)課程分為必修課程、選擇性必修課程和選修課程，其課程內(nèi)容突出了四條主線，即函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．新教材新高考對(duì)“概率與統(tǒng)計(jì)”提出了更高的學(xué)習(xí)要求，縱觀2021-2023年的三年新高考數(shù)學(xué)卷，呈現(xiàn)了“無價(jià)值，不入題；無思維，不命題；無情境，不成題”的特征．

2023年10月，筆者有幸參與了寧波一模數(shù)學(xué)試題的命制工作，在此將探索過程與各位分享，歡迎批評(píng)指正.

3學(xué)科大概念視角下從“閱題、悅題、越題”三個(gè)維度嘗試試題轉(zhuǎn)型

3.1閱題——基于科學(xué)文化的數(shù)學(xué)抽象

（科學(xué)情境）《九家易》，東漢荀爽編.古者無文字，其為約誓之事，事大大其繩，事小小其繩.結(jié)之多少隨物眾寡，各執(zhí)以相考，亦足以相治也.

（初稿）寧波市某中學(xué)共有2000名學(xué)生，在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，設(shè)置了一項(xiàng)對(duì)繩子計(jì)時(shí)打結(jié)的趣味性項(xiàng)目，同時(shí)對(duì)學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢的相關(guān)性進(jìn)行分析，從中隨機(jī)抽取了200人，得到如表1數(shù)據(jù).

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)？

（2）經(jīng)過數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析后發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)抽取的200名學(xué)生對(duì)繩子打結(jié)計(jì)時(shí)（單位：秒）服從正態(tài)分布N78，16，試估計(jì)該校全體學(xué)生計(jì)時(shí)超過82秒的學(xué)生人數(shù).

（3）現(xiàn)有nn∈N+根繩子，共有2n個(gè)繩頭，每2個(gè)繩頭打結(jié).求當(dāng)所有的繩頭打結(jié)完畢時(shí)，這n根繩子恰好能形成一個(gè)圓的概率.

情境化數(shù)學(xué)試題源于生活問題——抽象數(shù)學(xué)問題——解決實(shí)際問題，是應(yīng)用性考查要求的主要載體，高考數(shù)學(xué)選取學(xué)生個(gè)人生活、社會(huì)發(fā)展和科學(xué)研究情境，還原知識(shí)應(yīng)用的實(shí)際過程，回歸人類認(rèn)知的本源，考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通和靈活運(yùn)用．初稿試題三問考查概率與統(tǒng)計(jì)中零散的基本概念：獨(dú)立性檢驗(yàn)、正態(tài)分布與計(jì)數(shù)原理.考查的知識(shí)點(diǎn)碎片化、淺表化與封閉化，缺少整體連貫性與關(guān)聯(lián)性，學(xué)生難以形成整體理念，難以實(shí)現(xiàn)深度思考，難以提升綜合素養(yǎng).

（次稿）某中學(xué)在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生參加繩子打結(jié)計(jì)時(shí)的趣味性比賽，并對(duì)學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)，如表2.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)？

（2）現(xiàn)有3根繩子，對(duì)繩頭進(jìn)行編號(hào)1，2，3，4，5，6，某同學(xué)甲對(duì)這3根繩子進(jìn)行打結(jié)，記隨機(jī)變量X為打結(jié)完畢后繩子形成的圓的個(gè)數(shù)，求X的分布列與期望.

（3）現(xiàn)有nn∈N+根繩子，共有2n個(gè)繩頭，某同學(xué)乙對(duì)每2個(gè)繩頭進(jìn)行打結(jié).求證：當(dāng)該同學(xué)將所有的繩頭都打結(jié)完畢時(shí)，這n根繩子恰好能形成一個(gè)圓的概率為22n－1·n！n－1！2n！.

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說明》指出，通過設(shè)置真實(shí)的問題情境，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問題的能力，允許學(xué)生從多角度作答，使“死記硬背”“機(jī)械刷題”“題海戰(zhàn)術(shù)”的收益大大降低，引導(dǎo)學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)從“解題”向“解決問題”、從“做題”向“做人做事”轉(zhuǎn)變.次稿試題刪去了初稿中的第二問正態(tài)分布知識(shí)點(diǎn)，取而代之的是離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，這就給學(xué)生第三問的解答作好鋪墊.第三問將求概率表達(dá)式改為證明，給學(xué)生鋪設(shè)合乎邏輯的思維階梯，推動(dòng)思維對(duì)話，以期達(dá)到思維的自然進(jìn)階．通過從特殊到一般的探究路徑，得出解決此類問題的一般思想與方法，考查理論聯(lián)系實(shí)際的能力、解決問題的能力.次稿試題的文字表述仍不夠嚴(yán)謹(jǐn)，問題鏈的設(shè)計(jì)還是難以達(dá)成學(xué)生自主探究的目標(biāo)，學(xué)生無法通過解決問題認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值.

（定稿）某中學(xué)在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生參加繩子打結(jié)計(jì)時(shí)的趣味性比賽，并對(duì)學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)，如表3.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)？

（2）現(xiàn)有nn∈N+根繩子，共有2n個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束．

（i）當(dāng)n=3，記隨機(jī)變量X為繩子圍成的圈的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（ii）求證：這n根繩子恰好能圍成一個(gè)圈的概率為22n－1·n！n－1！2n！．

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中學(xué)生思維呈現(xiàn)出簡(jiǎn)單到綜合、具體到抽象的不斷發(fā)展的過程，這是思維從低階走向高階的體現(xiàn)．學(xué)生通過試題中的問題鏈探究，循序漸進(jìn)地積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這種螺旋式上升的問題設(shè)計(jì)，讓知識(shí)背后的思想方法被學(xué)生反復(fù)理解，使學(xué)生深度體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維方式．以學(xué)科大概念為指導(dǎo)而設(shè)置的問題鏈能構(gòu)建思維層次，細(xì)化局部，縱向延伸，延展思維深度，是激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維、驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維進(jìn)階、培育核心素養(yǎng)的重要形態(tài).

3.2悅題——指向核心知識(shí)與思想方法的邏輯推理

對(duì)于試題第一問獨(dú)立性檢驗(yàn)，K2=200×3575－1575290×110×100×100=200×20×2090×110=80099≈8.08gt;6.635.故有99%的把握，認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān).

試題第二問（i）通過計(jì)數(shù)原理（排列組合、平均分組）等基本概念與思想方法可得，

PX=3=1C26·C24·C22A33=115，PX=2=C13·2C26·C24·C22A33=615，PX=1=C14·C12C26·C24·C22A33=815.

離散型隨機(jī)變量分布列

EX=1×815+2×615+3×115=2315.

（ii）結(jié)合第二問（i）的分析策略，先考慮對(duì)2n個(gè)繩頭任意2個(gè)繩頭之間進(jìn)行打結(jié)，利用平均分組原理，共有N=C22n·C22n－2·C22n－4…C22n！=2n·2n－1·2n－2…2·12n·n！=2n！2n·n！.

3.3越題——落實(shí)核心素養(yǎng)的試題轉(zhuǎn)型

3.3.1用好教材素材，強(qiáng)化知識(shí)本質(zhì)

學(xué)生只有能熟練掌握基本概念，理解其本質(zhì)，才能對(duì)知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用與遷移.如試題第一問獨(dú)立性檢驗(yàn)，教材中對(duì)于一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象之間是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問題，統(tǒng)計(jì)學(xué)的做法是先將它抽象為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性問題，再利用2×2列聯(lián)表表示數(shù)據(jù)，采用假設(shè)檢驗(yàn)的方法進(jìn)行推斷，這些問題涵蓋了估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)兩種基本推斷方法.只有從整體上準(zhǔn)確把握統(tǒng)計(jì)學(xué)科邏輯的特點(diǎn)，才能準(zhǔn)確理解統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容和方法，才能更好地發(fā)揮統(tǒng)計(jì)的育人功能.

3.3.2加強(qiáng)數(shù)據(jù)分析，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問題的基礎(chǔ)，排列與組合是兩類特殊且重要的計(jì)數(shù)問題.面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題時(shí)，通過分類或分步將它分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，再將它們整合起來得到原問題的答案，這在日常生活中也經(jīng)常使用.如試題第二問（i），大家的做法是將綜合問題化解為單一問題的組合，再對(duì)單一問題各個(gè)擊破，看似利用排列與組合（平均分組）兩個(gè)計(jì)數(shù)問題，實(shí)際上是加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算的推廣. 對(duì)于離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，要重點(diǎn)關(guān)注這些數(shù)字特征的意義是什么，如果僅僅會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)變量的均值與方差，就失去了它應(yīng)有的科學(xué)價(jià)值.整體教學(xué)中應(yīng)突出概念的抽象過程，揭示均值與方差的意義，通過解決實(shí)際問題，了解隨機(jī)變量的均值在決策中的應(yīng)用價(jià)值.

3.3.3深挖命題背景，建立數(shù)學(xué)模型

課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)建模正式列為必修內(nèi)容，這是中學(xué)數(shù)學(xué)課程發(fā)展中的第一次，說明數(shù)學(xué)建模在當(dāng)前的人才培養(yǎng)中具有重要地位，其目的是全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力［3］.概率統(tǒng)計(jì)通過開放性問題、創(chuàng)新性問題、新概念問題等方式考查，如試題第二問（ii）求證這n根繩子恰好能圍成一個(gè)圈的概率為22n－1·n！n－1！2n！，事實(shí)上這正是試題第二問（i）的一般性表達(dá)，學(xué)生能夠自然而然地建立起解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，并能通過這個(gè)數(shù)學(xué)模型檢驗(yàn)n=3時(shí)的概率PX=1，進(jìn)而改進(jìn)及完善數(shù)學(xué)模型，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科思想的一致性、思維的系統(tǒng)性和方法的普適性.

4結(jié)語

概率統(tǒng)計(jì)作為實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的渠道之一，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和應(yīng)用的廣泛性等特點(diǎn).本文基于學(xué)科大概念視角下，“閱題、悅題、越題”三個(gè)維度指導(dǎo)試題的命制，通過數(shù)學(xué)試題從零散的基本概念或知識(shí)中整合或提煉出上位概念，發(fā)展高階思維，這是核心素養(yǎng)培育的重要內(nèi)容與途徑.

【本文系2023年寧波市基礎(chǔ)教育教研課題“大概念視角下高中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)的行動(dòng)研究”（編號(hào)：0127）的階段性研究成果】

參考文獻(xiàn)：

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[2]夏廈，楊亢爾.大觀念下的融合讓直觀插上想象的翅膀——以“將軍飲馬”問題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2022（09）：16-20.

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