高中數學概率問題的求解技巧分析

【摘要】概率是高中數學中特殊的存在，概率問題的選材來自生活，解決這類問題要求學生具備一定的數學思想和綜合素養.故在學習過程中不僅要對生活進行細致觀察和思考，也要掌握相關的解題策略與方法.本文主要分析三種不同求解概率問題的方法，并結合對應例題，幫助學生加深理解和掌握概率問題的本質，以期幫助學生更好地運用這些方法解題.

【關鍵詞】概率；高中數學；解題技巧

1幾何法

幾何法具體是指根據問題條件將概率問題轉化為幾何度量占比問題，進一步憑借相關結論求解得到具體值的方法.運用幾何方法求解概率問題的一般思路為：①從問題已知條件出發，將概率問題等價轉化為幾何圖形的長度、面積等占比問題，②根據幾何圖形的相關結論與性質，求出相關的長度、面積具體值，③根據具體值的比例，得到問題所求的概率大小.

例1甲乙兩人約定好第二天的8點至9點在某一地點見面，先到的人在原地等20min后即可離開，則兩人能夠見到面的概率為.

分析分析問題所給條件，解答的關鍵在于理解到達時間與離開時間的聯系，可假設甲，乙的到達時間分別為x，y（8點x分，9點y分），則兩人見面的充要條件為x－y≤20，此時x－y≤20可在坐標系中具體表示，即可得到相關面積.求出相關面積的占比，即可得知問題所求的概率大小.

解析假設甲、乙的到達時間分別為x，y（8點x分，9點y分），

則有0≤x≤60，0≤y≤60，

根據題意，兩個人能見到面需要滿足|x－y|≤20，在坐標系中表達如圖1所示.

所以P=SgSG=602－402602=59，

即兩個人能夠見到面的概率為59.

變式已知某公交車7：25發車，為了趕上公交車小張每次都在7：20-7：25到達公交車站臺，則他連續兩天提前到達公交站臺等待累積時長超過3分鐘的概率為.

分析該問題能夠運用幾何方法求解，即將等待時間看作兩個變量，需要滿足的條件可轉化為不等關系式，分別在圖形中表示并得知等待時間超過3分鐘的對應面積，除以總面積即可得到概率大小.

解析設小張每天等待的時長都在0－5min，連續兩天等待的時長為x，y，

則0≤x≤50≤y≤5，

畫出不等式的可行域，如圖2所示.

已知x+y＞3，

S1，S2分別為陰影部分面積、正方形面積，

所以P=S1S2=5×5－12×3×325=4150.

2枚舉法

枚舉法是求解概率問題的常用方法，枚舉法也叫窮舉法或列舉法，指將所有可能的情況一一列舉出來，可能發生的情況個數與所有情況個數之比即為概率大小.運用枚舉法求解概率問題，具體步驟一般為：①根據問題所給條件，確定所有情況的有限性，并求出對應情況個數A；②確定符合題目要求的可能情況個數B；③A與B的比值即所求的概率值大小.

例2現有兩個外形一致，質地相同且6個面分別標有1，2，3，4，5，6數字的小正方體，將這兩個小正方體拋出，則落到地面時正方體朝上的點數相加比5小的概率為.

分析首先根據題意列出兩個正方體落地后朝上的面為1，2，3，4，5，6時相加的所有情況，共有36種不同情況.此時問題要求相加點數小于5，則分別對應和為2，3，4的情況，找出和為2，3，4的情況總數，該情況個數與總情況個數之比，則為問題所求的概率大小.

解析 由題意可得，這兩個小正方形拋出后落地，朝上的點數的和的所有情況如表1所示.

滿足題意的點數之和應為4，3，2，每種情況出現的個數為3，2，1，故點數相加小于5可能出現的情況個數為1+2+3=6，

滿足題意的概率P=636=16.

故當這兩個小正方體落地，且面向上的點數和小于5的概率為16.

3間接法

間接法也是求解概率問題的有效方法，間接法指通過反面情況的概率從而得到問題所求概率值的方法.運用間接法解題的常見思路為：①分析題意與已知條件，找出與問題所求相反的對應具體情況，②求得對立情況發生的概率后，用1減去所求概率值，即可得到問題所求的概率值大小.

例3衛生部門要對市里5家餐館進行衛生檢查，執行標準為：清潔衛生不達標，餐館停業整頓；整改以后還不符合要求，取消餐館營業執照.假設每一家餐館衛生是否達標是相互獨立的，且每一家餐館整頓以前達標的概率都為0.5，整頓以后衛生達標的概率為0.8，試回答下列問題（保留兩位小數）：

（1）剛好有兩家餐館衛生不達標的概率；

（2）至少取消一家餐館的營業執照的概率.

分析針對第（2）問進行具體的分析，若按照題意對至少取消一家餐館的營業執照這一條件進行分類討論求解，容易出現錯解與漏解現象，故考慮運用間接法求解.先求解5家餐館都不被取消營業執照的概率，得到具體值后，用1減去所求概率大小即可得到問題所求的概率值.

解析根據題意可知，本題直接求解比較困難，運用間接法求解.

（1）P≈0.31（解題過程略）.

（2）由題意可得，每一家餐館都不被取消營業執照即達標的概率為0.9，并且每一家餐館是否被取消營業執照也是相互獨立的.

因此，最少有一家餐館被取消營業執照的概率為P3=1－0.95≈0.41.

4結語

學生在學習過程中，不僅要明確幾何法、枚舉法、間接法的適用范圍，還要明確每種方法對應的基本思路.概率問題是高中數學中的重點知識之一，其題目形式靈活多變，解題方法多種多樣，因此掌握基本的解題方法有助于高效、快速解題.

參考文獻：

[1]張放.例談高中數學概率問題解題技巧[J].吉林教育，2021（26）：104-105.

[2]田靜.關于高中數學概率解題典型錯誤及分析總結——由一道高中數學概率問題引發的思考[J].中學生數理化（教與學），2021（07）：81-82.