以數學模型建構與應用為主線的單元整體教學設計研究

摘 要 模型思想（模型觀念）是核心素養在數學學科中的主要表現之一，是開展單元整體教學的重要依據。模型建構過程包括模型化和結構化，也包括建模之后的模型應用。基于模型內部結構之間的對應關系以及模型的建構和應用等過程對“面積”單元教學內容進行整體分析，調整教學內容，開發教學路徑，設計教學活動，可以使學習過程更加符合學生的認知規律和發展需要。

關 鍵 詞 數學模型建構；單元整體教學；乘法模型；面積

引用格式 李建良，莫沁茹.以數學模型建構與應用為主線的單元整體教學設計研究[J].教學與管理，2025（08）：46-50.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》教學建議指出，應重視單元整體教學設計，改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯[1]。因此，單元整體教學設計成為數學學科教學中落實核心素養培養目標的重要途徑。呂世虎等認為，數學單元整體教學可以以重要的數學概念或核心數學知識為主線組織，也可以以數學思想方法為主線組織，還可以以數學核心素養、基本能力為主線組織[2]。其中，模型思想既是一種基本的數學思想，又是核心素養在數學學科中的主要表現之一，是開展單元整體教學設計的重要依據。那么，在小學數學學習過程中，數學建模應經歷哪些環節？如何根據建模過程對單元教學內容進行分析和調整？如何結合建模過程開發單元整體學習路徑并設計主要學習活動？基于對這些問題的思考，我們以乘法模型（主要是矩形模型）的建構和應用為主線，對“面積”單元進行了整體思考、分析與設計。

一、數學模型建構的基本步驟分析

1.模型建構過程中的模型化與結構化

數學模型是數學研究的重要對象，可以說數學就是研究模型的學科[3]。因此，數學學習也是一個學習建模和運用數學模型解決問題的過程。模型思想在小學階段主要表現為模型意識，即對數學模型普適性的初步感悟，包括知道數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑；能夠認識到現實生活中大量的問題都與數學有關，有意識地用數學的概念與方法予以解釋[4]。數學模型是指：對于現實世界的某一特定對象，為了某個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化和假設，運用適當的數學工具得到一個數學結構[5]。盡管小學階段以培養模型意識為主，但模型建構與應用始終伴隨著整個學習過程，這點毋庸諱言。為了得到數學模型，需要經歷數學化的過程。數學化是提煉和組織不同層次的常識，使之凝聚成概念、性質、關系和規律的過程，包括橫向數學化與縱向數學化。橫向數學化指將生活現實抽象為數學的概念與命題等，其基本方式是模型化；縱向數學化是指數學概念、命題等內容的再組織，其基本方式是結構化[6]。可見，數學模型建構不是一蹴而就的，從廣義的角度來看，結構化也是模型建構過程中的重要組成部分。也就是說，模型建構過程中，先由現實問題得到初始模型，在此基礎上，通過結構化豐富原有模型的內涵，并拓展其外延，使模型更加完善并用于解決更多的新的現實問題（如圖1）。

2.乘法模型中的模型化與結構化過程

在小學階段，加法模型和乘法模型是兩個最主要的數學模型，其中乘法模型是加法模型的進一步發展。研究者一般將乘法的現實模型概括為：等量組聚集模型、矩形模型、配對模型、映射模型和倍數模型，并認為最基本的是第一種模型，其他幾種都可以轉化為第一種[7]。或者說，等量組聚集模型是乘法模型建構過程中的初始模型，其他幾種現實模型都是在此基礎上發展起來的分支結構，它們通過結構化共同組成了整個乘法模型。等量組的聚集通俗地講，就是我們最常見的對乘法概念的定義——求幾個相同加數的和的簡便運算。“幾個相同加數”就是“等量組”，“和”就是“聚集”，同時，這其中包含了由加法模型發展為乘法模型的過程。以等量組聚集模型為基礎，有助于我們更好地通過意義和結構的遷移學習其他現實模型以形成完整的乘法模型，并借助乘法模型深入理解、分析和解決更多與乘法有關的實際問題。

完整的乘法模型建構過程包含以下幾個基本步驟：首先，通過實際問題建構等量組聚集模型；其次，以結構化的方式，借助等量組聚集模型學習其他現實模型；最后，通過其他現實模型進一步加深對等量組聚集模型以及整個乘法模型的理解。從等量組聚集模型發展到矩形模型，既是完善乘法模型內部結構的必經之路，也是學習“面積”單元的重要依據。圖形面積的大小主要通過單位面積數量的多少進行表征。在這一過程中，既可以逐個計數面積單位，又可以以“一行幾個，有幾行”或“一列幾個，有幾列”的方式對單位面積進行累加，進而發展為運用等量組聚集模型進行乘法計算（如圖2）。從逐個計數到分行（或列）計數和計算，需要經歷由加法模型向乘法模型過渡的過程，這與等量組聚集模型的建構過程是一致的。

根據小學生的認知特點和抽象水平，小學數學中的模型化過程一般包括信息提取、表征聯結、建構模型、求解驗證等活動。在形成初始模型之后，還需進一步開展應用遷移等活動。應用遷移包含兩層含義：一是直接應用已有模型解決相關的實際問題，二是通過遷移建構模型中的其他結構，進一步實現整個模型的結構化。以乘法模型中的等量組聚集模型和矩形模型為例，兩者有各自的建構過程，但又形成了明確的對應關系，這種對應關系中包含著相似性或一致性，因此又可以通過遷移的方式，由等量組聚集模型得到矩形模型，再將矩形模型同化為等量組聚集模型，以完善乘法模型（如表1）。

二、基于模型建構和應用的單元教學內容分析與重組

1.模型建構視角下的單元教學內容分析

建模過程需要經歷信息提取、表征聯結、建構模型、求解驗證、應用遷移等活動，因而體現出長期性的特點。同時，模型建構除了模型化之外，也包含了結構化的過程，因此，建模過程還體現出周期性的特點。模型建構過程的長期性和周期性，恰好與單元整體教學的特點與目標相匹配。因此，可以按照建模過程中的基本步驟對單元教學內容進行適當劃分，使學習活動更加符合模型的建構過程和規律，并凸顯數學模型在學習過程中的作用。

在“面積”學習過程中，由于等量組聚集模型與矩形模型同屬乘法模型，具有內在結構的一致性。因此，一方面，前期建構的等量組聚集模型可以直接用于解釋面積的計算方法；另一方面，等量組聚集模型的建構過程，可以為矩形模型的建構提供參照，以便減少一些不必要的阻礙，必要時還可以通過遷移適當精簡矩形模型的建構過程。小學數學教材中關于“面積”單元的內容，一般包括“面積的概念與測量”“面積單位”“長（正）方形的面積計算”“面積單位間的進率”“解決問題（鋪地磚）”等。這些教學內容與模型的建構過程形成了大致的對應關系（如圖3）。

2.立足建模過程的單元教學內容重組

從模型建構與應用的角度分析上述教學內容，可以發現其中存在一些值得商榷之處。首先，教材將“面積單位”編排在“面積的概念與測量”和“長（正）方形的面積計算”之間，使得“用單位面積進行度量并用其數量表征面積大小”與“進一步探索更加簡潔的面積計算方法”這兩個原本連續的內容被人為割裂，這也就造成了由逐個計數到等量組聚集模型再到矩形模型這一連續的建模過程被中斷。其次，這又致使“面積單位”和“面積單位間的進率”之間的斷層，導致平方厘米、平方分米、平方米這些面積單位的學習只能停留在直觀感知上，缺少理性、深入的刻畫，同時面積單位間的進率的學習則又缺少直觀形象的支持。顯然，按照建模過程和認知規律來看，在認識了面積概念并會用單位面積進行測量之后進一步總結出面積的計算方法，在認識了面積單位之后再研究它們之間的進率，這樣的順序更加具有連貫性和整體性。因此，本單元的學習內容可以調整為：“面積的概念與測量”“長（正）方形的面積計算”“面積單位”“面積單位間的進率”和“解決問題（鋪地磚）”。事實上，由于有了等量組聚集模型及其建構過程作為基礎，矩形模型的建構過程可以適當壓縮，即在前兩個內容的學習中就完成矩形模型的建構，而后三個內容可以看作矩形模型的應用（如圖4）。

上述調整雖然符合模型建構的基本順序，各課時之間的關系因此變得自然緊密，但也產生了一個新的問題：長（正）方形的面積計算過程和結果都需要借助面積單位進行表征，而按照上述安排，此時學生尚未學習面積單位，這將導致學生無法流暢、簡潔地進行表達。然而，從數學發展的歷史過程與模型建構過程相結合的角度分析，這個問題不會成為學習過程中的阻礙。首先，從數學發展歷史的角度來看，面積單位的產生遠在面積計算方法的形成之后，在沒有國際通用面積單位的情況下，長（正）方形的面積計算可以借助其他單位進行，如我國傳統數學名著《九章算術》早就概括出長方形的面積計算公式為“廣從步數相乘得積步”，此處是用“（平方）步”作為面積單位的。其次，從矩形模型的建構過程來看，它與等量組聚集模型保持一致，也就意味著只要是等量組的聚集，都可以用乘法進行計算，單位面積個數的計算也是如此。在計算過程中，只關注對象（單位面積）間的數量關系，與對象的其他特征無關，用哪種單位都不會影響矩形模型的建構。因此，將“面積單位”與“長（正）方形的面積”互換位置是有據可依的，對矩形模型的建構和應用也更為有利的。

三、以模型建構和應用為主線的單元整體教學設計的關鍵內容

1.開發指向模型建構過程的單元整體學習路徑

從模型建構和應用的角度分析教學內容，有助于對教學內容本身及其學習過程形成深刻理解，有利于準確把握當前學習內容在整個模型建構過程中所處的位置。基于對等量組聚集模型和矩形模型的建構過程的分析，以及對兩者之間結構化過程（包括遷移和同化）的解讀，我們對“面積”單元的學習順序進行了調整，以幫助學生更加充分、有效地經歷面積概念形成的幾個必要過程。由于矩形模型的建構過程得到了等量組聚集模型的支持，可以較大程度地縮減時間，因此，“面積”單元的學習可以兼顧模型的建構和應用。結合矩形模型的建構和應用過程，本單元學習路徑如圖5所示：

（1）在概念習得過程中建構模型

矩形模型的建構包括兩個課時。第一課時，面積的概念與測量：建立面積的概念，體會一維的長度與二維的面積之間的區別與聯系；嘗試用小正方形為單位進行測量，并通過拼擺與逐個計數的方式表示出指定長方形的面積大小。第二課時，長（正）方形的面積計算：通過等量組聚集模型將單位面積計數的過程簡化為乘法計算并得出長方形的面積計算方法“一行個數×行數”。在此基礎上，面積大小的表征方式需從單位面積的個數過渡到面積單位。可將長方形的長與寬以厘米做單位，引出小正方形的面積單位平方厘米，明確1厘米與1平方厘米的關系，并將長方形面積計算方法由“一行個數×行數”發展為“一行平方厘米數×行數”（如圖6）。這樣，就完成了由等量組聚集模型向矩形模型的轉化，同時也將矩形模型同化到已有的乘法初始模型中，豐富了學生對乘法模型的認知。

（2）在解決問題過程中應用模型

矩形模型的應用同樣也包括兩個課時。由于面積單位中的“平方厘米”已被安排到了第二課時中，因此，其余兩個常見的面積單位“平方分米”“平方米”的認識可以與“面積單位間的進率”整合為第三課時。第三課時主要通過現實情境，結合長度單位認識常用的面積單位，形成直觀的認知表象；在此基礎上，運用矩形模型“一行的單位面積數×行數”對面積單位間的進率進行深度刻畫和量化描述。如由1平方厘米變為1平方分米，長邊上的1個1平方厘米變為10個1平方厘米，寬邊也發生同樣變化，面積變為原來的100倍（一行10個×10行），因此，兩者的進率是100；平方分米與平方米的進率可以以此類推。第四課時是運用矩形模型解決實際生活中的鋪地磚問題。該問題包含兩種解決方案：一是分別計算所要鋪設的長方形地面在長和寬兩個方向上各需要幾塊地磚，再根據矩形模型用“一行幾塊×幾行”計算出所需地磚總數；二是以所需鋪設的總面積除以地磚面積，即“大面積÷小面積”。兩種方法相比，顯然前者更具有一般性，特別是在遇到無法恰好整塊鋪設的情況時，更需要從矩形模型的角度加以分析和解決。

2.設計立足模型建構的單元整體學習活動

在分析模型建構的基本步驟、基于建模過程分析單元教學內容、立足建模過程開發學習路徑的基礎上，還應當基于單元整體視角選取恰當的學習素材，并對單元內各課時的具體學習活動進行進一步細化，以使教學活動具有可操作性。“面積”單元各課時教學活動的安排，始終圍繞矩形模型建構和應用這一整體目標，按照循序漸進的原則，注重課時內容之間的過渡銜接以及學習活動之間的互動呼應，通過數形結合的方式，用直觀的圖示表征抽象的模型、公式和規律。各課時主要內容具體見表2。

在數學教學中，厘清模型建構的主要步驟，從建模的視角進行內容分析，有助于教師厘清數學認知結構形成的脈絡，準確把握當前教學內容在學習活動中的定位。結合建模過程對單元教學內容進行整體路徑與具體活動的設計，有利于突出單元教學的核心與主線，使學習活動之間的邏輯關系更加順暢，同時也更加符合學生的認知心理和認知規律。不同的學習內容在各自模型建構過程中所處的定位和作用各不相同，在教學設計與實施的過程中，需要我們更加深入地進行思考與分析，用整體、發展的眼光進行準確把握和合理運用。

參考文獻

[1][4] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：86，10.

[2] 呂世虎，楊婷，吳振英.數學單元教學設計的內涵、特征以及基本操作步驟[J].當代教育與文化，2016，8（04）：41-46.

[3][5] 劉曉婷，劉加霞.數學模型的實質與建模過程——以“植樹問題\"為例[J].小學數學教育，2014（03）：3-5.

[6] 劉加霞.數學化：“是什么”與“怎么做”[J].教學月刊小學版（數學），2022（Z2）：1.

[7] 劉加霞.作為“模型”的乘法——對數學概念多元表征的思考[J].小學教學（數學版），2008（10）：46-48.

[責任編輯：陳國慶]