分數意義教學的現實困境與整體重構

摘 要 分數起源于分物與測量，擴展于計數，歸結于運算，與整數、小數的發展過程具有相似性，像數整數、數小數那樣數分數，像整數計算、小數計算那樣進行分數計算，有利于保持數概念發展的一致性。小學生對分數是一個具體數量、分數是兩個量的比值、分數是可以數出來的、分數的本質是一個商、兩個不同的分數可能相等這些與分數相關的概念體驗不足。因此，要緊扣“分數是自然數除法的推廣”，深挖“分數是基于計數單位的建構”，圍繞計數單位的分裂、計數、運算和轉化，開展分一分、比一比、數一數、算一算、化一化等學習活動，以夯實分數的份數、比值、度量、運算和集合等意義，整體建構分數概念。

關" 鍵" 詞 分數意義教學；份數意義；商意義；集合意義；度量意義；比值意義

引用格式 高子林.分數意義教學的現實困境與整體重構[J].教學與管理，2025（08）：35-39.

分數起源于分物與測量，擴展于計數，歸根于運算，有份數、比值、度量、運算、集合等意義[1]。一直以來，分數意義始終是課程制定、教材編寫和教學實施的關注點，整體重構分數意義教學已成小學數學研究者的共識。其中，有人主張“分數認識階段，僅從等分和商的角度認識分數，不介紹分數的比率意義”[2]；也有人主張“分成分物、度量、計算三個小模塊實施教學……重點讓學生從多種角度理解分數，建立分數作為數的概念”[3]；還有人主張“第一階段，認識分數是‘分出來’的……第二階段，認識分數是‘除出來’的……第三階段，認識分數是‘比出來’的……”[4]在新版義務教育數學教科書緊鑼密鼓修訂之際，筆者在整理小學生分數意義學習的五點不足之后，根據多年數學教學實踐經驗，緊扣“分數是自然數除法的推廣”，深挖“分數是基于計數單位的建構”，提出整體重構分數意義教學的對策。

一、體驗不足：整體重構小學階段分數意義教學的原因

1.學生對分數是一個具體數量體驗不足

分數的本源是數（量）而不是比（率）……不管是測量還是分配，都指向一個具體的量，是一個數，而不是比（率）……兒童也更傾向于從數量的角度理解分數[5]。學生對“量”的生活經驗和數學認知明顯多于“率”，如跑了400米、花了2.5元、吃了個蘋果……數的運算結果也更多地指向數量，只有在研究兩個數量的倍比關系時才存在純數“率”，如小華平均每天吃個西瓜，小麗的卡片數是小明的。

但是，國內關于小學階段分數意義的課程設計多是研究份數，即分數的“率”意義。如人教版教科書：“把一個月餅平均分成2份，每份是這個月餅的一半，也就是它的二分之一”“6個蘋果平均分成3份，1份是總數是，2份是總數的”。這直接造成小學生對分數的本源是一個具體數量體驗不足。

事實上，從“量”入手進行分數教學，就像學自然數那樣學習分數，更容易進入學生的認知結構。

2.學生對分數是兩個量的比值體驗不足

分數比值定義的價值在于可用定量研究兩個以上事物在量方面的結構關系，實現數學結構化思想方法的意義；如果只停留在分數的份數定義，不但局限了分數的價值，而且會給學生解決分數問題造成障礙[6]。在沒有掌握分割計數之前，兒童就已經能夠基于直覺判斷相對量的大小，因此，兒童完全有可能在沒有掌握部分整體含義的條件下，掌握比的含義[7]。

分數的比值意義長期被忽視。如多數小學數學教科書，在介紹分數與除法之前是不涉及分數的比值意義的；“分數與除法”中用分數表示倍比除法的結果也僅是為了完整建構分數的商意義，而不是比值意義；在關于比的教學內容中，分數主要是作為比的另一種形式出現的，其比值意義并不突出。分數比值意義的淡化，甚至是忽視，讓學生誤以為分數僅僅是借來表示商或比值的，而不是比較的真實結果，以致體驗不足、認識受限。

事實上，當學生學習了整數的倍數意義和分數的份數意義之后，他們是有能力借助數量的比較或份數的比較來探究表示比值的分數的，雖然彼時他們還沒有接觸過比。

3.學生對分數是可以數出來的體驗不足

在整數與小數的教學中，課程強調數位與位值，重視計數單位在數的建構中的基礎地位，按單位記數、計數和計算是學習常態。但分數的學習卻不再“數”數，導致學生對分數是一個可數出來的數的認識不足。

教科書中對分數意義的份數界定，有利于學生理解部分與整體的關系，但容易影響學生對分數測量意義的理解。研究發現，五六年級小學生在數軸相關表征轉化問題上表現最差，在假分數表征相關問題上也存在較大的困難[8]。數分數的過程，本質是分數單位的累加或用分數單位去度量一個分數。研究表明，基于分數度量意義的理解開展數數，既可以實現同一單位下分數的擴張，完善按單位計數的模型：a個是；也可以實現不同單位下分數的擴張，建立按數值擴數的模型：=。這是必須要引起重視的。

4.學生對分數來源于自然數除法體驗不足

分數是從測量（對應包含除法）和分物（對應等分除法）兩種實際意義中產生的，因而具有兩種具體意義。在理論層面，分數的本質在于“能表示不能整除情形下平均分以后得到的那個結果的大小”。在分數教學過程中，教師必須重視將份數定義快速過渡到商定義[9]。

我們的教科書總是完美避開“分數來源于自然數除法的推廣”，即使在“分數與除法的關系”中，重點也是在研究關系，而不是商意義。這種編排容易導致學生困擾于“一根鐵絲長2米，平均分成4份，每份長（ ）米，占全長的（ ）”這樣的問題。既然等分除的商和倍比除的值都可能是分數，那么能不能較早地引入商定義，幫助學生更加完善地建立分數概念？不管是從理論上分析，還是從實踐中觀察，讓學生盡早體驗分數來源于自然數除法，都是可行的。在等分方面，二年級學生已經系統地學過平均分，所以能夠很好地遷移等分概念；在量比方面，二年級部分學生已經有了量比的感性認識[10]，在三年級學習倍之后，他們對量比會更加清晰。

5.學生對等值分數的特殊存在體驗不足

等值分數是大小相等的兩個或兩個以上分數。兩個等值分數的特點是，雖然分子、分母改變了，但大小仍然相等。分數基本性質是對這一現象的總結。現行教科書對分數基本性質的編排容量較大，直接通過“做中學”發現等值分數分子、分母的變化規律。學生由于事前沒有等值分數的體驗和積累，觀察單位變化的意識較弱、能力較差。部分學生即使記住了分數基本性質，知道了＝，也難以合理解釋其計數價值，更無法明白分數的集合意義。因此，有學者指出，學生能否在圖形中找到適當的單位，將原來的單位重新化聚，再利用找到的這個單位組成全部的圖形，是他們理解等值分數的關鍵。例如學生理解＝時，如果以新的單位來看時，就有4個，所以可以說是，從而得出與一樣大的結論[11]。

如果在“分一分一群物體”“比一比兩群物體”“數一數分數墻上的分數”等活動中，提前滲透、逐步積累，就可以彌補學生對等值分數體驗不足的問題，幫助他們更好地理解分數單位的計數價值和分數的集合意義。

二、有序沉浸：整體重構小學階段分數意義教學的對策

如何解決小學生分數意義體驗不足的問題？分數與整數、小數的概念內涵具有一致性，發展過程也具有相似性。如果像數整數、數小數那樣數分數，像整數計算、小數計算那樣進行分數計算，有利于保持數概念發展的整體性和結構性。因此，緊扣“分數是自然數除法的推廣”，深挖“分數是基于計數單位的建構”，圍繞計數單位的分裂、計數、運算和轉化，開展分一分、比一比、數一數、算一算、化一化等學習活動，可以夯實分數的份數、比值、度量、運算和集合等意義，整體建構分數意義（如圖1）[12]。

在這一教學路徑中，增加了分數度量意義和比值意義的內容，調整了分數份數意義、商意義和集合意義的學習路徑，豐富了各意義（方法）之間的聯系與溝通[13]。不僅強調了除法在分數產生中的本源作用，而且突顯了單位在分數擴張中的主導地位。

1.先探索數量，后學習分率，有序沉浸“量”的體驗

既然分數首先是被用來表示度量、分物結果的，都指向一個具體的量，那么“在初步認識分數時，重點認識表示數量的分數，并在認識表示數量的分數含義的過程中，滲透分數表示部分與整體關系的含義”[14]應該成為分數教學的必然選擇，即先研究表示量的分數，再學習表示率的分數，豐富量的體驗，并與等分除和倍比除建立必要的聯系。

重構后的“分一分”活動，仍然關注分數的“部分—整體”意義，但更側重量的體驗。首先從有余數除法“把9個月餅平均分給4人，每人分得2個月餅，還余1個”出發，著重研究表示量的分數：“多余的1個月餅也平均分給4人，每人分得個月餅，兩人分得個月餅，三人分得個月餅，四人分得個月餅（也就是1個月餅）”[15]。表示量的分數的建構不是一次完成的，后期學習分數商意義時還要進一步研究“把3個月餅平均分給4人，每人分得個月餅”。

表示率的分數的學習，分三個階段展開。在等分一個物體的后段，通過量意義研究率意義：“個月餅表示把一個月餅平均分成b份，a份占b份的”，如“個月餅，表示把1個月餅平均分成4份，其中的1份占了總數的”。在等分多個物體時，再學習“把一群物體平均分成b份，a份占b份的”，如“把12個月餅平均分成4份，每份占總數的，3份占總數的”。在比較兩個量的結果時，探究兩群物體的份數關系（后文具體闡述）。

2.先研究份數，后認識比值，有序沉浸“率”的體驗

依份數定義來看，分數表示的是“部分—整體”之比。比的定義是將它擴展，分數乃是“一部分和另一部分之比”，另一部分可以是整體，也可以是部分[16]。從中，我們依稀看到：分數是兩個整數的比（值）。當完成一群物體“部分—整體”意義的建構之后，就可以借助學生對倍的認知，引導他們研究兩群物體的份數關系：A物體有a個（或a份），B物體有b個（或b份），A物體的個數就是B物體的，B物體的個數就是A物體的。

學習“分一分”的后期，學生已經能在情境中區分量與率：把12個月餅平均分成4份，每份占4份的是率，每份有3個月餅是量；把1個月餅平均分成4份，每份占4份的是率，每份有個月餅是量……而且建構了“a份是b份的”這一模型。這時，利用整數的倍意義和分數的份數意義，可以在“比一比”活動中引導學生學習分數的比值意義。如請學生根據圖示（略），圈一圈、比一比、寫一寫：12個□是4個△的3倍，4個△是12個□的（ ）[17]，從而發現：兩個量的份數比值是，數量比值是，而且=。教師還可以在“部分—整體”情境中，引導學生進一步研究 “部分—部分”的關系，進一步鞏固分數的份數意義，建構分數的比值意義。如學生根據圖示（略）寫一寫：涂色的□個數是總數的幾分之幾，空白的□個數是總數的幾分之幾，涂色□個數是空白□個數的幾分之幾，空白□個數是涂色□個數的幾分之幾。

3.先量出分數，后數出分數，有序沉浸“數”的體驗

對于分數，“部分—整體”概念強調分數分子a與分母b的份數關系，而“測量”概念要求將看做一個整體，強調分數數的特征[18]。這就不得不提“量出來”和“數出來”的分數。用數軸表示分數有兩層含義：第一，表明“分數是數”，一個分數只有一個對應點；第二，表明分數是線段長，是指分數的測量意義。線段模型是分數從份數模型向商模型過渡的幾何載體，體現分數稠密性的特征[19]。“量出分數”與“數出分數”是學生完善分數意義不可逾越的過程，通過前者可以讓學生體會到“分數是基于分數單位建構的”，通過后者可以引導學生基于分數單位計數分數、擴展分數，把分數拓展至假分數。

“數一數”的學習過程，可以分四步實現[20]。第一步，在情境中探討分數的“度量意義”：張大伯種了一塊地（圖略），你覺得“地的長度比30步多了幾步？”面對“不到1步的長度是幾步”的測量任務，引導學生遷移分數的份數意義，可以發現“如果把1步平均分成3份，可知地的長度比30步多了步”。第二步，在“分數墻”中，使用不同的分數單位表征“整體1”，數出更多分數，并建構分數的計數模型“a個是”。第三步，把“分數墻”的矩形模型轉化成數線模型，進一步在數軸上基于分數單位數出大于1的分數，如4個是，比1多是1，就是1。第四步，將數出的分數進行分類，從而認識真分數、假分數和帶分數，甚至零分數。

4.先滲透除法，后建構模型，有序沉浸“商”的體驗

前面談到，學習分數時，學生很可能過于依賴“部分—整體”模式，從而抑制他們將分數視為一個數，錯誤地將分數的分子、分母視為獨立的兩個數，表現出整數偏向[21]。這是因為，不管是學習分數的份數意義（部分—整體的關系）還是比值意義（部分—部分的關系），都是借助份數與份數的關系表征分數的，所以要糾正這種偏向。在概念認識階段，教師應該側重商的定義，讓學生體會分數是數[22]。筆者在實踐中發現，盡早滲透分數的商意義，不僅有利于學生認識到“分數是自然數除法的推廣”，而且有利于學生積累此種經驗，主動建構分數與除法的關系。

在“算一算”活動中，教師可以采取先滲透后建構的策略[23]。先期，在“分一分”活動中提早滲透“平均分物時如果不能得到整數結果，可以用分數表示”，如“把1個餅平均分成4份”可以用算式“1÷4”表示，“每一份的個數”可以用“個”表示。同樣，在“比一比”活動中也提前滲透“兩個量比較時如果不能得到整數結果，可以用分數表示”，如“4個□是12個△的（ ）”，倍比過程可以表示為“□÷△”，倍比結果可以用表示。在正式學習商意義時，只需要針對以上活動經驗，組織學生進一步豐富兩種除法的實例，并一般化就可以了：“把a個月餅平均分給b人，每人分得個月餅”“a個月餅是b個人的”，從而建構分數的商意義：“a÷b=（b≠0）”。

5.先積累實例，后發展性質，有序沉浸“集”的體驗

學生在學習分數的過程中，接觸了不少相等的分數。分數相等不僅是自身相等，還可以根據分數的基本性質構建一個等價類。每個分數的等價類中都包含一個最簡分數，最簡分數是分數等價類中的“代表分數”，需要強調的是，分數等價類中的所有分數并非不同的分數，而是“代表分數”的不同形式[24]。可見，對于任何一個分數，都存在無數個與它相等的等值分數，從而構成一個集合。而反映這些相等分數關系的規律，即是通常所講的分數的基本性質，它是分數等值轉化（單位的擴大或縮小）的依據。

認識分數基本性質的過程，也是在學習分數的集合意義，它有利于分數的擴張、比較和運算。這個頗有價值的過程，可以從積累等值分數開始，再在“化一化”活動中實現厚積薄發[25]。先期，在“分一分”“比一比”情境中，學生既可以用份數比，也可以用數量比表征分數，知道了“在表征同一事件時，兩個長得不一樣的分數是相等的”，如“把12個月餅平均分成4份，每份占或”“4個□是12個△的或”。同樣，在“數一數”活動的“分數墻”或數軸上也可以看到大量等值分數。當學生有了分數“一事多果”的大量積累之后，總結分數的基本性質就是水到渠成的事情。在“化一化”活動中，可以讓學生先從“分數墻”找出多組相等分數，再解說分數與分數的聯系，如==，==，從而發現性質：==（c≠0）。

整體重構分數意義教學的五大有序沉浸對策，是在總結學生分數意義學習體驗不足的基礎上，針對性提出并經過實踐檢驗的，有利于夯實分數的份數、比值、度量、運算和集合等意義。

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[責任編輯：陳國慶]