跨學科項目式學習視域下的高中數學建模教學1

［摘" 要］ 為了便于學生深度理解各個學科領域的知識，現代教育將知識按照不同的類型劃分成相應的學科. 然而，從知識本身來說，它們之間并沒有界限. 研究者從三個核心概念的界定與融合探索的意義出發，以“水的冷卻問題”為例，帶領學生親歷跨學科項目式學習視域下的數學建模教學過程，并從項目選題與跨學科方法上談一些思考.

［關鍵詞］ 跨學科；項目式學習；數學建模

跨學科具有“1+1+1＞3”的教學成效. 項目式學習是一種富有創造性的教學與學習策略，對于培養學生的創新意識具有顯著的價值和深遠的意義. 基于跨學科的視角，開展項目化學習以提升學生的建模技能，是一個值得深入探討的研究領域. 因此，本文將從概念的闡釋和研究的重要性入手，詳細闡述“水的冷卻問題”的建模教學過程.

核心概念的界定

1. 跨學科

跨學科教學理念的核心在于關注并利用不同學科間的相互聯系與影響，通過整合這些學科來實施教學. 實際上，跨學科教學能夠顯著提升單一學科對學生的吸引力，優化教育和教學的效果. 此外，開展跨學科教學活動與當前的“雙減政策”高度一致，有助于減輕師生在“教”與“學”過程中的壓力，同時提升學生的學習興趣和實際應用能力. 這種將語文、數學、物理、化學等不同學科有機結合的教學模式，宛如一個“萬花筒”，讓學生通過它更深入地理解知識間的內在邏輯，并不斷拓展思維邊界，培養出優秀的遷移能力.

2. 項目式學習

項目式學習的研究正日益受到重視，其核心理念源于美國教育家克伯屈的理論：學生應利用自身已有的知識和經驗，主動規劃實踐活動，通過實踐活動的實施來形成學習體驗，進而構建新知識，并培養解決問題的能力. 因此，這種學習模式既體現了學習方法的特性，也融合了教學策略的元素. 在項目探究的過程中，學生以主導者的身份設計和參與實踐活動，自主構建相應的模型，從而獲得解決問題的能力.

3. 數學建模

數學建模是指建立數學模型，首先簡化現實問題，隨后將問題數學化與模型化，最終用數學方法解決問題. 模型思想是學生連接數學與外部世界的橋梁. 通過實踐活動進行知識的“再創造”，可以激發學生自主建模，提煉模型思想，為培養出色的數學建模能力打下堅實基礎. 目前，許多人將數學視為一門關于模型的學科，但關于數學建模的深入研究尚不充分，這是一個值得廣大教育工作者深入探討的課題.

融合探索的意義

從字面上來看，“跨學科”“項目式學習”“數學建模”為三個完全不搭邊的概念，那么，為何要將它們融合在一起來研究呢？首先，數學建模是數學學科核心素養的要素之一，是學生聯系數學與生活的橋梁；其次，跨學科教學的目標是培養學生的數學學科核心素養，提升其生活和學習的能力；再次，項目式學習能夠引導學生親身體驗數學模型的構建過程，而一個項目的探究不僅應用了數學知識，還融合了物理、語文、信息技術等其他學科. 因此，將這三者有機地結合進行數學知識的立項研究，不僅能實現教學效果的倍增，還能確保數學學科核心素養落實.

實踐探索

項目式學習視域下的數學建模與傳統的數學建模存在顯著差異. 項目式學習強調科學地組建合作團隊，并進行有效的任務分配，為項目的順利進行和研究報告的撰寫打下堅實的基礎. 在探究過程中，學生需要從跨學科的角度分析“水的冷卻問題”，通過實際操作、觀察和分析來獲取數據，進而構建數學模型.

1. 明確探索項目，設計活動流程

明確探索項目之后，需要設計活動流程，即對整個項目進行預設，為建模打下基礎. 如圖1所示，基于學生認知發展規律和項目探索的基本途徑，教師有針對性地設計了“茶水的冷卻問題”的建模流程. 該流程主要由觀察實際情境、發現和提出問題、收集數據、選擇函數模型、求解函數模型、檢驗等六個環節構成.

在學生觀察建模流程圖的基礎上，要求學生思考以下問題：①在探索茶水的冷卻問題時，為何選擇函數y=kax+25（x≥0）作為模型？②是否可以將表1（見實驗環節）中的數據直接代入該函數表達式以獲得a值？③使用表2（見實驗環節）中的比值平均數作為a值建模的依據是什么？

設計意圖 鑒于學生對項目式學習的理解尚淺，若教師完全放手讓學生自主立項、設計與探索，可能會導致學生遇到諸多難題. 因此，教師直接展示“茶水的冷卻問題”的建模流程圖，為學生探索“茶水的冷卻”過程提供了明確的方向. 這種設計不僅能節省教學時間，還能為學生后續的項目式學習提供規范性的指導. 通過解答上述三個問題，學生能進一步鞏固對函數知識的理解，培養自主將所學數學知識規范地應用于解決實際生活問題的能力，進而實現生活、數學與閱讀理解的深度融合.

2. 實驗分析，發現問題

將40 ml的85 ℃熱水倒入150 ml的燒杯中，每隔1分鐘測量一次水溫，獲得表1所示的數據.

基于以往對函數探索的實踐，學生在完成表1之后，很自然地想到用圖形來展示數據. 為了彰顯跨學科教學的優處，教師激勵學生獨立使用幾何畫板，將表格內的數據轉化為散點圖. 隨著圖形的逐漸顯現，在教師的引導下，學生將函數模型y=60×0.9227x+25（x≥0）標注于圖形一側，并利用幾何畫板繪制出該函數模型的圖象，通過對比發現兩幅圖并不完全吻合. 因此，學生結合實際數據與函數模型y=kax+25（x≥0），對a，k兩個值進行了重新計算.

學生通過合作與交流的方式探討了上述問題，發現當室溫設定為30 ℃時，在x值為0的條件下，y值為85，進而得出k值為55. 將每分鐘y－30的值比前一分鐘y－30的值，得到溫度的衰減比率，詳細結果見表2.

通過觀察與分析，獲得各個比值的平均值a為0.9434，進而構建了函數模型y=55×0.9434x+30（x≥0）.

如圖2所示，通過幾何畫板將學生繪制的散點圖與函數模型y=60×0.9227x+25（x≥0）和y=55×0.9434x+30（x≥0）的圖象進行對比，發現根據表1繪制的散點圖與函數模型y=55×0.9434x+30（x≥0）的圖象完全吻合.

完成以上研究后，引導學生思考：為何通過操作得到的數據與預期的實驗結果存在差異？哪些因素影響了實驗結論的準確性？

在探索性學習的支撐下，學生通過合作與交流，提出了相應的假設：水的冷卻會受到多種因素的影響，包括水的體積、盛水容器的類型、盛水容器的材料、環境溫度以及水與空氣接觸的面積等.

設計意圖 在教育信息化的浪潮中，利用幾何畫板輔助教學不僅能夠顯著提升課堂教學的效率，還能為學生提供直觀的視覺體驗，為培養他們的數學直觀想象能力打下堅實的基礎. 信息技術與數學學科的深度融合，不僅順應了時代發展的潮流，也是人類社會進步的明顯標志. 在這一環節中，引導學生將實際測量的數據與預設的數據進行繪圖對比，有效地開啟了他們的思維之門，教會他們從宏觀的角度思考和分析問題，這體現了項目式學習視角下建模教學的客觀性、科學性和嚴謹性.

3. 實際操作，驗證猜想

猜想只是學生經過交流后初步形成的結論，想要確定結論的正確性，必須經歷科學嚴謹的論證過程. 項目式學習通常采用實際操作來作為驗證的手段. 因此，教師為各個小組的學生準備了實驗所需的若干材料，包括各類液體（如茶水、橙汁、牛奶）、水杯、燒杯等，鼓勵學生以小組形式開展實驗探究［1］.

依據實驗流程，學生依次根據測量液體溫度的方法，重新填寫了表1和表2. 通過計算和分析，他們得到了不同條件下的數學函數模型，并探究了溫度降至60 ℃所需的時間，進而完善了表3.

在表3的輔助下，師生、生生積極互動，共同分析單一變量對冷卻時間的影響，并思考不同物質與冷卻時間之間存在的關系.

設計意圖 實驗是驗證猜想的重要手段，項目化背景下的數學建模更離不開實驗的支持. 教師引導學生使用多種液體去驗證猜想，這不僅為構建數學模型打下了堅實的基礎，還有效地促進了學生實踐和思維能力的發展. 在這一過程中，不僅應用了數學知識和方法，還涵蓋了科學探究、統計等多學科的技能，為提高學生的綜合學習能力奠定了堅實的基礎.

4. 完善模型，拓展應用

將一個物體置于低溫環境中，假設空氣溫度為x₀"℃，物體的初始溫度為x₁ ℃，經過t分鐘后，物體的溫度將變為x=x₀+（x₁－x₀）e^-kt，這一變化過程遵循的公式中包含一個關鍵參數k，它代表物體與冷空氣接觸時的熱傳遞系數. 例如，若一個初始溫度為62 ℃的物體置于15 ℃的環境中，經過1分鐘后，該物體的溫度將降至52 ℃.

問題 （1）公式中出現的k值是多少？（精確到0.01）

（2）若要將物體的溫度分別降至32 ℃和42 ℃，需要將物體置于空氣中多長時間？

在上述探索過程的基礎上，學生只需進行簡單的交流和思考，便能順利解決問題. 通過對比分析給定公式與實驗數據得出的函數模型，學生發現了e^-k=a這一規律，并據此得出結論：本項目實驗所建立的模型能夠適用于所有物品的冷卻問題，而不僅限于液體.

為了進一步拓寬學生的視野，提升學生的自主學習能力，教師要求學生在課后思考如何研究“將速凍肉取出解凍”時的溫度變化問題.

“肉的解凍”實際上是指冰融化成水的過程，從物理學角度而言，這是一個熱傳遞現象. 當凍肉的溫度低于室溫時，凍肉中的冰會吸收空氣中的熱量. 隨著時間的推移，肉的溫度逐漸與室溫達到平衡. 本質上，肉的解凍過程與水的降溫過程相同，都是物體溫度在時間的作用下逐漸與環境溫度一致的過程. 因此可以用指數型函數模型來研究這一現象. 在學生探索的過程中，他們自然會思考肉的體積、形狀、種類等因素是否會影響解凍速度.

設計意圖 隨著項目研究的圓滿結束，學生的思維逐步完善. 此過程滲透了從特殊到一般的思想. 課堂尾聲，教師提出了一個關于“肉的解凍”的問題，不僅拓寬了學生的思路，而且促使學生的思維從數學跨越到物理學. 這個問題對于培養學生的應用意識具有重要的價值和意義.

思考與感悟

1. 注重項目的選題

項目式學習背景下的數學建模，不僅要滿足常規數學建模需要的流程，同時還要符合項目式活動相關流程，這就給項目選題帶來了較高的要求［2］. 依據學生的實際認知能力、待研究的問題以及需要構建的模型來規劃項目主題和設計項目活動，可以實現教學效果的倍增. 本節課構建的模型是指數型函數模型，結合教材內容、課程標準、學生的認知水平以及他們的生活經驗，特別設計了一個“水的冷卻”項目. 這是一個普遍存在的生活現象，學生對此較為熟悉，因此能夠迅速激發他們的探究興趣.

2. 跨學科要自然

跨學科教學已成為當前教育領域關注的焦點. 那么，如何有效地實施跨學科教學呢？研究指出，將教學內容與學生的日常生活緊密結合，并在教學的各個階段巧妙地融入其他學科的知識，可以自然而然地實現跨學科教學. 例如，運用數學知識來闡釋物理或化學現象，利用信息技術來增強教學效果，以及通過經典圖形來展示數學之美，這些都是跨學科教學的典型實踐，對于提高教學效果具有顯著的價值.

總之，跨學科項目化學習視域下的建模教學，是一個值得深入探討的話題. 特別是在以核心素養為指導的現今，教師必須在“以生為本”教學理念的指導下，密切關注學生的實際成長需求，精心挑選課題、巧妙融合各學科知識，使學生在建模活動中得以自然發展.

參考文獻：

［1］ 張東海.項目式學習理念下數學建模教學探究：以高中數學“建立函數模型解決實際問題”為例［C］. 線上線下融通·課程教材創新——第五屆中小學數字化教學研討會論文集，2020：206-211.

［2］ 劉偉. 初中生數學建模能力培養研究［D］. 曲阜師范大學，2020.