基于“課堂深度學習”的高中數學教學實踐研究

［摘" 要］ 在高中數學教學中，教師應巧妙地創設問題情境，激勵學生主動發現問題、提出問題、分析問題和解決問題；以問題為核心，采用一題多解、多題歸一的方式引導學生深入思考，促進深度學習真實發生.

［關鍵詞］ 深度學習；零點；零點存在定理

自《中國學生發展核心素養》發布以來，深度學習與深度教學便成為教育研究領域中的熱門話題［1］. 作為一位一線數學教師，筆者通過深入研究相關資料，認識到深度教學是為了學生核心素養發展的教學，是讓學生深度參與數學學習過程，深刻理解數學內容的本質和思想，實現學生與教材、教師、生活經驗深度對話，培養學生質疑反思習慣和思維能力的教學［2］. 數學深度教學過程不是一個告知與接受的過程，而是一個交流合作、深度探究、質疑反思的過程，是一個發現問題、分析問題、解決問題的過程［3］. 據此，筆者對在核心素養指導下的數學深度教學有了新的理解，并引發了深入思考. 接下來，筆者以高三復習課“用導數探究函數的零點”為例，簡要闡述筆者對深度教學的思考與實踐.

教學分析

1. 教學內容分析

函數的單調性、極值、最大（小）值是函數的重要性質，它們是運用函數解析客觀世界運動變化規律的關鍵所在. 導數，作為一種數學工具，專用于描述瞬時變化率，它能夠定量地刻畫函數的局部變化. 借助導數這個重要工具，可以更加精確地研究函數的性質，以及函數、方程和不等式等數學問題. 在高中數學教科書中，導數在函數中的應用主要涵蓋三個方面：求函數圖象的切線、判斷函數的單調性、求函數的極值和最值．這三個看似簡單的問題，卻往往讓學生望而生畏，原因是將導數問題包裝了起來，其本質被掩蓋了，從表面上看不出題目是在考查上述三個問題之一. 若想攻克這個難題，需要學生洞察問題的本質，利用轉化與化歸思想，將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，將不會解決的問題轉化為能夠解決的問題，最終實現問題的解決.

首先，從學生作業中發現的問題入手，引領學生深度剖析函數零點問題，通過轉化與化歸，將復雜問題轉化為簡單問題，將陌生問題轉化為熟悉問題． 通過經歷“研究什么問題→轉化成什么問題→構造函數→利用導數研究函數→解決問題”這一分析和解決問題的過程，梳理出解決函數零點問題的三種方法，形成一條通用的解題路徑. 其次，通過變式習題的練習，發散數學思維，讓學生能夠闡述解決變式習題的基本步驟，深刻體會解題路徑. 最后，通過考題的呈現，檢驗學生對知識的掌握程度，并在分析和解決問題的過程中，感悟用數學方法研究問題的基本過程．

2. 教學目標分析

教學目標如下：

（1）通過分析和解決函數零點問題，明確函數零點與方程根、兩個函數圖象交點之間的聯系；能夠構造恰當的函數，運用導數畫出函數的大致圖象，進而解決零點個數的問題；同時，能夠利用函數零點存在定理進行論證，并能利用規范格式書寫解答.

（2）在研究函數零點問題的過程中，體會數形結合思想，領悟導數在分析函數圖象和性質中的關鍵作用，從而提高邏輯分析和轉化與化歸的能力.

（3）在分析函數圖象變化趨勢的過程中，發展邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養．

實現上述目標的標志包括：

（1）通過研究函數f（x）=lnx－ax+1（a∈R）的零點問題，學生能夠把函數的零點、方程的根、圖象的交點三者等價轉換，并總結出解決函數零點問題的三種方法；能夠利用導數確定函數的單調區間，并在繪制函數圖象時，體會零點存在定理、定點、函數值符號、極限等性質的應用；通過自主變式和考題演練，深化學生對通性通法的理解和掌握；課堂上，通過教師板書、學生板演，規范學生的書寫格式，完善解決導數問題的常規方法.

（2）通過對具體函數零點問題的深度剖析，將復雜問題轉化為簡單問題，培養學生的轉化與化歸思想；在使用導數研究簡單含參函數性質的過程中，能夠正確地分類討論并解決問題；能夠將含有量詞（任意或存在）的不等式問題轉化為函數的最值問題，并利用導數解決問題.

（3）通過對條件和結論的變式探究，培養學生的創新思維；通過設計問題串，引導學生深入探究，讓學生經歷思考、推理、變式、應用、反思等過程，使學生在學習知識的同時學會深入思考，從而將數學學科核心素養的培養落到實處.

3. 教學重點和難點

教學重點：利用導數研究函數的圖象.

教學難點：合理轉化函數零點問題.

教學過程

1. 回顧反思習題，梳理總結方法

在課前的作業題目中，學生對以下例題的解答情況并不樂觀. 這既說明學生對這部分知識的掌握程度有待提高，也反映學生的解題能力、知識遷移能力和對已有知識的加工創造能力欠佳.

例題 若函數f（x）=lnx－ax+1（a∈R）有兩個零點，求a的取值范圍.

（1）解題方法

（2）學生問題

①基礎知識不扎實，知識結構不完整. 從學生的作業情況來看，班上有部分學生已經掌握了基本知識和基本方法，能夠獨立且較為順利地解決常見的函數零點問題. 然而，大多數學生對函數的零點、方程的根、函數圖象與x軸交點的橫坐標的轉化不夠熟練. 他們對零點存在定理的應用掌握得不夠深入，對參數的分類討論標準也不夠嚴謹. 此外，學生還沒有形成利用導數研究函數性質的一般解題路徑，缺乏構建知識結構間邏輯關系的能力.

②解題方法不全面，變形轉化不熟練. 深度學習的關鍵在于深入研究和思考. 筆者對班上不同層次的學生進行訪談后得知，他們普遍存在的問題是對題目整體認識和分析的意識比較差，缺乏對函數性質的整體關注. 例如，許多學生拿到題目后就直接求導，而不是先觀察函數的解析式，判斷函數是否過定點，或者能否直接得出函數的單調性. 這反映學生在解題方法和技巧方面存在不足. 此外，部分學生提到，拿到函數題目時，不知道應該怎樣變形處理. 這表明學生通過轉化與化歸解決問題的能力有待提高.

（3）解法梳理總結

解析與點評 這三種解法各具特色. 首先，對已知條件進行轉化，解法1和解法2利用導數研究函數的單調性，結合零點存在定理畫出函數的草圖，問題迎刃而解. 這兩種解法思路清晰，推理嚴謹，表述規范.解法3展現了數形結合思想，直觀明了，但其嚴謹性略顯不足. 因此，若此題為解答題，學生在選擇解法時需格外謹慎.

2. 自主變式習題，激發創新思維

深度探究是指學生深入探討問題情境，從數學的角度出發，提出問題、分析問題并解決問題. 然而，許多學生的思維往往局限于既定題目之內. 鑒于此，筆者引導學生從出題者的角度出發，把題目的各個條件按照一定的思維邏輯進行變式拓展，從而形成變式鏈［4］. 這有助于打通學生的解題思維脈絡.

師：上述解題方法是否適用于一般的函數零點問題呢？能否通過變換題目條件或結論來檢驗自己對知識和方法的掌握是否牢固，以及應用是否得心應手？

生1：改變函數解析式，即把對數函數換成指數函數或者其他函數.

變式1：若函數f（x）=ex－ax－1（a∈R）有兩個零點，求a的取值范圍.

生2：改變參數的位置.

變式2：若函數f（x）=alnx－x+1（a∈R）有兩個零點，求a的取值范圍.

生3：變成恒成立問題，求參數的取值范圍.

變式3：已知函數f（x）=lnx－ax+1（a∈R），若不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍.

生4：變成能成立問題.

變式4：已知函數f（x）=lnx－ax+1（a∈R），若存在xgt;0使得不等式f（x）≤0成立，求a的取值范圍.

設計意圖 深度教學的核心在于促進學生深入參與教學活動. 那么，怎樣才算學生深入參與了教學活動呢？在本環節中，筆者鼓勵學生自主命題并求解，一方面激發學生解題的積極性，另一方面檢驗學生對本節課內容的掌握情況. 這種設計不僅富有深意，而且能確保學生深入參與教學活動，幫助他們深刻理解本節課內容的本質. 同時，引導學生從更宏觀的角度對已有的經驗和知識進行反思和更新.

3. 呈現考題，促進思維的遷移與提升

考題 （2023年朝陽期中第20題）已知函數f（x）=mxlnx－x2+1（m∈R），若f（x）≤0在區間［1，+∞）上恒成立，求m的取值范圍.

（1）解題方法分析

（2）解題過程簡析

4. 總結提煉

筆者邀請學生深入思考并交流，共同歸納出解決函數零點問題的基本策略，旨在激發學生的學習智慧，提高課堂的教學效果.

師：導數的主要功能是什么？

生：導數在輔助研究函數性質方面發揮著關鍵作用，它幫助我們分析函數的單調性、尋找函數的極值以及確定函數的最大值和最小值. 通過轉化，許多問題都可以歸結為這三個基本問題來解決.

師：拿到問題時，切勿急于求成，盲目求解，而應深入分析函數解析式、已知條件、已獲得的結論以及待解決的問題. 求解數學問題的基本策略如圖2所示.

教學反思

1. 循序漸進，由淺入深，促進深度學習

深度學習重視學生高階思維能力的發展，但其關鍵不在于解決問題的“難”度，而在于確保學生對基礎知識的牢固記憶、基本技能的熟練掌握以及對基本原理的深入理解與應用. 在本節課教學中，首先引導學生回顧零點概念和零點存在定理等基礎知識點，隨后引導學生研究函數零點問題的一般解決方法，最后帶領學生進行變式探究. 這個循序漸進、由淺入深的教學路徑，符合學生邏輯思考的習慣，既能完善學生的知識體系，又促進其思維能力的發展.

2. 一題多解，多題歸一，促進深度學習

深度學習在很大程度上就是引導學生學會遷移，即在遇到新問題時能夠運用所學的知識和技能進行解決. 在本節課教學中，先通過例題引導學生從多個角度進行思考，總結出三種解題方法，然后采用問題串的方式進行變式探究，多題歸一，喚起學生的好奇心與求知欲，促使學生將所獲得的經驗通過各種變式廣泛遷移，不斷進行概括和系統化，進而轉化為解題能力. 更進一步，從更高層次對已有的解題和學習經驗進行反思和更新.

3. 問題引領，變式探究，促進深度學習

深度學習是一種旨在培養深層次學習能力、解決問題層次逐級提高的過程. 通過創設情境，激發學生發現并提出問題，進而引導他們通過思考和探究來尋找解決方案，最終得出結論. 通過例題探究和變式訓練，加強學生對知識的理解和鞏固，引導學生從淺層思考轉向深度思考，經歷一個完整的深入思考過程. 通過思考和交流，促進學生對知識的深化理解與靈活應用. 在本節課的教學中，引導學生專注于解決函數零點問題，鼓勵他們從多個角度進行思考，從而培養學生的思維能力，提升他們的數學學科核心素養.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部，普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 張科. 高中數學新授課的深度教學策略：以“空間向量運算的坐標表示”為例［J］. 數學教學研究，2021，40（3）：2-5+10.

［3］ 盧光.高中數學深度學習與深度教學研究述評［J］. 中學數學教學參考，2021（28）：73-76.

［4］ 張鵬，白雪峰. 基于變式教學培養高中生的數學再創造思維：以“直線與圓的綜合問題”專題復習課教學設計為例［J］. 華夏教師，2023（7）：54-57.