跨學科項目式學習視域下的高中數學建模教學

［摘" 要］ 跨學科項目式學習更注重學生能力的培養、學生學習興趣的激發和學生數學學科核心素養的落實. 研究者以“鉛球投擲問題”為例，通過跨學科項目式學習引導學生對“鉛球投擲問題”進行數學抽象，構建數學模型，使學生深刻理解數學模型在解決實際問題中的重要性，培養學生的模型意識，發展學生的數學學科核心素養.

［關鍵詞］ 跨學科式項目學習；數學抽象；數學模型

新課標明確指出，教學中應積極推行主題化、項目式學習等綜合性教學活動，以實現教學從過去單一的“學科”知識傳授向更能激發學生綜合素養和能力的“跨學科”課程育人方向轉變. 將跨學科項目式學習方法融入高中數學教學中，有助于促進深度學習，培養學生綜合探究、運用知識、團隊合作以及有效溝通的能力. 數學建模是將現實問題數學抽象化，通過數學語言表述問題，并運用數學方法構建模型以解決實際問題的過程，它是一種綜合性的實踐活動. 數學建模活動與項目式學習在教學內容、目標以及評價方式上存在諸多相似之處，因此，在高中數學建模教學中融入項目式學習方法是科學且合理的. 以“鉛球投擲問題”為例，筆者引導學生體驗完整的數學建模流程，讓學生領略數學模型在解決實際問題中的魅力，同時培養學生對數學建模的認識，并提升他們運用數學知識解決實際問題的能力.

教學分析

1. 知識背景

鉛球投擲模型是將鉛球運動簡化為質點的拋物線運動，忽略空氣阻力、鉛球特性、運動員動作等次要因素，通過物理運動學原理構建出用于預測投擲距離的數學模型. 該模型涉及三角函數、參數方程以及物理學中的拋物線運動理論，而且這種模型還可拓展應用于籃球投籃等其他投擲類問題，具有重要的研究價值.

2. 教學目標

（1）深入探索三角函數在日常生活中的實際應用，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界；

（2）引導學生在問題驅動下自主探究影響鉛球投擲距離的主要因素，掌握構建函數模型的基礎技巧，培養學生的創新思維，提升學生的綜合能力；

（3）通過親歷數學建模的整個過程，提升學生的數學建模技能，深刻理解數學的應用價值，并培育學生的數學應用意識.

3. 教學重點與難點

（1）提煉影響鉛球投擲距離的主要因素，并構建三角函數模型；

（2）數學模型的應用.

教學過程

1. 提出問題

在課前，教師指導學生以小組形式搜集與數學和體育運動相關的資料. 課堂上，學生首先進行分享，接著教師提煉出有價值的信息，并引出本節課的研究主題——鉛球投擲問題.

師：若從數學的角度來看，你認為我們研究的主要對象是什么？

生1：鉛球的投擲距離.

師：你認為哪些因素會影響投擲距離？

生2：運動員的身高、出手速度、出手角度以及投擲時的推力.

生3：還有風速和鉛球的重量.

……

師：影響投擲距離的因素有很多，全面考慮這些因素是非常困難的. 因此，我們必須識別出影響投擲距離的主要因素. 請大家思考并討論一下，哪些因素是影響投擲距離的主要因素呢？

在教師的啟發與指導下，學生通過思考和交流，歸納出影響鉛球投擲距離的主要因素是出手角度和出手速度.

設計意圖 從現實生活出發，引導學生從物理學和數學的角度提煉影響鉛球投擲距離的主要因素，為構建數學模型奠定基礎. 在此過程中，教師通過設計層層遞進的問題引導學生深入思考，充分調動了學生參與課堂的積極性，激發了他們的思維活力.

2. 模型假設

師：經過剛才的分析，我們已經確定了兩個主要影響因素：出手角度和出手速度. 除了這兩個主要因素，其他一些主客觀因素也對結果有所影響. 為了簡化研究，我們需要對這些因素做出一些假設，以便排除次要因素的影響，構建數學模型. 基于我們現有的知識和生活經驗，你認為應該設定哪些條件限制呢？

學生首先在小組內進行討論，隨后在小組間交流，匯聚大家的智慧，總結并歸納出合理的意見，最后進行展示.

生4：空氣阻力是一個客觀存在且無法避免的因素. 因此，在研究過程中，我們應當忽略空氣阻力對鉛球運動軌跡和投擲距離的影響.

生5：由于鉛球具有一定的體積，在測量投擲距離時可能會產生誤差. 因此，在測量時我們應忽略鉛球的體積，將其視為一個質點.

生6：影響鉛球投擲距離的主要因素是出手速度和出手角度. 為了簡化研究，我們應當假設這兩個因素是相互獨立且互不影響的.

設計意圖 教師引導學生深入探討主客觀因素，并對這些因素提出假設，以使建模過程更加科學和合理. 同時，在這一過程中，教師注重引導學生闡述假設的理由，以此來培養他們思維的嚴謹性.

3. 模型構建

師：結合你們的知識和生活經驗，你們認為“投擲鉛球”這個問題可能與哪些學科的知識有關？

生7：可能涉及物理學中的拋物線運動.

生8：還有數學中的二次函數知識.

師：請結合物理課上所學的相關知識，談談我們是如何研究拋物運動的.

生9：化曲為直，將其分解成兩個運動：一是水平方向的勻速直線運動；二是豎直方向的自由落體運動.

師：若要運用數學知識來研究這一問題，首先需要將其轉化為一道數學問題. 你打算如何進行轉化呢？

生10：如圖1所示，鉛球從距離地面h高度拋出，已知拋出的初始速度為v，出手角度為θ，求投擲鉛球的距離.

師：很好，求投擲鉛球的距離實際上就是研究鉛球在水平方向上的位移距離. 若要計算水平位移距離，你認為可以運用哪些知識來求解？

生11：設鉛球運行的時間為t，點P（x，y），結合三角函數知識易得x=t·vcosθ.

師：可見，影響水平位移距離的因素不僅包括速度和角度，還包括時間. 然而，時間作為一個無關變量，我們需要將其消除. 為了消除時間的影響，我們必須尋找另一組與時間相關的數量關系. 你能否找到這組關于時間的數量關系呢？

4. 模型應用

教師利用幾何畫板畫出x關于θ的函數的部分圖象（如圖2所示），接著使用幾何畫板展示當θ=41.6°時，x關于v的函數的部分圖象（如圖3所示）.

師：觀察圖象，說說你發現了什么.

生15：當出手角度固定時，出手速度越大，投擲距離越遠.

設計意圖 教師通過數形結合的方式，引導學生體會出手角度和出手速度對鉛球投擲距離的影響，從而培養他們的直觀想象能力. 在此過程中，教師還指導學生深入分析表1中的數據，使學生認識到出手速度的變化對鉛球投擲距離的影響大于出手角度的變化，進而培養學生的數據分析能力和科學嚴謹的學習態度.

結束語

數學建模在培養學生數學思維、數學應用能力、數學學科核心素養等方面有著重要的作用. 在高中數學教學中，教師要創造機會讓學生經歷數學模型建構過程，讓學生掌握數學建模的一般思路與方法，以此提高學生數學建模素養，提高學生數學實踐能力［1］.

總的來說，數學建模的深入發展并非一朝一夕之功，它需要在實踐中不斷探索、驗證. 只有親身經歷數學建模的全過程，學生才能真正掌握其方法，從而有效提升綜合能力和素養.

參考文獻：

［1］ 米秀旭.學科融合的數學建模資源開發：以“種群數量變化研究”為例［J］. 中學數學教學參考，2023（31）：75-78.