指向數(shù)學(xué)理解的教學(xué)設(shè)計研究

［摘 要］數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)高度關(guān)注學(xué)生對知識的理解。文章從“數(shù)學(xué)理解”的內(nèi)涵出發(fā)，闡述其在教學(xué)設(shè)計中的具體體現(xiàn)，并以“平行四邊形的面積”教學(xué)設(shè)計為例，展示其在教學(xué)中的運用：通過系列教學(xué)活動，幫助學(xué)生經(jīng)歷“經(jīng)驗理解”“表象理解”“聯(lián)系理解”“應(yīng)用理解”及“思想理解”，使學(xué)生對知識的理解不斷深化，最終實現(xiàn)對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)同。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)理解；平行四邊形的面積；教學(xué)設(shè)計

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）02-0077-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）高度重視學(xué)生對知識的理解。在數(shù)學(xué)課堂中，若教師僅傳授冰冷的知識，而不關(guān)注學(xué)生對知識的理解，教學(xué)效果必將不佳，教學(xué)目標(biāo)也難以達(dá)成。學(xué)生只有深度理解知識、完善知識網(wǎng)絡(luò)，才能靈活運用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題。因此，有效的教學(xué)需學(xué)生真正理解知識：既明白知識的生成過程，又領(lǐng)悟其背后蘊(yùn)含的思想。

一、數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵

20世紀(jì)70年代，英國數(shù)學(xué)教育家斯根普開始研究數(shù)學(xué)理解，明確指出理解并非虛無縹緲，而是一種積極進(jìn)取的狀態(tài)。此后，數(shù)學(xué)理解的相關(guān)研究層出不窮。

數(shù)學(xué)理解具有雙重屬性，既體現(xiàn)為學(xué)習(xí)目標(biāo)，又貫穿學(xué)習(xí)過程；既是連接數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實生活的橋梁，又是衡量教學(xué)效果的重要指標(biāo)。《課程標(biāo)準(zhǔn)》中多次提及“理解”，足見其對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要對知識的來龍去脈了如指掌，準(zhǔn)確把握隱藏在知識背后的數(shù)學(xué)思想和方法，方能稱得上是真正理解數(shù)學(xué)知識。為實現(xiàn)這一目標(biāo)，教師需關(guān)注學(xué)生的理解層次，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入理解知識，并領(lǐng)悟其中的思想與方法。

數(shù)學(xué)理解是一個由淺入深、逐步發(fā)展的過程。學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解可大致劃分為五個層次：經(jīng)驗理解、表象理解、聯(lián)系理解、應(yīng)用理解和思想理解（如圖1）。其中，經(jīng)驗理解指學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識前已有的經(jīng)驗和認(rèn)識，多停留在表面。表象理解則是在教師創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境中，學(xué)生對新知產(chǎn)生的初步理解。聯(lián)系理解是在經(jīng)驗理解和表象理解的基礎(chǔ)上，學(xué)生找到新舊知識的聯(lián)系，完善知識網(wǎng)絡(luò)，確定新知識的立足點。學(xué)習(xí)的最終目的是應(yīng)用知識解決問題，應(yīng)用理解指學(xué)生能靈活運用新知解決問題。最高層次的思想理解，指學(xué)生在學(xué)習(xí)和應(yīng)用新知的過程中，發(fā)現(xiàn)并理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。思想理解貫穿數(shù)學(xué)理解的各個層次，各層級理解相輔相成，共同促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。

總之，數(shù)學(xué)理解是一種內(nèi)在的心理過程，學(xué)生從已有經(jīng)驗出發(fā)，在教師引導(dǎo)下尋找新舊知識的聯(lián)系，初步形成知識表象，從而更深刻地認(rèn)識知識本質(zhì)，靈活運用知識，體會內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想。

二、數(shù)學(xué)理解在教學(xué)設(shè)計中的體現(xiàn)

作為數(shù)學(xué)教師，要在教學(xué)中切實展現(xiàn)數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵，推動學(xué)生深入理解，需巧妙設(shè)計教學(xué)方案并關(guān)注學(xué)生理解情況（如圖2）。一是經(jīng)驗理解，學(xué)生已有一定的生活與學(xué)習(xí)經(jīng)驗，教學(xué)應(yīng)充分利用這些經(jīng)驗，通過情境引導(dǎo)學(xué)生有效應(yīng)用。二是表象理解，教師需引導(dǎo)學(xué)生捕捉信息、提取概念，并歸納總結(jié)知識以形成表象。三是聯(lián)系理解，在學(xué)生掌握經(jīng)驗與表象理解后，教師應(yīng)引導(dǎo)其將新舊知識聯(lián)系起來，使新知在原知識網(wǎng)絡(luò)中有意義。四是應(yīng)用理解，知識理解不能僅停留于知曉，而應(yīng)會應(yīng)用。五是思想理解，此為數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)。學(xué)生在學(xué)習(xí)中會領(lǐng)悟多樣數(shù)學(xué)思想，教師需引導(dǎo)其總結(jié)并創(chuàng)造性解決問題。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需創(chuàng)設(shè)情境，激活學(xué)生已有經(jīng)驗，引導(dǎo)其對知識進(jìn)行提取概括以獲得知識表象，并從原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中尋找新舊知識的聯(lián)結(jié)點，從而將新舊知識聯(lián)系起來，豐富知識網(wǎng)絡(luò)，助力知識應(yīng)用以解決數(shù)學(xué)問題，并從中感悟數(shù)學(xué)思想與邏輯思維。這樣，學(xué)生才算真正理解新知識，實現(xiàn)數(shù)學(xué)理解。

三、指向數(shù)學(xué)理解的教學(xué)設(shè)計示例

理解是知識運用的基礎(chǔ)，因此教師在數(shù)學(xué)課堂應(yīng)特別關(guān)注學(xué)生理解的層次。下面以“平行四邊形面積”的教學(xué)設(shè)計為例，從經(jīng)驗理解、表象理解、聯(lián)系理解、應(yīng)用理解及思想理解五個層次逐步推進(jìn)教學(xué)活動。在這五個層次中，首先是基于學(xué)生經(jīng)驗引導(dǎo)其進(jìn)行意義建構(gòu)，形成表象；然后啟發(fā)學(xué)生以舊知理解新知，建立聯(lián)系；最后給予學(xué)生鞏固提升的機(jī)會，促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用理解與思想理解。

（一）創(chuàng)設(shè)情境：激活經(jīng)驗理解

師（出示圖3）：請看大屏幕，這兩個圖形的面積相等嗎？你想怎樣比較呢？

生1：數(shù)格子，兩個圖形都占12個格子，所以面積相等。

師：還有其他方法嗎？

生2：平移圖形①中的2個格子，就可以將它拼成和圖形②完全一樣的長方形。

師：為什么要拼成一個長方形呢？

生2：這樣就能用長方形的面積公式求面積了。

【分析：教師引導(dǎo)學(xué)生采用不同思路、選擇不同方法解決問題，能啟發(fā)學(xué)生多維度思考，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。此外，持續(xù)的追問能逐步激活學(xué)生的經(jīng)驗理解，為新知識的教學(xué)做好鋪墊。】

師（出示圖4）：繼續(xù)比較，這兩個圖形的面積相等嗎？

生3：平移圖形③中的三角形，將圖形③拼成與圖形④相同的正方形。

師：為什么不數(shù)格子了？

生3：因為平移更方便，且圖形③所占的格子并不全是整格，不好數(shù)。

師：厲害！通過平移，將不熟悉的未知圖形轉(zhuǎn)化成熟悉的已知圖形，這種方法叫作轉(zhuǎn)化。

【分析：教師借助兩個簡單問題，引導(dǎo)學(xué)生獨立分析并深刻感受到轉(zhuǎn)化的魅力與作用。通過啟發(fā)學(xué)生思考“轉(zhuǎn)化前后什么變了，什么不變”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“轉(zhuǎn)化前后形狀變，面積不變”，然后讓學(xué)生帶著這一發(fā)現(xiàn)繼續(xù)感悟轉(zhuǎn)化的妙處，這就是從學(xué)生已有認(rèn)知出發(fā)，既能鞏固知識，檢查學(xué)習(xí)情況，又能調(diào)動學(xué)生學(xué)好新知的信心。此處，教師激發(fā)了學(xué)生的經(jīng)驗理解。】

（二）提取概括：生成表象理解

所謂知易行難，教師在教學(xué)中應(yīng)多鼓勵學(xué)生動手操作、大膽嘗試和比較分析，這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，并讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。

師（出示平行四邊形）：這是什么圖形？你會求它的面積嗎？有什么好方法？

生1：這是平行四邊形，可以將它轉(zhuǎn)化為長方形。

師：如何轉(zhuǎn)化？不妨動手試試，可畫一畫、剪一剪、拼一拼。

生2：我剪出一個三角形再拼。

生3：我剪出一個梯形再拼。

【分析：學(xué)生提出的解決方法極具價值，這是他們通過動手操作、交流討論、總結(jié)歸納得出的，體現(xiàn)了他們對知識的思考與分析。】

師：為什么沿高剪？如果不沿著高剪，會出現(xiàn)什么情況？試一試。

生4：得到的仍然是平行四邊形，無法求其面積。

師：將平行四邊形進(jìn)行剪拼，轉(zhuǎn)化為熟悉的長方形，就可以用公式計算面積了。如果這個平行四邊形特別大，無法剪拼，又該怎么辦呢？

【分析：基于學(xué)生的經(jīng)驗理解，教師通過提問啟發(fā)思考，幫助學(xué)生初步感知新知識。在分析比較中，師生共同確定后續(xù)教學(xué)方向。教學(xué)中不僅要傳授知識，更要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。教師啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光進(jìn)行比較分析，不但能提高學(xué)生解決問題的能力，還能促進(jìn)學(xué)生形成表象理解。】

（三）融合新舊：建立聯(lián)系理解

師：通過操作和討論，你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

生1：因為得到的長方形是由平行四邊形轉(zhuǎn)化而成的，所以兩者的面積相等。

生2：轉(zhuǎn)化之后，平行四邊形的底變?yōu)殚L方形的長，高變?yōu)殚L方形的寬。

【分析：教師鼓勵學(xué)生大膽表達(dá)，明確平行四邊形與長方形的關(guān)系，推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。在此過程中，教師幫助學(xué)生找到新知識的落腳點，讓學(xué)生感悟知識間的聯(lián)系，明確新舊知識環(huán)環(huán)相扣，搭建聯(lián)系理解。】

師：長方形的面積公式可以用字母表示，是否也可以用字母表示平行四邊形的面積公式？怎樣表示？

生（齊）：可以，[S=a×h]。

【分析：教師組織學(xué)生合作探究，鼓勵學(xué)生主動表述并概括想法，提升學(xué)生的總結(jié)能力。隨后，教師適時引導(dǎo)，讓學(xué)生利用已有經(jīng)驗在新情境中建構(gòu)新舊知識間的聯(lián)系，搭建聯(lián)系理解。】

（四）知識遷移：實現(xiàn)應(yīng)用理解

師（出示題目）：一塊平行四邊形玻璃，底為50 cm，高為70 cm，面積是多少？

生1：利用平行四邊形的面積公式即可解決問題，[50×70=3500（cm2）]。

師（出示圖5）：下面兩個平行四邊形的面積之間有怎樣的關(guān)系？

生2：相等。

師：這兩個圖形看上去形狀、大小都不同，為什么面積相等呢？

生3：它們有著共同的底，高也相同，根據(jù)平行四邊形的面積公式可知兩者面積相等。

【分析：學(xué)生想要真正掌握新知，不僅要將新知“掛靠”在舊知上，還要在遷移應(yīng)用的過程中不斷鞏固、逐步強(qiáng)化。這里，教師為學(xué)生提供應(yīng)用知識的機(jī)會，幫助學(xué)生達(dá)成應(yīng)用理解。】

（五）總結(jié)展望：培養(yǎng)思想理解

師：數(shù)學(xué)課進(jìn)入尾聲了，請同學(xué)們分享收獲吧！

生1：想求平行四邊形的面積，可以將其轉(zhuǎn)化為長方形。

生2：我掌握了平行四邊形的面積公式，之后想要計算平行四邊形的面積，只需要代入公式即可。

生3：轉(zhuǎn)化思想至關(guān)重要，遇新問題可嘗試轉(zhuǎn)化，變陌生為熟悉，再求解。

【分析：教師課末歸納總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化思想精髓。通過強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化思想為解決問題常用之法，能化解陌生為熟悉，提升解題效率。這樣，將數(shù)學(xué)思想融入日常教學(xué)，就能促進(jìn)學(xué)生實現(xiàn)思想領(lǐng)悟。】

學(xué)生的數(shù)學(xué)理解層次不僅僅關(guān)系到某個知識點的掌握，更會影響教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成和數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。如果學(xué)生對知識的理解停留在表面，無法深入，找不到新舊知識的關(guān)聯(lián)，那么新知識就無處“停靠”。這種學(xué)習(xí)是無效的，教學(xué)也是失敗的。因此，切實有效的教學(xué)設(shè)計需要深化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，最終實現(xiàn)育人目標(biāo)。

經(jīng)驗理解是數(shù)學(xué)理解的起點，從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗出發(fā)，更容易激活學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)驅(qū)力，降低其對知識的陌生感。對于學(xué)習(xí)主體來說，表象理解培養(yǎng)學(xué)生提取和概括知識的能力，促使其生成對新知識的基本認(rèn)識。而聯(lián)系理解如同一條“紐帶”，將新舊知識串聯(lián)起來，擴(kuò)充學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)。最重要的是，這條“紐帶”是由師生共同編織的，匯聚了教師的教與學(xué)生的學(xué)，十分具有價值。應(yīng)用理解是必要且不可或缺的，判斷學(xué)生是否掌握知識，最直觀的方式就是看其是否能應(yīng)用知識解決問題，因為學(xué)習(xí)知識不是目的，更重要的是會遷移、會應(yīng)用。思想理解是數(shù)學(xué)理解的最高層次，學(xué)生只有感受到數(shù)學(xué)的魅力，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的偉大，體會數(shù)學(xué)思維的巧妙，才能自發(fā)地以數(shù)學(xué)的眼光探究和解決問題。

因此，教師需要合理安排教學(xué)活動，層層遞進(jìn)，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維，從而事半功倍地實現(xiàn)育人目標(biāo)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] SKEMP R. The Psychology of Learning Mathematics[M].Harmondsworth， Eng： Pnguin Books，1971.

[2] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[3] 張大均，教育心理學(xué)[M].北京：人民教育出版社，2015.

（責(zé)編 金" " 鈴）