數學理解性學習：教學的素養追求

【摘 要】 剖析新課標對理解的解讀，發現數學理解性學習是課堂教學中實現素養落地的具體方式.通過學習國內外對數學理解的研究成果，借助“超回歸”數學理解模型，分析理解的層級與數學核心素養的關聯，并在教學實踐中探尋實現理解性學習的顯性化路徑.教師運用系統思維設計、實施追求理解性學習的課堂教學，需尊重理解層級螺旋上升的規律，把握其中數學活動、表象、形式化和構造化等重要水平的落實，需要調研學生前擁經驗，豐富學習材料，利用層次活動觀察學生行為，及時發揮多元評價作用促進學生個人意義建構，以期達到發展素養的目的.

【關鍵詞】 數學理解性學習；“超回歸”數學理解模型；核心素養

隨著國內外教育改革的不斷深化，學校教師的教學理念不斷地得以革新，有效學習的觀念也逐漸從“記憶+練習”轉向“理解+應用”^[1]124.理解的價值得到廣泛重視，形成了“為理解而教，為理解而學”的教育思潮.數學教師需要在把握數學理解的內涵基礎上，思考數學理解性學習中的核心素養指向，探尋教學如何讓“數學理解”落地的實施路徑，讓數學理解性學習成為教學的素養追求.

1 數學理解性學習的內涵

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）將“理解”作為行為動詞，表述為“描述對象的由來、內涵和特征，闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系”^[1]181.陳瓊^[2]124等人認為：數學理解是學習者先認識數學對象的外部表征，構建相應的心理表象，然后建立新舊知識聯系的動態過程中，打破原有的認識平衡，將數學對象的心理表象進行改造、整理、重組，重新達到新的平衡，以便抽取數學對象的本質特征及規律，從而達到對數學對象的理解.從這一觀點出發，可知數學理解是集過程與結果為一體的概念，本質上強調建立學習者的知識體系與數學對象之間的連接，形成對數學對象的深入認識、靈活運用，甚至創新創造.

呂林海^[3]認為數學理解性學習，是指學生在理解基礎上的數學學習，即通過這樣的學習，學生獲得對數學的理解.這個定義從目標、過程和結果三個維度明確了數學理解性學習的基本內涵.首先數學理解性學習的目標是理解數學的基本知識、技能、方法，理解數學的思想方法、數學發展、數學文化，形成良好的數學素養.其次數學理解性學習的過程就是構建并發展學習者的數學知識結構的過程，這種具有發展性的結構體現了數學知識節點間的網絡性聯系.隨著學生內部心理結構的聯系不斷豐富，又促進原有結構聯系的強度加深以及結構本身的整合和分化.最后從結果看學習者對知識的理解要盡可能反映知識應用的情境，能夠通過自身的概括與抽象活動達成對知識本質屬性的理解，對已學知識產生有效遷移.

2 數學理解性學習的表現過程

如何將內在的、不能直接觀察到的理解現象及其發展過程外顯化呢？

1994年，英國的S·Pirie和加拿大的T·Kieren提出的“超回歸”數學理解模型^[4]21，間接地、直觀地描述學生數學理解的過程和本質.這個模型由8個不同理解水平組成（或8個不同階段），即原始認識、產生表象、形成表象、性質認知、形式化、觀察評述、構造化、發明創造，各階段關系如圖1所示.

這8個理解水平包括了人們理解某一數學知識（數學概念、公式、定理等）所經歷的全過程：原始認知是所有數學理解的出發點，利用具體材料、圖形、符號等進行初始的思考活動；繼而產生表象，尋找特征，以具象和個體為輸出內容（有可能是錯誤的）；運用歸納將經驗逐步融合抽象出一般特征，形成表象；進而能夠區別不同表象間的區別和聯系，嘗試找出關系，并能夠運用符號等工具表達出來，概括出數學對象的特殊的相關的性質；通過抽象出一般特性和方法建立形式化的數學對象，可以從原來的表象抽離，認知一類數學對象的本質屬性；然后再次觀察和反思形式化的過程，對其本質屬性和性質進行整理和組織輸出；大腦主動將新獲得的知識與原認知結構進行聯系，建立其邏輯有序的內在關系，使之正當化和確切化；當對概念有了全面的結構化的理解，達到融會貫通靈活運用的程度時，主動產生新的概念和問題.

Pirie和Kieren認為，這八個水平并非直線式的發展，而是一個動態的、反復建構的過程，圖2虛線框內顯示理解水平的動態變化過程.它具有超越性，外側理解水平包含并超越內側水平；具有回歸性，如圖1中的回歸虛線，理解的過程并非單向由內向外發展，回歸是理解過程不可缺少的活動，無論在哪一級水平上，面對不能理解的問題，有必要返回到內側水平，當返回到內側水平的同時也更加擴充和加深外側水平的理解；具有跳躍性，圖1中的虛線邊界就是可以超越的，學生有能力直接使用現有理解進行更高一級的理解活動.比如當一個學生形成了概念的表象后，就有能力不再重做產生表象的活動，不需要回憶具體的實例，而直接應用表象.對于性質認知水平來說，表象是反映的對象，有不斷意識的必要，學生仍需要利用形成現有表象的活動，以能夠關注一般性.因此，形成表象與性質認知水平間的邊界是“必要”的.這一特點說明在“超回歸”理解模型的8個水平中，數學活動、表象、形式化和構造化是最基本和最重要的理解水平^[4]22.

3 數學理解性學習的素養指向

數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中發揮著不可替代的作用 ^[2]1.數學知識內容是關鍵能力、必備品格和價值觀念形成的載體，是數學學科核心素養培育的土壤.數學理解的達成是學生掌握“四基”“四能”的根本保證，是進一步發展數學核心素養的堅實基礎.

研讀《課標（2022年版）》對數學核心素養的界定，可以發現指向“理解”的具體表現有：通過數學的眼光，能夠抽象出數學的研究對象，即從具體感性到具體表象；通過數學的思維，獲得對本質屬性的理解，運用運算和邏輯推理建立數學對象之間、數學與現實世界之間的形式化聯系；通過數學的語言可以簡約、精確地描述自然現象、科學情境和日常生活中的數量關系與空間形式，即建立結構化的心智模型，主動建模解釋現實世界.對比理解模型可以知道，經歷完整的數學理解的過程實質上是發展學生的數學核心素養.

當嘗試建構“數學理解”這樣一個復雜的心理變化過程與數學核心素養的對應關系時（如圖2），核心素養在理解性學習中就獲得了顯性化的過程.這將為教師在具體的實踐中找到落實理解性學習的教學路徑提供重要參考.

4 基于數學理解性學習的教學實踐

下面以蘇科版七年級下冊“三角形內角和”性質的教學實踐為例，剖析課堂教學如何落實數學理解性學習.

（一）前置作業喚起原始認知

1.你知道三角形的三個內角之和是多少度？是確定不變的嗎？

2.小學時是怎么說明這個結論的？

3.準備一個三角形紙片，將一個角（如圖3中的∠1）撕下拼接到另外一個角外側（比如∠2右邊），拼接后的角與原來的角是什么位置關系？

4.如果不用撕下拼接的方法，你能否畫出拼接后的這個角？

（二）操作探究形成表象

1.請把拼好的圖形放在一張白紙上，如圖4，將剪下的角的一邊標記為CM，直觀感受邊CM與AB有什么關系？如何驗證你的直觀猜想？反之，如何以AC為邊畫∠ACM=∠A？

2.如圖5，如果延長邊BC，則新產生的∠MCN與哪個角有聯系？

（三）推導性質固化形式

1.運用先……，再……，然后……的順序將上述思考過程和同伴說一遍，理清因果關系；（如果評述有困難，請再觀察圖4，5，回到拼接后的表象，觀察尋找元素間的聯系）

2.師生用文字和符號將上述因果關系寫出來；

3.還有其他作輔助的平行線的方式轉移角，來證明這個結論嗎？

（嘗試方法遷移，對平行線的性質進行構造化理解）

證明：如圖6，過點A作BC的平行線MN，轉移∠B，∠C.

所以∠B=∠1，∠C=∠2，所以∠BAC＋∠B＋∠C=∠BAC＋∠1＋∠2=180°.

4.證明出來的結論與三角形的形狀有關嗎？與大小有關嗎？

任意三角形的三個內角都滿足這個結論嗎？嘗試用符號方式總結這個性質.（經歷兩種視角的反復觀察述評，確認變化中的不變：三角形的三個內角大小是不確定的，但其和是不變的，感悟變中不變的規律正是數學研究的特征）

5.三角形內角和公式可以用來做什么？怎么用？說出你的理解，寫出公式的其他形式.

（四）構造場景變式應用

1.△ABC中，已知∠A=55°，∠B=48°，求∠C.（直接應用性質解決求角度問題，順應認知規律，將新的性質嵌入認知體系，積累新的體驗）

2. △ABC中，已知∠A=2∠B，∠C =48°，求∠A.（給出三角形內角之間的特殊關系，隱含條件轉化應用，經歷代數式的等價變形，對形式化的結論再度固化，形成深刻描述）

（五）方法遷移創造歸納

1.能類比使用性質推導的方法（構造平行線轉移角）解決四邊形、五邊形、n邊形的內角和的問題嗎？

推導方法一：如圖7，過點A作AM平行于BC，交DC于點M.

所以∠B＋∠1=180°，∠C＋∠4=180°.

又因為∠3＋∠4＋∠D=180°，所以四邊形ABCD的內角和為∠B＋∠C＋∠D＋∠DAB=" （∠B＋∠1） ＋（∠C＋∠2）＋（∠D＋∠4＋∠3） －（∠2＋∠4）=" 180°＋180°＋180°-180°=360°.

推導方法二：如圖8，

過點D作DN平行于BC，過點A作AM平行于BC.

所以∠B＋∠1=180°，∠C=∠5，∠2=∠3.

又因為∠2＋∠4＋∠5=180°，所以四邊形ABCD的內角和為∠B＋∠C＋∠ADC＋∠DAB = （∠B＋∠1）＋∠3＋∠5＋∠4=（∠B＋∠1） ＋∠2＋∠5＋∠4 = 180°＋180°=360°.

延用利用平行線轉移角方法，從圖9中容易得到五邊形的內角和=180°+180°+180°=540°.

2.以上用相同的方法轉移角求和的方法匯總歸納如表1.

3.你還能用什么方法解決任意多邊形的內角和的問題？ （可以借用已證得的三角形、四邊形內角和結論，將多邊形分割成若干個三角形或四邊形的方法）

4.多邊形的內角和的大小與什么量相關？嘗試利用該公式以不同的量為未知數量編一道題目，請其他同學解決.

（六）小結建構提升理解

1.回顧以上推證活動，經歷了什么過程，運用了什么數學思想方法？

2.多邊形內角和的大小依賴邊數產生變化且按一定的規律在變化，變化中的數量關系正是數學研究的基本內容，你還能發現多邊形的組成要素間有哪些特殊的數量關系？

5 數學理解性學習的教學追求

5.1 調研前擁經驗，豐富學習材料

學生的前擁經驗是獲得數學理解性學習的前提.課前教師要利用前置作業或操作活動調研學情，確定最近發展區后再審視學習內容.因為促使學生達成深度理解的關鍵是做到“兩個過程”的合理性：數學知識發生發展過程的合理性，學生思維過程的合理性，所以教學內容的安排不但要符合數學知識發生發展的邏輯線索，即教師在理解內容基礎上進行適用學情的重組內容，還要符合學生的思維特點和認知規律，即理解內容基礎上設計有助于啟發學生思維的活動.

另外，起源于數學活動的原始認識和表象是數學理解的基礎.學生在學習新知識時，經常要回到內側水平理解中去，依靠具體經驗，獲得對新知識的相應水平的理解.這就要求教師提前根據教科書提供的線索，為學生提供實物、圖、表等豐富的數學學習材料，讓學生有充分的時間對具體事物進行操作，使他們獲得學習新知識所需要的具體經驗，積累生動充分的感知表象，再通過自己的思維構成對概念的理解，而不是通過機械地重復，記住教師所講述的那些關于概念的現成解釋.

上述案例中，教師提前閱讀小學相應的章節，明確當時的學習過程和思考水平，再結合平行線的知識設計了環節一、二，師生利用準備好的三角形紙片等材料展開操作探究活動.這個操作既以拼接活動經驗為原始認知，又緊緊圍繞平行線的前擁知識形成表象，從而順利進行聯想，認同輔助線的合理性，形成新的經驗.

5.2 設置螺旋回歸，觀察活動過程

教師通過設計有效的活動和具備回歸性的問題，制造對話機會來觀察學生的思維過程.其一關注學生心智活動的參與度，是否能聯結新的知識信息，擴展和完善自身的理解；其二觀察學生認知結構的豐富度是否得到提高，能否在多變的情境中厘清本質屬性；其三觀察學生在變化的情境中能否建構數學知識的本質內涵，促使其在新問題中更加靈活地應用已有知識.比如環節三和五，教師借助遞進式的問題有意識提供反復回歸路徑，若有困難，再觀察第三個環節，簡述性質的推證過程，明確輔助線的作用，再進行移情體驗.在形成表象—抽象推理—建立結構的理解過程中觀察學生的理解水平，繼而推動理解層級的螺旋躍升.

這些有效的活動和具備螺旋回歸性的問題有以下特征：（1）能從表象揭示本質，把握知識的起源、底層連接、固有屬性;（2）能從抽象回歸具體，能對抽象概念進行形象描述，解讀概念關鍵詞，運用自主舉例促進內化和順應;（3）能從孤立建立系統，對知識之間的聯系有深刻認識，呈現層次性、立體化的知識網絡，特別是知識的生長點與延伸點;（4）能從知識提煉思想，對知識形成、發展、應用過程中蘊含的數學思想方法、關鍵能力、價值觀資源有明晰認識.

5.3 聚焦多維評價，獲得意義建構

葉瀾老師認為，有價值的課堂不但使學生獲得知識、能力和意義，更要讓學生收獲成功的情感體驗，產生向前一步的求知需求，而這些意義的得來需要學生在每一節課上都能夠得到他人與自我的認可.教師要按教學評一致性原則系統思考和設計，目標設定包含評價的要素，活動任務設計前確定評價指向，組織實施過程中體現多維評價，利用小結進行學生自我意義建構，充分體現評價的激勵作用.

回顧案例，操作喚醒環節為學生提供熟悉的情境，給予積極的心理支持；隨后展開聯想突破經驗性理解水平，運用畫平行線構造等角，收獲知識轉場應用的價值感；在環節三、五，嘗試說、一起寫、尋發散等表現過程實現同伴、師生的互評，產生情感聯結，助力形式化理解；最后在知識應用遷移和結構化的過程中逐漸搭建具備個性化特征的知識、方法、能力等網絡，收獲到審美性及結果性評價，形成自我認同的閉環，同時結構性理解躍升到遷移性理解水平^[5].

正如希爾伯特教授認為數學概念的理解是學習者內部心理網絡的一部分，理解的程度是由結構內部聯系的數目和強度來確定的，智力表征的網絡是逐漸地從對現存的網絡聯上新的信息或在以前沒有聯系的信息之間建立起新的關系而建成的，隨著網絡的變大和組織的更完善，理解就增長了.因此高立意的數學教學要求教師樹立整體觀念，運用系統思維設計，落實核心素養的培養要求，讓學生在數學理解性上有層級發展，從經驗性理解上升到形式化理解，再發展到結構性理解，實現遷移和創新，把理解性學習作為課堂教學的追求.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]黃賢明.數學理解的內涵、意義與實現途徑[J].江蘇教育研究，2022（Z1）：124129.

[3]呂林海.數學理解性學習與教學[M].北京：教育科學出版社，2008：84.

[4]李淑文，張同君.“超回歸”數學理解模型及其啟示[J].數學教育學報，2002（1）：2122.

[5]王新奇.基于數學理解性學習的教學研究：以“一元二次方程”教學為例[J].基礎教育課程，2021（18）：4955.

作者簡介 潘麗莎（1975—），女，江蘇徐州人，中學高級教師;從事初中數學教育教學研究.