大單元教學(xué)背景下復(fù)習(xí)課的教學(xué)研究

【摘要】新教材要求教師教學(xué)要有一般觀念的引領(lǐng).立體幾何復(fù)習(xí)課在學(xué)生掌握了“一般觀念”的前提下，對(duì)問題進(jìn)行觀察、分析、歸納、概括，使學(xué)生的空間觀念得到有效的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】垂直關(guān)系；高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)

1" 問題提出

“單元—課時(shí)”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中提出的重要理念.在大單元背景下，課時(shí)教學(xué)要滲透“一般觀念”，復(fù)習(xí)課要引導(dǎo)學(xué)生利用“一般觀念”對(duì)問題進(jìn)行觀察、分析、歸納、概括.復(fù)習(xí)課是對(duì)知識(shí)的再認(rèn)識(shí)、再挖掘，對(duì)于學(xué)生能力的提高有著重要的作用，對(duì)教師彌補(bǔ)教學(xué)上的欠缺和提高教學(xué)質(zhì)量也是必不可少的.復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)的一個(gè)重要的環(huán)節(jié)，它是對(duì)知識(shí)的歸納總結(jié)和實(shí)踐運(yùn)用.高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課并不是簡(jiǎn)單地復(fù)習(xí)舊知識(shí)，它要求學(xué)生“溫故而知新”，既要鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，更要對(duì)知識(shí)進(jìn)行拓展和延伸，而復(fù)習(xí)必須學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已經(jīng)掌握的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).這就需要教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)有利于學(xué)生自主探究的問題情境，立足全局頂層

設(shè)計(jì)，揭示本

質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生

理解思想方法

，解決數(shù)學(xué)問

題，讓學(xué)生會(huì)思考、會(huì)學(xué)習(xí)、會(huì)創(chuàng)造.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中將立體幾何內(nèi)容分兩部分安排：必修和選修.對(duì)于必修內(nèi)容，教科書遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，滲透研究過程的一般思路——“直觀感知→操作確認(rèn)→思辨論證”，比如以長(zhǎng)方體為載體，幫助學(xué)生建構(gòu)空間圖形特性，培養(yǎng)空間意識(shí)，提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).對(duì)于立體幾何必修課程中的復(fù)習(xí)課該如何設(shè)計(jì)，讓學(xué)生從宏觀上再次感受立體幾何的“全貌”，需要教師在實(shí)踐中大膽創(chuàng)新和嘗試.筆者以立體幾何垂直關(guān)系復(fù)習(xí)課為例與同仁交流.

2" 教學(xué)過程

2.1" 提出問題，主動(dòng)探究

如圖1，ABCD－A1B1C1D1為正方體.

圖1

問題1" 大家能舉例并證明正方體中有哪些垂直的體對(duì)角線和面對(duì)角線嗎？

設(shè)計(jì)意圖" 從學(xué)生熟悉的正方體模型出發(fā)，探究正方體中的面對(duì)角線和體對(duì)角線的位置關(guān)系，并復(fù)習(xí)線線垂直的證明方法.通過開放性的問題，讓學(xué)生體會(huì)在立體幾何中研究問題的一般思路——“直觀感知→操作確認(rèn)→思辨論證”.

問題2" 能否在正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中取出四個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐？并證明.

追問：直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是什么？

設(shè)計(jì)意圖" 仍然在學(xué)生熟悉的正方體模型中尋找常見的幾何體——鱉臑（人教A版必修第二冊(cè)第158頁(yè)例8、第161頁(yè)例10），引導(dǎo)學(xué)生自我總結(jié)此模型中線與線、線與面垂直的位置關(guān)系，并把這個(gè)模型一般化.

問題3" 在這個(gè)三棱錐中，你還能發(fā)現(xiàn)哪些面面垂直？

追問：平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)

定理是什么？

設(shè)計(jì)意圖" 在問題2解決的基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)熟悉了鱉臑中線線垂直、線面垂直的性質(zhì)，繼續(xù)通過問題3讓學(xué)生自主探究面面垂直，讓學(xué)生完整理解整個(gè)垂直體系的證明過程，以及操作的一般路徑.

問題4" 大家任取此三棱錐的一條棱和一個(gè)面，求線面所成的角.

設(shè)計(jì)意圖" 鱉臑的任意6條棱中的一條棱和任意四個(gè)面中的一個(gè)面所成的線面角都可求，讓學(xué)生通過自主選取線面求線面角，回顧線面角的定義和求法，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)求角過程中找垂面的重要性.

讓學(xué)生從整體上回憶關(guān)于空間直線、平面垂直的研究?jī)?nèi)容和路徑，如圖2.

圖2

問題5" 判定定理要研究的問題是什么？性質(zhì)定理要研究的問題是什么？

設(shè)計(jì)意圖" 學(xué)生已經(jīng)在平面幾何中學(xué)習(xí)過判定和性質(zhì)定理，在立體幾何中學(xué)習(xí)了直線和平面平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理，通過這樣的問題，讓學(xué)生從宏觀上把握判定定理和性質(zhì)定理到底要研究什么內(nèi)容，并關(guān)注其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法.

通過五個(gè)問題的解決，教師滲透“化繁為簡(jiǎn)”“以簡(jiǎn)馭繁”是數(shù)學(xué)中研究問題的一般思路，利用線線垂直研究線面垂直，利用線線垂直、線面垂直研究面面垂直，反過來，由線面垂直得到線線垂直，由面面垂直得到線線垂直、線面垂直.在這些過程中，確定平面的要素和一些特殊位置往往是研究問題的出發(fā)點(diǎn)［1］.

2.2" 追根溯源，思想升華

《九章算術(shù)·商功》中記載：斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑.陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也.”陽(yáng)馬和鱉臑是我

國(guó)古代對(duì)一些特殊錐體的稱謂，取一長(zhǎng)方體，按如圖3

所示斜割一分為二，得兩個(gè)一模一樣的三棱柱，稱為

塹堵.再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開，得四棱錐和

三棱錐各一個(gè).以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四

棱錐，稱為陽(yáng)馬.余下的三棱錐是有四個(gè)直角三角形的

四面體，稱為鱉臑.如圖3.

圖3

在中國(guó)古代數(shù)學(xué)中，鱉臑是指底面為直角三角形，與底面交于斜邊端點(diǎn)的一

條棱垂直于底面的三棱錐.陽(yáng)馬是指底面為長(zhǎng)方形，一條側(cè)棱垂直于底面的四

棱錐.

鏈接課本例題" （1）（人教A版必修第二冊(cè)中的第158頁(yè)例8）AB是圓⊙的直徑，PA垂直于圓⊙所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn).求證：平面PAC⊥平面PBC［2］.

（2）（人教A版必修第二冊(cè)中的161頁(yè)例10）已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB［3］.

通過課本例題的再現(xiàn)，讓學(xué)生自行建構(gòu)知識(shí)體系，厘清知識(shí)脈絡(luò)，體會(huì)正方體這個(gè)基本的模型在研究基本圖形位置關(guān)系中的作用（如基本圖形位置關(guān)系中的各種定義、判定定理、性質(zhì)定理等，都可以在其中找到對(duì)應(yīng)的圖形），引導(dǎo)學(xué)生一定要重視正方體以及長(zhǎng)方體的作用，更好地發(fā)展直觀想象素養(yǎng).其中四面體P－ABC是四個(gè)面都是直角三角形的特殊四面體，可以作為一種幾何模型看待.在棱長(zhǎng)已知的條件下，此幾何模型中所有的線線角、線面角、面面角都可求，可以讓學(xué)生對(duì)此進(jìn)行探究.

2.3" 真題再現(xiàn)，培養(yǎng)能力

（1）（2022年全國(guó)新課標(biāo)Ι卷）如圖4，直三棱柱ABC－A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為22.

①求A到平面A1BC的距離；

圖1

②設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值.

（2）（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷第19題）如圖5，在三棱臺(tái)ABC－DEF中，平面ADFC⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC.

圖2

①證明：EF⊥DB；

②求DF與平面DBC所成角的正弦值.

讓學(xué)生分小組來解決上述問題，讓小組分別展示討論的結(jié)果，教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)在鱉臑題型中將所求問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知

識(shí)，讓學(xué)生主動(dòng)探究、反思和總結(jié)［4］.學(xué)生掌握了相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，方法更獲得了親身經(jīng)歷實(shí)踐的體會(huì)和感悟，有利于培養(yǎng)學(xué)生善于質(zhì)疑、樂于探究、勇于創(chuàng)新的精神.

2.4" 反思過程，總結(jié)提高

（1）本節(jié)課復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？

（2）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握了哪些知識(shí)和方法？有什么收獲和體會(huì)？

（3）你認(rèn)為還可以繼續(xù)做一些什么研究？

3" 教學(xué)反思

維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指獨(dú)立活動(dòng)時(shí)所達(dá)到的解決問題的水平；另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過教學(xué)所獲得的潛力，兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū)［4］.復(fù)習(xí)課中的問題和例題的選擇非常重要，要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性.筆者的本節(jié)復(fù)習(xí)課是從模型出發(fā)，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般，按照知識(shí)的要求遞進(jìn)式地不斷提高問題的思維難度，最后通過高考真題的呈現(xiàn)，讓學(xué)生體會(huì)復(fù)雜的問題，通過抽絲剝繭又回到最初的模型上.并通過問題的解決讓學(xué)生感受立體幾何研究的一般路徑，真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4" 結(jié)語

總之，如章建躍老師所說的那樣，要給學(xué)生一些想法和一些如何思考的示范，啟迪學(xué)生提出自己的想法.要使這樣的想法具有數(shù)學(xué)上的含金量，則需要教師以所教內(nèi)容的實(shí)質(zhì)性理解為基礎(chǔ)，給學(xué)生一些“想法的酵母”，使學(xué)生在此激發(fā)下，醞釀產(chǎn)生自己的想法.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維

思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，促進(jìn)學(xué)生思維

能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展［5］.

參考文獻(xiàn)：

［1］人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書教師用書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］馮斌.基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思［M］.寧波：寧波出版社，2018.

［4］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［5］章建躍.核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.