數(shù)學(xué)建模在課堂教學(xué)中的應(yīng)用探討

【摘要】隨著教育技術(shù)的不斷進步，數(shù)學(xué)建模作為一種有效的教學(xué)方法，已經(jīng)在多個學(xué)科領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用．本文通過具體的案例分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生更好地理解抽象概念，提高問題解決能力．為了充分發(fā)揮數(shù)學(xué)建模的作用，教師需要不斷提升自身的建模能力，學(xué)校應(yīng)提供必要的培訓(xùn)和支持．

【關(guān)鍵詞】建模思想；高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)

1" 引言

數(shù)學(xué)建模作為一種融合數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用實踐的教學(xué)方法，已經(jīng)在多個學(xué)科領(lǐng)域中展現(xiàn)出獨特的優(yōu)勢．通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生不僅能夠更直觀地理解抽象概念，還能夠?qū)⒗碚撝R應(yīng)用于實際問題中，從而提高學(xué)習(xí)興趣和實踐能力．因此，探討數(shù)學(xué)建模在課堂教學(xué)中的應(yīng)用，對于提升教同時，學(xué)質(zhì)量、培養(yǎng)創(chuàng)新型人才具有重要意義．

2" 數(shù)學(xué)建模在課堂教學(xué)中的應(yīng)用分析

2.1" 情境展現(xiàn)并提出問題

幻燈機在當(dāng)今社會得到了廣泛的應(yīng)用．在某幻燈機正前方的墻面上掛有一矩形屏幕，屏幕的上、下兩邊緣分別在幻燈機頭所在水平面的上方a米、b米處，已知a gt; b．屏幕的上下視角θ是影響圖象清晰度的關(guān)鍵因素之一．請問幻燈機頭到墻面的距離為多少米時θ最大？最大的θ角為多少？

2.2" 建立模型

根據(jù)情境構(gòu)建模型如圖1，設(shè)幻燈機頭O到墻面的距離為OH=x米，過H點做垂直于地面的直線，與屏幕上下邊緣的交點分別為A，B，可知AH=a米，BH=b米．設(shè)∠AOH=α，∠BOH=β，則視角θ=α－β0lt;θlt;π2．

圖1

2.3" 模型求解

由于tanα=ax，tanβ=bx，且agt;bgt;0，則

tanθ=tan（α－β）=tanα－tanβ1+tanαtanβ=ax－bx1+ax·bx=a－bx+abx≤a－b2x·abx=a－b2ab，

其中當(dāng)且僅當(dāng)x=abx即x=ab時，等號成立，

則tanθmax=a－b2ab0lt;θlt;π2，

又因為f（θ）=tanθ在0，π2內(nèi)是增函數(shù)，則當(dāng)x=ab米時，θmax=arctana－b2ab，

所以，幻燈機頭距墻面ab米時對于屏幕的上下視角最大，最大視角為arctana－b2ab．

2.4" 解法探討

本題也可考慮用以下三種思路進行建模：

①利用sinθ=sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ

=（a－b）xx4+（a2+b2）x2+a2b2．

②利用cosθ=cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

=x2+abx4+（a2+b2）x2+a2b2．

③由于12OA·OB·sinθ=SΔAOB=12AB·OH，

則sinθ=（a－b）x（x2+a2）（x2+b2）．

評析" 本例通過引入具體情境來提出問題，經(jīng)歷一般模型的建構(gòu)過程，并利用三角函數(shù)知識和均值不等式進行了建模，感受自變量的選取方法及建模過程中的函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．

2.5" 變式應(yīng)用

例" 某公司為景區(qū)建造兩個寬度忽略不計的圓形觀景步道M1和M2，如圖2所示，B、D是圓M1與AB、AD的兩個切點，C、D是圓M2與AC、AD的兩個切點，已知AB⊥AC，且AB=AC=AD=60（單位：米）．

圖2

（1）若∠BAD=60°，求圓M1和M2的半徑（計算結(jié)果精確到0.1米）；

（2）若M1與M2的修建成本分別為0.8千元/米、每米0.9千元/米，怎樣設(shè)計圓M1和M2才能使總修建成本最低？并求這個最低總修建成本．（計算結(jié)果精確到0.1千元）

解析" （1）由題意：∠BAD=60°，

因此∠M1AD=12∠BAD=30°，

在Rt△DAM1中，DM1=ADtan∠M1AD=60tan30°≈34.6（米）；

同理，∠DAC=30°，

因此∠M2AD=12∠CAD=15°，

在Rt△DAM2中，DM2=ADtan∠M2AD=60tan15°≈16.1（米）．

（2）設(shè)∠DAM1=∠BAM1=θ，

則∠DAM2=∠CAM2=π4－θ，

其中θ∈0，π4，

在Rt△DAM1中，DM1=ADtan∠M1AD=60tanθ，

在Rt△DAM2中，DM2=ADtan∠M2AD=60tanπ4－θ，

設(shè)總修建成本為y千元，

則y=0.8×2π×60tanθ+0.9×2π×

60tanπ4－θ

=12π8tanθ+9tanπ4－θ

=12π8tan2θ－tanθ+91+tanθ，

令t=1+tanθ，t∈（1，2），

則y=12π8（t－1）2－（t－1）+9t=12π×8t2－17t+18t=12π8t+18t－17

≥12π（28×18－17）=84π，

當(dāng)且僅當(dāng)8t=18t，即t=32時，等號成立，

此時tanθ=12，則M1D=30，M2D=20，此時最低總修建成本為263.9千元．

3" 結(jié)語

數(shù)學(xué)建模作為一種有效的教學(xué)方法，已經(jīng)在課堂教學(xué)中展現(xiàn)出其獨特的優(yōu)勢．通過數(shù)學(xué)建模的實踐，學(xué)生不僅能夠更直觀地理解抽象概念，還能夠培養(yǎng)問題解決能力和創(chuàng)新思維．然而，實施過程中也面臨著教師建模能力不足、教學(xué)資源有限等挑戰(zhàn)．為了充分發(fā)揮數(shù)學(xué)建模的作用，教師需要不斷提升建模能力，學(xué)校也應(yīng)提供必要的培訓(xùn)和支持．