高中數學最值問題的解題策略研究

【摘要】最值問題屬于高中數學教學中一類比較常見的題目類型，在歷年高考中頻頻出現，學生不僅需要掌握一定的解題技巧，還應具備較強的思維能力．在高中數學最值問題教學中，教師應幫助學生掌握一些求解最值的常用方法，促使他們不再害怕此類試題．本文針對如何解決高中數學最值問題進行研究，并分享一系列解題實例．

【關鍵詞】高中數學；最值問題；解題策略

最值問題，即為一類與最長最短、最多最少、最大最小等相關的問題，涉及的學科廣泛，屬于理科解題中的基本題型之一．在高中數學解題訓練中，教師可圍繞最值問題安排專題訓練，教授學生一些有用的解題方法，使其根據實際情況進行分析和求解，找到清晰、簡潔的解題思路，最終助推他們輕松求得最值．

1" 解決函數方面最值問題的策略

函數作為高中數學知識體系中最基礎的一部分，學生經常會遇到求函數最大值或最小值的問題，處理這類題目常用的方法有單調性法、判別式法與配方法等，在解題中需靈活運用，這就要求學

生能夠熟練選用求解工具，結合函數解析式將相關知識聯系在一起，找出最優質的解題思路，最為關鍵的一點是認真分析題目內容，提取出有價值的信息．

例1" 已知函數f（x）=－3x3+ax2－4，在x=2處有極值，假如m∈［－1，1］，n∈［－1，1］，求f（m）與f′（n）的最小值之和.

詳解" 因為函數f（x）=－3x3+ax2－4在

x=2處有極值，

所以能夠求得a=3，

那么f′（x）=－3x2+6x，

令f′（x）=0，

由此得到x=0或者x=2，

然后進行分類討論，

當xlt;0時，f′（x）lt;0；

當0lt;xlt;2時，f′（x）gt;0；

當xgt;2時，f′（x）lt;0；

故當m∈［－1，1］時，f（m）有最小值，為f（0）

=－4，

又因為f′（n）=－3n2+6n，在區間［－1，1］內

單調遞增，

那么f′（n）的最小值為f′（－1）=－9，

綜合可得f（m）和f′（n）的最小值是f（m）+

f′（n）=－4+（－9）=－13．

2" 解決三角函數最值問題的策略

三角函數也是貫穿于初、高中的一個重要知識點，求解三角函數的最值問題同樣是高考中的一個熱門考點，主要考查學生的綜合能力，但是學生遇到這類問題時，往往很難快速找到突破口．在高中數學三角形函數最值問題中，雖然從表面來看較為復雜，其實學生只需熟悉三角函數的概念、性質及表達公式，就能夠適當簡化關系式，從而快速求解．

例2" 已知三角函數f（x）=sinωx+acosωx，且ωgt;0，該三角函數的最小正周期T為π，且

直線x=π12是函數f（x）圖象的一條對稱軸為，求函數f（x）的最大值.

詳解" 因為f（x）=sinωx+acosωx，并引入輔助角θ，可以得到f（x）=1＋a2sin（ωx+θ），

令tanθ=a，

又因為該三角函數的最小正周期為π，

則T=2πω，

據此求得ω=2，

即原函數式變形為f（x）=1＋a2sin（2x+θ），

由于直線x=π12為函數f（x）圖象的對稱軸，

那么2×π12+θ=π2+kπ，

且k∈Z，θ=π3+kπ，

由此得到a=tan（π3+kπ）=tanπ3=3，

則原函數式變形成f（x）=1＋32sin（2x+θ）=2sin（2x+θ）

所以函數f（x）的最大值是f（x）max=2．

3" 解決數列方面最值問題的策略

高中數學中的最值問題題型復雜多變，解題方法更是多種多樣，面對這一局面，只有選擇正確的解題方法，才能夠準確、快速地求得答案．其中數列作為高中數學課堂中的重要知識點之一，同樣涉及有最值問題，教師在解題訓練中，應當著重講授求解數列最值問題的方法及應用技巧，不斷拓展學生的解題思維，使其在以后遇到同類題目時可以迅速處理．

例3" 已知數列an是一個等比數列，且公比q不為1，而數列bn是一個滿足a2、abn、a2n的等比數列，cn=1b2nb2n+2，假如數列cn的前n項和同Tn≥λ對任意的n∈N*恒成立，求λ的最大值.

詳解" 因為數列bn是一個滿足a2、abn、a2n的等比數列，

所以能夠得到abn2=a2a2n，

又數列an是一個等比數列，且公比q不為1，

那么可以得到a12q2bn－2=a12×q2n，

整理以后能夠得到bn=n+1，

則cn=1b2nb2n+2=1（2n+1）（2n+3）

=12（12n+1－12n+3），

由此確定數列cn的前n項和是

Tn=12（13－15+15－17+…+12n+1－12n+3）=12（13－12n+3），

通過對上述式子的觀察與分析可以判斷出Tn呈單調遞增的趨勢，

當n=1時，Tn取得最小值是115，

所以λ的最大值是115．

4" 解決幾何方面最值問題的策略

數學主要由代數與幾何兩大部分構成，不僅代數類的題目中有最值問題，幾何試題中同樣有這類題目，這也是高考中的必考題型之一，主要考查學生的邏輯思維能力與計算能力．高中數學教師在指導學生解答幾何類的最值問題時，應認真觀察圖形，注重數形結合思想的融入，幫助學生找準方向，讓他們輕松、高效地解答出來．

例4" 拋物線y2=4x的焦點為F，現有一定點A（3，2），在這條拋物線上找一點P，使PA與PF之和的值最小，求點P的坐標.

詳解" 因為拋物線的解析式是y2=4x，

故2p=4，p2=1，

則焦點F的坐標為（1，0），準線為x=－1，

根據拋物線的性質——拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，

所以可以設點P到準線的距離為PE，

那么PA與PF之和就等于PE與PF之和，

當點E、P、A位于同一條直線上時距離才最短，即為有最小值，

由此求得點P的縱坐標為2，

將相關數值代入到拋物線方程后得到22=4x，

則x=1，

所以點P的坐標是（1，2）．

參考文獻：

［1］苗祥磊，王德朋.關于解決高中數學中最值問題的分析［J］.數理化解題研究，2023（28）：19-21.

［2］宮里華.高中數學常見最值問題及解題策略探究［J］.數理天地（高中版），2023（15）：4-5.

［3］陳麗燕.高中數學最值問題的解題分析［J］.試題與研究，2023（02）：19-21.