平面幾何中的最值問題

【摘要】高中數學中平面幾何的地位不容小覷，找到合適的方法或者輔助線對于解答平面幾何問題很重要.本文聚焦平面幾何中兩種較為精妙的解法來探討解決最值問題的方法，為之后的平面幾何解題做準備.

【關鍵詞】高中數學；平面幾何；最值問題

俗話說萬事開頭難，平面幾何解題時最難的就是尋找合適的方法或輔助線.缺少它們的輔助，平面幾何解題就會毫無頭緒.下面將從以下兩道題目中尋找解決平面幾何最值問題的思路.

1" 相似三角形求最值問題

例1" 如圖1所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=1，點P是以點C為圓心，AC長為半徑的圓上的動點，連接PB、PD，則2PB+PD的最小值為（" ）

圖1

解析" 題目要求2PB+PD的最值，而PB、PD的長度未知，所以本題的關鍵就是找出與2PB長度相同的線段.面對此類題目，我們可以嘗試作輔助線，構建相似三角形，通過相似三角形的等比例關系找到2PB，然后使所求的線段長度可以放在同一個圖形中，從而求解最值［1］.

解" 因為AB=3，BC=1，PC，AC為圓C的半徑，

所以PC=AC=2，

延長CB至E，連接PC，PE，

使∠PEC=∠BPC，如圖2所示，

圖2

則△PEC∽△BPC，

所以BCPC=BPPE=PCEC=12，

所以PE=2PB，EC=2PC=4.

現在已經尋找到與2PB等長的線段，下一步需要把所求的線段嘗試放入三角形中以尋找最值關系.

連接DE，

則DE=EC2+CD2=42+3=19，

在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，

所以2PB+PD=PE+PD≥DE=19，

即2PB+PD的最小值為19.

注意" 在這里，三角形是由我們畫輔助線構造得來，所以在不等式關系里可以取到等號，只要取到最小值即可，不一定必須構成三角形.

2" 全等三角形求最值問題

例2" 如圖3，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=60°，AC=4，點D是BC邊上的一個動點，連接AD，以AD為邊向右作等邊△ADE，連接CE，則△CDE面積的最大值為（" ）

圖3

解析" 閱讀題目，我們可以發現圖形具有特殊角，并且相等的線段較多，因此我們可以嘗試畫出輔助線，幫助我們構造全等三角形從而將△CDE的面積轉化為與其相關的三角形面積進行求解.在求解面積最值時，我們有時也可以從總體考慮，從其他圖形面積的變化與所求圖形面積的聯系入手，解決最值問題［2］.

解" 延長CB至F，使CF=AC，連接AF，如圖4所示.

圖4

因為∠ACB=60°，CF=AC，

所以△ACF是等邊三角形，

所以∠FAC=60°，AF=AC.

因為△ADE是等邊三角形，

所以∠DAE=60°，AD=AE.

因為∠FAD+∠DAC=∠FAC=60°，

∠CAE+∠DAC=∠DAE=60°，

所以∠FAD=∠CAE，

所以△AFD≌△ACE（SAS），

所以S四邊形ADCE=S△ACD+S△ACE=S△ACD+S△AFD=S△ACF=34AC2=43（通過全等三角形面積相等進行變換，尋找到一定圖形面積，再根據余弦定理推論求三角形面積）.

所以S△CDE=S四邊形ADCE－S△ADE=43－S△ADE.

顯然，當S△ADE最小時，S△CDE最大，

而△ADE是一個等邊三角形，為使面積最小，只需要使邊長AD取最小，點D是BC邊上的一個動點，

當AD⊥BC時，AD最小，S△ADE最小，

此時AD=32AC=23，

S△ADE=34AD2=33，

S△CDE=43－33=3，

即△CDE面積的最大值為3.

3" 結語

本文通過嘗試運用最值問題的兩種求解方法，觀察到求解問題的關鍵是從條件最多的部分入手，在此基礎上，畫輔助線嘗試構建已知的圖形，通過熟悉圖形的性質逐步變換，求解最值問題.平面幾何問題在近幾年高考中題目較基礎，但是不排除綜合性較強題目出現的可能.本文兩種方法的嘗試為平面幾何解題帶來了新思路，也為之后的題目求解帶來更多的可能性［3］.

參考文獻：

［1］王岳琦.例析求線段最值問題的常用方法［J］.中學數學教學參考，2020（27）：28-30.

［2］紀定春，陳文艷.對一道平面幾何最值問題的解法探究及推廣［J］.理科考試研究，2020，27（24）：21-22.

［3］余亮.借助平面幾何知識與方法，求解三角形的最值問題［J］.福建中學數學，2019（11）：48-49.