計算能力我最強，一題多解顯神通

摘要：2023年云南中考數學第24題是困擾大多數學生的問題，尤其是一元二次方程中的含參問題成為很多學生的計算痛點.本文中從三個思路解決計算問題，幫助學生提高計算能力和推理能力.

關鍵詞：一題多解；一元二次方程;含參運算；計算能力

1 試題呈現

2 試題分析

2.1 立足常規，夯實“四基”

上述試題作為作為2023年云南省數學中考卷的壓軸題，突出考查了重點，并保持適當的梯度，呈現出一定的綜合性和跨越性，考生做題時較容易上手；在常規問題的基礎上，強調學生利用基礎知識和基本技能，體會基本思想，從而獲得基本活動經驗.由于試題對學生的思維和推理能力要求較高，所以具有很好的區分度.

2.2 重視數學基本活動經驗的積累和數學思想方法的滲透

“新課標”提出“三會”素養：會用數學的眼光觀察現實世界；會用數學的思維思考現實世界；會用數學的語言表達現實世界.數學基本活動經驗的積累和數學方法的滲透被提到了新的高度.上述試題體現了這一理念，對學生思維的深度和廣度都有一定的要求.著重考查學生的推理能力、抽象能力和計算能力.同時，上述試題第（1）（2）問的解法不止一種，均存在一題多解的情況.每一種方式都需要學生親自動手，全程參與，最終在多種方法中找出適合自己的方法，不斷地練習，并熟練運用.這樣的設問方式不斷在提示學生，對數學是理解，而不是模仿.但凡模仿，都走不遠.

2.3 難點分析

（1）忽略函數為一次函數時的情況，不少學生直接根據根的判別式證明方程根的情況，默認函數為二次函數.這個屬于難點，同時亦是扣分點.

（2）解含參的一元二次方程問題，很多學生看到參數就覺得很難，不愿意嘗試.系數含參也是本題的難點之一.

（3）第二問求整數解的問題，學生不會靈活運用

分式轉化的技巧，不會熟練運用分離參數法，導致第二問無從下手.

2.4 易錯點分析

（1）沒有運用分類討論思想，沒有考慮一次函數的情況，從而導致漏解.

（2）計算根的判別式時符號出錯，對完全平方公式掌握不牢固，無法準確識別一個二次三項式可以因式分解為完全平方公式，從而不能判斷根的判別式的正負情況.

（3）部分學生在第二問成功分離了常數，但在討論整數解時，遺漏了負數整數解，從而使第二問漏解.

3 教學功能

本題可用于二次函數章節的復習中，考查二次函數與一元二次方程的關系；著重訓練學生的計算能力和推理能力.尤其是對于含參的一元二次方程的求解是很多學生的難點，本題恰好可以作為訓練的素材.本題亦可用于中考復習函數專題中，由于二次項系數含參，因此，需要對函數關系進行分類討論.此外，本題還可以在講解分離參數的專題時使用，第二問本身就是涉及分離參數討論整數解的問題，因此教師在訓練學生使用分離參數法解決問題時，本題也是一個很好的選擇.

4 教學實施

4.1 第（1）問解決思路

教學說明：通過分析本題的難點和易錯點，筆者發現對于多數學生而言，本題最困難的地方在于含參數的一元二次方程的計算.本題的切入口并不難找到，基礎一般的學生也能將第（1）問的解答寫出一部分來，但是將根的判別式化簡至完全平方式是非常考驗學生的計算能力.因此，筆者提供了另外兩種方式，旨在幫助學生提高計算能力和推理能力.

4.2 第（2）問解決思路

教學說明：對于大部分學生來說，第（2）問已經遠遠超出了能力范圍.看到分式，不知如何討論整數解的問題.因此，筆者設計了兩種分離參數的方法以供學生學習，意在訓練學生分類討論的能力.不少學生會漏解a的值，其原因就是沒有真正掌握分離參數的方法.分離參數法不僅僅在中考數學中有所涉及，對于高中數學而言，分離參數法也是一種非常重要的求值方法.因此，選擇兩種方式講解也可以達到初高銜接的作用和效果.

5 教學啟示

通過研究本題的解法和觀察學生的做題情況，筆者有一些感悟與讀者分享.第一，日常教學要夯實基礎，直擊數學本質.基本概念要講清，定理要顯示完整，法則要落實到位.尤其是運用公式和定理計算時，不能僅僅局限于常數的教學，需要適當加入參數的運算，這樣才能真正提高學生的運算能力，夯實數學基礎.第二，強化基本技能，提升關鍵能力.典型題型需要練習到位，通性通法逐一落實，知識遷移訓練一體.例如在一元二次方程中判斷根的情況，通法就是利用判別式，這是日常教學中反復強調的解法，需要在課堂中及課后作業中將其落實到位.第三，讓學生經歷完整的探索解決問題的過程，培養問題解決意識，形成基本活動經驗和基本活動思想.為什么很多學生不能獨立完整地解出根的判別式或者利用求根公式計算出方程的根，原因在于日常的計算都是教師“包辦”的，學生自己沒有完整地將習題全部計算一遍，所以在考試時就無法在規定時間內準確算出結果.第四，強化應用意識和創新意識，形成核心素養.讓學生經歷從生動直觀到抽象概括、再到發散探求、最終回歸本質的思維過程，深耕厚植素養形成.注重一題多解的教學，讓每個題目的效用發揮到最大.