一道拋物線動點中考試題的考查特征及解題路徑分析

1 真題再現

2 試題特征

2.1 基于函數解析式的推導與參數求解

在中考拋物線動點問題中，通常是先要求學生由已知條件推導出二次函數的解析式.這一部分常常涉及對二次函數基礎知識的靈活應用，如將已知點代入函數式、利用對稱性或最值等條件解出參數.題目通過給出不同的已知條件（如過定點、與坐標軸的交點或最小值），考查學生對二次函數解析式的掌握程度及推導能力.在本題中，已知二次函數的圖象經過點（0，-3）和（-b，c），并結合條件abgt;0，學生需先求出函數的二次項系數a和常數項c，驗證其合理性.這一部分考查學生對二次函數參數與圖象性質之間關系的深刻理解.

2.2 結合幾何圖形的動態分析與綜合應用

中考中的拋物線動點問題，通常結合幾何元素如垂線、交點、三角形等，要求學生在動態變化的情境下分析幾何圖形的性質.題目通過設置動點P在拋物線上運動，進一步要求學生分析點P在運動過程中與其他幾何元素（如直線AC、垂線等）之間的動態關系.這種題型不僅考查學生對拋物線幾何性質的理解，還考查學生在動態條件下建立數學模型的能力.以本題為例，動點P在y軸左側的拋物線上移動，考生需要通過對動點P與點C、點B之間的幾何關系進行分析，找到動點P的位置，這一過程要求學生具備較強的空間想象力和動態分析能力.

2.3 動點位置與面積或比例關系的推理及證明

拋物線動點問題的難點往往在于結合特定的面積或比例關系進行分析與求解.題目通常設置動點的位置，使得某些幾何元素（如三角形、梯形等）的面積或邊長比例滿足特定的條件，從而考查學生的推理與證明能力.在本題中，要求判斷是否存在動點P，使得S_△PCE/S_△CBE=3/8.這一部分要求學生將代數運算與幾何性質相結合，通過分析面積的比例關系，找到滿足條件的動點P的位置.這不僅考查學生的綜合解題能力，還要求學生在動態情境下合理地運用比例與相似三角形等幾何知識進行推理與證明.

3 解題路徑

3.1 準確建立函數解析式，掌握拋物線的基本性質

解答拋物線中動點試題的第一步是通過已知條件準確建立二次函數的解析式，并掌握其基本性質.這一步是解題的基礎，要求學生能夠靈活運用二次函數的頂點形式、一般形式及其幾何特征.例如，在本題中，已知二次函數的圖象經過點（0，－3）和（－b，c），且abgt;0，學生需首先代入這些點的坐標，結合條件推導出a和c的值.在此基礎上，進一步利用二次函數的最值、對稱軸、與坐標軸的交點等特征，為后續步驟打下堅實的基礎.這一過程不僅是對學生函數知識的考查，還要求他們準確判斷和選擇最優的推導路徑，確保得到正確的解析式.

3.2 利用函數與幾何元素的關系，確定關鍵點的坐標

在得出拋物線的解析式后，下一步是利用解析式與幾何元素的關系，確定題中關鍵點的位置.此步驟通常涉及函數與x軸、y軸的交點及其他重要幾何元素的關系.例如，在本題中，要求求出二次函數的解析式，并確定其與x軸的交點A，B及與y軸的交點C的坐標.學生需通計算出這些交點的具體坐標，進一步明確拋物線的圖象及其與幾何元素的相互關系.這一過程是將函數的代數特征與幾何圖象結合的關鍵步驟，為后續分析動點P的運動路徑及其對圖形的影響奠定了基礎.

3.3 構建動態幾何模型，分析動點P的位置及其運動路徑

在確定關鍵點的坐標后，需構建動態幾何模型，分析動點P的位置及其運動路徑對圖形產生的影響.這一步是解題的核心，要求學生結合動點的運動條件，深入理解動點與其他幾何元素的動態關系.例如，本題要求分析動點P在y軸左側拋物線上的運動，并研究其與AC直線、x軸的垂線、以及三角形PCE和三角形CBE之間的關系.這一步要求學生準確分析動點P在不同位置時對幾何圖形面積或比例的影響，結合幾何性質，如相似三角形、面積計算公式等，進一步推導出特定條件下動點P的精確位置.

3.4 綜合代數與幾何關系，驗證并推導滿足條件的解

在構建了動態幾何模型并分析了動點P的運動路徑后，最后一步是綜合代數與幾何關系，驗證并推導滿足題目要求的解.這一步需要學生將前幾步的結果整合起來，通過聯立方程、比例關系或面積計算公式等方法，找出滿足特定條件的動點P的位置或證明其不存在.在本題中，要求驗證是否存在動點P使得S_△PCE/S_△CBE=3/8，學生需結合前面分析的幾何關系，運用比例性質或相似三角形的性質，推導出滿足該比例的動點P的具體橫坐標，或者證明該條件下動點P不存在.這一過程要求學生具備較強的綜合解題能力和邏輯推理能力，是對整個解題思路的最終檢驗.