“整合”教材例習題，搭建學習結構鏈

摘要：教材是教學的重要依據，是學習的主要工具.文章從“同類習題生長提煉、形似習題串珠成鏈、通法習題璧合珠連、關聯習題重構凝煉”四個方面入手，實施“聯網知識結構、擴閾方法結構、構筑經驗結構、深化思維結構”的結構化視角下的教材習題整合策略.

關鍵詞：結構化；教材習題；整合

教材在教學中的重要性不容忽視，它不僅是知識傳遞的基礎，更是教學評估的重要依據.目前部分教師在講授教材習題時就題論題，缺少整體觀下的知識建構和路徑歸納，這些碎片化的學習導致學生缺乏系統性的思維訓練，缺失對數學本質的學習.

《義務教育數學新課程標準（2022年版）》指出：“課程內容組織，重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系.”[1]結構化視角下的初中數學教材習題整合，就是以單元整體為方向，結構化為核心，驅動性問題為支架，對教材習題進行重組，在知識的建構-解構-優構過程中，提升學生整體觀下的系統性思維和能力.

1 整合策略

筆者立足結構化視角，提出“同類習題生長提煉，聯網知識結構；形似習題串珠成鏈，擴閾方法結構；通法習題璧合珠連，構筑經驗結構；關聯習題重構凝煉，深化思維結構”四個方面的整合策略并進行實踐思考，致力于讓初中數學“結構化”教學產生實踐意義.

1.1 同類習題生長提煉，聯網知識結構

在傳統的教學過程中，教師往往只注重對課本知識的講解，而忽略了學生對知識結構的整體把握.這導致了學生在學習過程中缺乏系統性和連貫性.教師可以將課本同類習題進行歸納和整理，以同類習題的重組生長為路徑，幫助學生感受知識之間的聯系，進而建立起更加完整的知識結構.

案例1 同類習題

題1 （浙教版九年級上冊第135頁例3）已知：如圖1，點D，E分別在AB，AC上，且AD/AB=AE/AC.求證：DE∥BC.

題2 （浙教版九年級上冊第135頁課內練習第2題）如圖2，點D為△ABC的邊AC上一點，若要使△ABD與△ACB相似，可添加什么條件？你有幾種不同方法？

題3 （浙教版九年級上冊第136頁作業題第2題）已知，如圖3，AB與CD交于點O，且AO/BO=CO/DO，求證：AC∥BD.

題2雖是開放式，但也只是就本課時的內容做了適當開放，為了讓學生感悟相似的基本圖形之間的聯系，整體理解不同條件下采用的判定方法也不同，筆者進行如下習題教學.

問題 如圖4所示，變換直線MN的位置，使其與△ABC的邊或邊的延長線相交，構建一個與△ABC相似的三角形，說說你的方法和理由.

師生活動：學生通過改變直線MN的位置，畫出了以下不同的圖形，并描述了每種圖形判定相似的方法.

（1）當DE∥BC時，△ADE∽△ABC，如圖5；

（2）當∠DAE=∠CAB，AD/AC=AE/AB時，△ADE∽△ACB，如圖6；

（3）當∠ADC=∠ACB時，△ADC∽△ACB，如圖7；

（4）當DE∥BC時，△ADE∽△ACB，如圖8；

（5）當∠ADE=∠ABC時，△ADE∽△ABC，如圖9.

除了相似的判定，教材中還有很多利用相似的性質求角和邊的問題，通過對比研究不難發現，這些基本圖形貫穿始終.

題4 〔浙教版九年級上冊第130頁作業題第4題（2）〕如圖10，在下面兩組圖形中，每組的兩個三角形相似，a表示已知數，試分別確定α，x的值.

題5 （浙教版九年級上冊第130頁作業題第5題）如圖11，已知△ABC∽△ACD，點D在AB上，已知AC=3 cm，AD=2 cm，求AB的長.

教材中的這兩道題依舊是在上文總結的基本圖形中計算，筆者延續上文的探索，繼續設置了如下思考與追問.

思考：如圖12，若△ADE與△ABC相似，你能根據圖中的信息求出BC的長和∠B的度數嗎？

追問：在問題解決的過程中，涉及了相似三角形的哪些知識？你能用結構圖梳理一下嗎？

師生活動：通過小組合作，學生呈現下面的結構圖，如圖13.

教學分析：通過設置開放式問題，學生在多種畫法中自主構建基本圖形.通過這樣的習題設計，學生不僅學會了基本圖形，還掌握了探索基本圖形的方法，發展其幾何直觀和推理能力.

將教材不同課時有關聯的習題通過重新優化整合，既體現了整體性教學的原則，又促進了學生構建知識網絡的能力.

1.2 形似習題串珠成鏈，擴閾方法結構

教材習題中有很多圖形類似的題，這些習題可以是同一課時，也可以是不同課時、不同章節但有相似的內涵和外延的題目.

案例2 形似習題

題1 （浙教版九年級上冊第133頁作業題第2題）如圖14，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于點D.試寫出圖中的相似三角形.

題2 （浙教版九年級上冊第133頁作業題第5題）如圖15，等腰三角形ABC的頂角∠A=36°，BD是∠ABC的平分線.判斷點D是不是線段AC的黃金分割點，并說明理由.

這兩道題均涉及了一種特殊的相似關系，形似但又有區別，題1涉及直角三角形，題2涉及一類特殊的等腰三角形.筆者結合條件的生長設置驅動性問題，幫助學生積累提出問題、解決問題的經驗.

問題 如圖16，若∠ACB=∠ADC=90°，圖中有幾對相似三角形？可以得到哪些比例關系式？

師生活動：學生先畫出符合條件的圖形，如圖17，想到三組相似.

追問1：圖形經歷了怎樣的變化？結論又有什么區別？

師生活動：學生從角的角度解釋圖形為從一般到特殊的關系，并且當角度設置為90°時，圖形有三組相似.

追問2：若圖16中的三角形均為等腰三角形，圖中有幾對相似三角形？當AB=10，則CD的長度為多少？

師生活動：學生先畫出符合條件的圖形，如圖18，結合等腰三角形邊的等量關系，采用設元法，利用相似三角形邊的比例關系建立方程.

追問3：若將∠A改為鈍角，圖形又有什么變化？如圖19，當AB=10，則CD的長度為多少？

師生活動：由圖16到圖18、圖19是將邊特殊化的過程，學生發現，雖然圖形變了，但求邊長的方法不變.

教學分析：通過將圖形不斷特殊化，學生明確了形似圖形之間存在內在的關聯，這些關聯的知識在學生的腦海中“串成珠，橫成鏈”，最終建立方法結構.

1.3 通法習題璧合珠連，構筑經驗結構

教材中有很多問題相似、方法相通的問題，教師可創設實際情境，創造性地設置階梯問題，學生在經歷從解題到解決問題轉變的同時，還能在多層次、多角度的問題中感悟通性通法，構筑經驗結構.

案例3 通法習題

題1 （浙教版九年級下冊第24頁例6）如圖20，測得兩樓之間的距離為32.6 m，從樓頂點A觀測點D的俯角35°12′，點C的俯角為43°24，求這兩幢樓的高度（精確到0.1 m）.

題2 （浙教版九年級下冊第25頁作業題第2題）小玲家對面新造了一幢圖書大廈，小玲在自家窗口測得大廈頂部的仰角和大廈底部的俯角（如圖21所示），量得兩幢樓之間的距離為32 m，問：大廈有多高？小玲家又有多高（結果精確到1 m）？

題3 （浙教版九年級下冊第26頁作業題第4題）如圖22，從點A看一山坡上的電線桿PQ，觀測桿頂端點P的仰角是45°，向前走6 m到達B點，測得桿頂端點P和桿底端點Q的仰角分別是60°和30°，求該電線桿PQ的高度（精確到0.1 m）.

上述三個問題背景相似，且剛好覆蓋了兩類常見的基本圖形，在不同點看同一點（如圖23），在同一點看不同點（如圖24），題3可看作兩類基本模型的整合（如圖25），三個問題的解法有相通之處，又層層遞進，基于上述分析，教師可拋出一個新情境作為項目化探索.

任務目標：測算發射塔的高度.

背景素材：某興趣小組在一幢樓房窗口測算遠處小山坡上發射塔的高度MN，如圖26，他們通過自制的側傾儀（如圖27）在兩個位置觀測，第一個觀測位置位于2樓的點B處，第二個觀測位置位于5樓的點A處，每層樓高4 m（墻體厚度忽略不計），側傾儀上的示數如圖28所示.

問題解決：

任務一：計算A，B兩點間的距離，并寫出兩處觀測角的正切值.

任務二：計算樓與發射塔之間的水平距離.

任務三：計算發射塔的實際高度.

教學分析：教學過程中，學生讀取示數進而寫出觀測角的正切值，體現了用數學的眼光觀察現實世界.三個任務層層遞進，不僅將課本涉及的三類基本問題進行整合，又能彰顯計算方法的相通之處.因此，數學的解題不僅是解決一個問題，更是教給學生一種思考問題的方式，打通知識內部的聯系，將零碎的知識結構化，總結解決問題的通性通法，積累解題活動經驗.

1.4 關聯習題重構凝練，深化思維結構

案例4 關聯習題

題1 （人教版八年級上冊第82頁第2題改編）在如圖29所示的正方形網格中，點A，B，C均在正方形網格的格點上，請你在網格中畫△ABD，使△ABD與△ABC全等，且點D與C不重合，你能畫出多少個？

師生活動：學生找出全等不難，難在找全.教師引領學生總結歸納，并點明將三角形進行平移、翻折、旋轉變換后，所得三角形都與原三角形全等.

題2 （浙教版八年級下冊第127頁作業題第4題）已知：如圖30，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD上的點，AE⊥BF.求證：AE=BF.

師生活動：本題借助正方形背景，問題的本質依舊是構造并證明全等三角形，若將圖30變式為圖31，引導學生觀察異同點，并思考證明路徑的相同之處，學生易發現通過平移轉化為圖31.

追問：若F是CD的中點，如圖32所示，證明DG=DA，并求sin∠GDA=_________.

師生活動：構造輔助線，如圖33，容易證明圖中除△DGH之外，剩下的三角形都相似，而且相似比都是1∶2∶5，通過計算可以知道sin∠GDA=4/5.

教學分析：筆者將教材中習題涉及到的平移、翻折、旋轉方式聯系到正方形全等問題中，并借助平移的理念將特殊情形變式為一般情形，由易到難，層層遞進，設計驅動性問題，旨在讓學生加強理解知識的關聯，培養融會貫通的能力，拓展學生思維活動的深度和廣度，進一步深化思維結構.

深度學習提倡知識、方法的關聯和轉化，打破教材中縱向知識和橫向知識之間的壁壘，使知識之間實現了縱橫交融，把一個個知識串聯起來組成結構群[2].筆者以教材習題為基石，對教材中的同類習題、形似習題、通法習題、關聯習題進行整合重組，旨在引導師生復習備考時要關注教材，重視教材經典習題的應用.

2 策略闡述

2.1 立足教材緊扣課標

教師組織課堂教學要以《義務教育數學課程標準（2022年版）》為出發點和落腳點，必須以教材上的知識點為根本.教材例習題有很多經典題型，很多中考題也都能在教材中找到原型，教師不管進行怎樣的教學創新，都要從教材知識點和例習題出發，深入探究可以拓展哪些知識以及怎樣拓展[2].

2.2 整體理念建構體系

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：從課程內容組織到教學建議都強調教學內容的結構化整合，整體把握教學內容之間的關聯[1].教師可以打破原來單純的講題模式，以教材經典習題為載體，以建構為核心，關聯為導向，驅動性問題為支架，在變式拓展中揭示知識之間的聯系，形成知識、方法、經驗、思維的結構化體系.

2.3 深度學習培育素養

培育素養需要教師轉變教學方式，從傳統的知識傳授轉向引導學生進行深度學習.教育者需要關注學生的學習過程，通過設置驅動性問題，鼓勵學生主動探究、思考、實踐，這種在數學學科的整體視角下建立關聯性結構群，能讓學生以深層次思維解決“萬變”的生活實際問題[3].

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學，2022.

[2]吳華君.立足教材夯實四基 拓展延伸提升素養——以源于課本習題的中考題為例[J].初中數學教與學，2023（5）：36-38.

[3]汪小蓮，馬振華.基于核心素養的幾何單元整體教學實踐研究——以“相似三角形”單元為例[J].數學教學通訊，2022（8）：29-31，53.