借助分類討論思想，促進初中數學解題

【摘要】分類討論思想是初中階段解決數學問題的常見思想之一，通過對題目中展示的不同情況進行分類討論，可以保證條理清晰，不重復、不遺漏.本文以初中數學題為例，研究分類討論思想在初中數學解題中的應用，以此促進學生數學解題效率的提高.

【關鍵詞】分類討論；初中數學；解題方法

數學作為一門抽象性強、邏輯性強的學科，為幫助學生迅速找到解題的竅門，需要引導學生科學有效地應用分類討論思想，優化解題步驟，降低解題難度.

1借助分類討論思想，解答函數問題

例1在直角坐標系xOy中，一次函數y=23x+2的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點C坐標為1，0，點D在x軸上，且∠BCD=∠ABD.求圖象經過B、D兩點的一次函數的解析式.

思路分析通過分析題目不難發現，A、B兩點的坐標容易確定，但D點的坐標難以確定，所以說解題的關鍵是確定D點的坐標.再結合點D在x軸上，且∠BCD=∠ABD的條件，可以發現點D的位置不確定，它能在C點的右側，也能在C點的左側.因此，解答此題時，需要進行分類討論.

解析已知點A、B分別是一次函數y=23x+2與x軸、y軸的交點，

所以A－3，0，B0，2.

因為點C坐標為1，0，根據勾股定理可得，BC=3，AB=11.

設點D的坐標為x，0.

情況1，當點D在C點的右側，即xgt;1，如圖1所示.

因為∠BCD=∠ABD，

∠BDC=∠ADB，

所以△BCD∽△ABD，相似比為BCAB，

又因為S△BCD=12CD·OB，

S△ABD=12AD·OB，

所以S△BCDS△ABD=CDAD=BCAB2，

即x－1x+3=3112.

因為xgt;1，

所以x－1x+3=311，解得x=52，即D點的坐標為52，0.

設圖象經過B、D兩點的一次函數解析式為y=kx+b，可列出式子b=252k+b=0，

整理解得b=2k=－225，

所以所求一次函數為y=－225x+2.

情況2，當點D在C點的左側，即xlt;1，如圖2所示.

因為∠BCD=∠ABD，∠BAC=∠DAB，

所以△ABC∽△ADB，

所以ADAB=BDCB，

即x+311=x2+23，

整理解得x1=－14，x2=52.

又因為xlt;1，

所以x2=52舍去，即D點的坐標為－14，0，

所以圖象經過B、D兩點的一次函數解析式為y=42x+2.

綜上，所求的一次函數為y=－225x+2或y=42x+2.

2借助分類討論思想，解答方程試題

例2求一元二次方程xx－5x+6=0的解.

思路分析本題考查一元二次方程的解.解答本題時，先進行分組討論，再去掉絕對值符號.

解析當x≥0時，原方程可化為x2－5x+6=0，

即x－2x－3=0，

解得x1=2，x2=3；

當x＜0時，原方程可化為x2－5x－6=0，

即x+1x－6=0，

解得x1=－1，x2=6，

因為x＜0，所以x2=6舍去.

綜上，一元二次方程xx－5x+6=0的解為x1=2，x2=3，x3=－1.

3借助分類討論思想，解答幾何試題

例3矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點P在矩形ABCD的內部，點E在邊BC上，滿足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長為（）

思路分析本題考查勾股定理以及矩形、相似三角形的性質.通過分析題目，發現題目中并沒有明確指出點P與點E的位置.在條件不明確的情況下，應結合題目所給的條件△APD是等腰三角形，分PD=DA、PD=PA兩種情況討論求解.因此，解答本題時，要靈活運用分類討論思想.

解析已知四邊形ABCD為矩形，

所以∠BAD=90°，

求得BD=AB2+AD2=62+82=10.

情況1，當PD=DA=8時，

BP=BD－PD=10－8=2，

因為△PBE∽△DBC，

所以BPBD=PECD，即210=PE6，

求得PE=65.

情況2，當PD=PA時，P為BD的中點，

因為△PBE∽△DBC，

所以BPBD=PECD，即510=PE6，

求得PE=3.

綜上，PE的長為65或3.

4結語

分類討論思想在初中數學解題中具有十分重要的作用，通過合理的科學運用，學生可以更好地理清問題的本質，化繁為簡，提高應對難題的自信心以及解題的效率、準確性.因此，在初中數學解題中，教師要有意識地引導學生學會用分類討論思想進行解答.