建立二次函數模型解決初中數學應用問題

【摘要】二次函數是初中數學的重要內容之一，在實際生活中有廣泛的應用.本文通過對初中數學實際應用問題的分析，闡述如何建立二次函數模型解決這些問題，旨在幫助學生提高運用二次函數解決實際問題的能力.

【關鍵詞】二次函數；初中數學；解題方法

二次函數是初中的一類重要函數，學生不僅需要掌握二次函數的基本概念和性質，更要學會運用二次函數模型解決實際應用問題.二次函數在實際問題中的應用主要有三類，即銷售問題、軌跡問題、圖形問題.本文結合具體實例，談二次函數在解決這三類問題中的應用.

1建立二次函數模型解決銷售問題

在銷售問題中，通常涉及商品的售價、銷售量、利潤等變量，利潤=（售價-成本）×銷售量.通過建立二次函數模型，可以將利潤最大問題轉化為二次函數的最大值問題.

例1某企業開發了一種新產品，生成這種產品的成本包括原料成本、加工成本和運輸成本. 每生產一件這種產品的原料成本為40元，加工成本為6元，運輸成本為4元.該企業在進行產品市場調查時發現，若該產品的銷售單價定為100元，則每天可銷售50件，當銷售單價每降低1元，則每天可多銷售5件，但銷售單價不能低于成本價.為擴大銷量，現公司決定降價出售.

（1）寫出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數解析式以及自變量x的取值范圍;

（2）已知每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量.為了控制成本，該企業規定生產這種新產品每天的總成本最高為7000元.為了使每天的銷售利潤最大，銷售單價應定為多少元？

解析（1）易知總成本為50元，于是y=（x-50）50+5×100-x1=-5x2+800x-27500（50≥x≥100）.

（2）因為該企業每天生產這種新產品的總成本最高為7000元，所以5050+5×100-x1≤7000，解得x≤82.

根據第（1）問可知y=－5x2+800x－27500=－5（x－80）2+4500，故拋物線的對稱軸為x=80.因為二次項系數小于零，所以拋物線開口向下，故在對稱軸右側，y隨x增大而減小.所以當x=82時，y最大，最大值為4480.所以為了使每天的銷售利潤最大，銷售單價應定為82元，最大利潤為4480元.

2建立二次函數模型解決軌跡問題

根據物理知識，拋出的物體在運動時，其垂直高度與水平距離之間蘊含著二次函數關系.因此，二次函數模型常用于解決拋體的軌跡問題，常見的例子有噴泉水柱的運動軌跡、投籃時籃球的運動軌跡等.

例2一位足球運動員在一次射門訓練中，從球門正前方8m的A處射門，已知球門高OB為2.44m，球射向球門的軌跡可以看作是拋物線的一部分，當球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球的豎直高度為3m.現以O為原點，建立平面直角坐標系如圖1所示.

（1）求二次函數的解析式；

（2）請判斷球能否射進球門；

（3）為了進球，運動員帶球向點A的正后方移動了nm（ngt;0）射門，若運動員射門路線的形狀、最大高度均保持不變，結果恰好在點O正上方2.25m處進球，求n的值.

解析（1）因為8－6=2，所以拋物線的頂點坐標為（2，3）.

設拋物線表示的二次函數的表達式為y=a（x－2）2+3，把點A（8，0）代入，得36a+3=0，解得a=－112，所以y=－112（x－2）2+3.

（2）當x=0時，y=－112×4+3=83gt;2.44，所以球不能射進球門.

（3）根據題意，移動后的拋物線的表達式為y=－112（x－2－n）2+3，把點（0，2.25）代入，得2.25=－112×（0－2－n）2+3，解得n1=－5（舍去），n2=1，所以n的值為1.

3建立二次函數模型解決圖形問題

在圖形問題中，二次函數同樣有著廣泛的應用，可用于解決面積和周長最值問題.例如在矩形、三角形、圓等各類圖形中，都可以通過建立二次函數模型來求最優解.

例3如圖2，某農戶計劃用籬笆圍成一個矩形場地養殖家禽，為充分利用現有資源， 該矩形場地一面靠墻（墻的長度為18m），另外三面用籬笆圍成，中間再用籬笆把它分成三個面積相等的矩形分別養殖不同的家禽.計劃購買籬笆的總長度為32m，設矩形場地的長為xm，寬為ym，面積為sm2.

（1）分別求出y與x，s與x的函數解析式.

（2）當x為何值時，矩形場地的總面積最大？最大面積為多少？

（3）若購買的籬笆總長增加8m，矩形場地的最大總面積能否達到100m2？若能，請求出x的值；若不能，請說明理由.

解析（1）根據題可得y=14（32－x）=－14x+8，所以s=x·14（32－x）=－14x2+8x，其中0lt;x≤18.

（2）因為y=－14x2+8x=－14（x－16）2+64，所以當x=16時，矩形場地的總面積最大，最大為64m2.

（3）由題意得s=x·14（40－x）=－14x2+10x（0lt;x≤18），將s=100代入s=－14x2+10x，－14x2+10x=100，解得x1=x2=20.因為0lt;x≤18，所以x1=x2=20不符合要求，舍去.所以矩形場地的最大總面積不能達到100m2.

4結語

本文詳細闡述了二次函數在實際問題中的三類應用.在銷售問題中，通過建立二次函數模型將利潤最大問題轉化為函數最大值問題；在軌跡問題中，利用二次函數模型解決拋體的軌跡問題；在圖形問題中，可用于解決面積和周長最值問題，如矩形場地養殖家禽的面積問題.總之，建立二次函數模型在解決初中數學應用問題中發揮著至關重要的作用.在教學過程中，教師應注重引導學生掌握構建二次函數模型的方法與技巧，著力培養學生的數學建模能力和應用意識，提升學生解決實際問題的能力.