例析半角模型，巧用方法突破

【摘要】半角模型是初中平面幾何問題中的常見題型.解決類似問題的常見方法主要有兩種：旋轉目標三角形法，截長補短法.本文結合例題談如何利用這兩種方法求得證明，幫助學生在考場上快速找到解題的突破口.

【關鍵詞】半角模型；初中數學；解題方法

解題原理我們習慣將過等腰三角形頂角的頂點引兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半，這樣的模型叫做半角模型.針對不同類型的半角模型，主要采用旋轉目標三角形法和截長補短法予以論證.旋轉目標三角形法的解題原理是找到含半角的角度，識別共頂點旋轉前后的圖形，再根據全等進行相關的證明和計算；截長補短法的解題原理是通過作輔助線構造全等三角形，根據全等得到邊角關系，從而進行相關證明或計算.

典型半角模型

例題如圖1所示，在正方形ABCD中，點E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝45°，連接點E，F，求證：BE+DF＝EF .

方法1旋轉目標三角形法

證明如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，使得AD和AB重合，即△ADF≌△ABG，則DF=BG，AF=AG，∠GAE＝90°－∠EAF＝45°＝∠FAE，AE＝AE（SAS），則△AEF≌△AEG，EF＝EG；即可證明EF＝EG＝BE+DF.

方法2截長補短法

證明延長EB至點G，使得BG＝DF，連接AG.因為四邊形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠D=∠ABE=90°，∠ABG=180°－90°=90°=∠D，通過SAS證明△ADF≌△ABG，所以AG=AF，在△AEF和△AEG中，∠GAE＝90°－∠EAF＝45°＝∠FAE，AE＝AE（SAS），所以△AEF≌△AEG，EF=EG，即可證明EF＝EG＝BE+DF.

評析該試題是最為典型的正方形半角模型，主要考查全等三角形的性質和判定、正方形邊角的性質等知識點，解題思路是利用旋轉和截長補短兩種方法對圖形進行轉化，證明三角形全等，依據三角形全等找到邊與邊之間的關系.基于該試題的基本特征，許多習題得以延伸和拓展，也可以采用以上兩種方法進行解析.

變式習題1如圖3所示，在正方形ABCD中，點E，F分別是CB，DC延長線上的點，且∠EAF=45°，連接EF.求證：DF－BE=EF.

方法1旋轉目標三角形法

證明如圖4，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADM，使得AB與AD重合，即△ABE≌△ADM，所以BE=DM，AE=AM，所以∠DAM=∠BAE；因為∠EAF=∠BAE+∠BAF=45°，∠DAM+∠BAF=45°，所以∠MAF=90°－45°=45°=∠EAF，通過SAS證明△AEF≌△AMF，EF=MF，即可證明EF=MF=DF－DM=DF－BE.

方法2截長補短法

證明在DF上取一點M，使得DM=BE，連接AM.因為四邊形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠D=∠ABC=90°，∠ABE＝180°－∠ABC=180°－90°=90°=∠D，即△ABE≌△ADM，BE=DM，AE=AM，同上可得△AEF≌△AMF，即可證明EF=MF=DF－DM=DF－BE.

評析變式習題1是在例題的基礎上的延伸，主要考查線段、正方形邊角間的等量關系和全等三角形的性質與判定，解題的關鍵還是借助半角模型的旋轉目標三角形法和截長補短法來得出關系，從而求得證明.

變式習題2如圖5所示，在正方形ABCD中，點E，F分別是BC，CD延長線上的點，且∠EAF=45°，連接EF.求證：BE－DF=EF.

方法1旋轉目標三角形法

證明如圖6，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABM，使得AD與AB重合，即△ADF≌△ABM，AF=AM，DF=BM，∠DAF=∠BAM，因為∠MAE=90°－∠BAM－∠EAD=90°－∠EAF=45°，通過SAS證明△AME≌△AFE，EF=EM，即可證明EF=EM=BE－BM=BE－DF.

方法2截長補短法

證明在BC上取一點M，使得BM=DF，連接AM.因為四邊形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠B=∠ADC=90°，∠ADF=180－∠ADC=90°=∠B，通過SAS證明△ABM≌△ADF，AM=AF，DF=BM，∠DAF=∠BAM，因為∠MAE=90°－∠BAM－∠EAD=90°－∠EAF=45°，通過SAS證明△AME≌△AFE，EF=EM，即可證明EF=EM=BE－BM=BE－DF.

評析該題同樣是對經典例題的變式，解題方法和考查的知識點都是類似的，只是在例題的基礎上對三角形進行了一定角度的旋轉，解題方法還是利用以上兩種方法證明三角形全等，再根據全等三角形的性質找到線段與線段間的關系.

結語

近年來的幾何試題中，大部分與半角模型相關的試題，都是在基本模型的基礎上進行的變化和延伸，雖然題目變化多樣，但萬變不離其宗，解題思路都是利用半角模型，將半角兩邊的三角形旋轉到另一邊合成新的三角形，或者通過作輔助線構造全等三角形，也就是借助旋轉目標三角形法和截長補短法去尋找線段、角之間的關系以解決論證問題.教師在講解此類題型時要注重發散思維，重點為學生提供此類試題的思路，幫助學生更好地利用半角模型解決幾何問題.