新課標(biāo)視域下的初中動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題探究

摘 要：動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是中考的一種常見(jiàn)題型，涉及幾何圖形和數(shù)量關(guān)系，重在考查學(xué)生的抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、模型觀念等核心素養(yǎng)。這類問(wèn)題具有多變、復(fù)雜、綜合性強(qiáng)、難度大等特點(diǎn)。基于此，作者研讀新課

標(biāo)，提出了幾條建議，以及相應(yīng)的解題策略以期提高學(xué)生對(duì)此類題目的得分率，同時(shí)發(fā)展其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；動(dòng)態(tài)幾何；新課標(biāo)

中圖分類號(hào)：G427" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "文章編號(hào)：2097-1737（2025）06-0031-03

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是中考的常見(jiàn)題型，在選擇、填空、解答題中均有涉及，且經(jīng)常作為“壓軸題”出現(xiàn)。作為解答題中的壓軸題時(shí)，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題往往包含幾個(gè)小問(wèn)題，且難度逐漸上升，對(duì)學(xué)生的綜合素養(yǎng)要求較高。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）聚焦學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展，這對(duì)解答動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題提出了更全面的要求。筆者通過(guò)研究和實(shí)踐，對(duì)這類問(wèn)題有了更深刻的認(rèn)識(shí)。

一、動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題概述

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，初中階段圖形與幾何領(lǐng)域涵蓋“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標(biāo)”

三個(gè)主題，側(cè)重從演繹證明、運(yùn)動(dòng)變化、量化分析三方面研究它們的基本性質(zhì)和關(guān)系[1]。動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題涉及點(diǎn)、線、三角形、四邊形、圓、函數(shù)圖象等，

不僅涵蓋幾何知識(shí)，還涉及代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的代數(shù)知識(shí)，重在考查學(xué)生的抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、模型觀念等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。圖形的位置關(guān)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)發(fā)生變化，數(shù)量和數(shù)量關(guān)系也會(huì)隨之變化，因此動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題與函數(shù)密切相關(guān)。

二、動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的教學(xué)建議

（一）重視對(duì)學(xué)生閱讀理解能力的培養(yǎng)

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題圖形復(fù)雜，且題干部分的文字較多，這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中重視對(duì)學(xué)生閱讀理解能力的培養(yǎng)[2]。例如，教師可引導(dǎo)學(xué)生一邊讀題，一邊在題目中勾畫(huà)關(guān)鍵詞，幫助學(xué)生快速找出已知條件，排除無(wú)關(guān)信息的干擾。此外，教師還可以和學(xué)生一起“比較閱讀”，即把同類型的題放在一起比較，找到它們的“同”與“不同”，找到解答這類題目的通法通則。

（二）注重對(duì)學(xué)生幾何直觀和空間觀念的培養(yǎng)

初中生尚且沒(méi)有形成良好的空間思維能力，在解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)，有時(shí)難以想象出圖形是怎樣連續(xù)運(yùn)動(dòng)的[3]。為調(diào)動(dòng)學(xué)生的空間思維能力，教師可利用幾何畫(huà)板或網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)行直觀演示；可與學(xué)生一起模擬圖形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，并畫(huà)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不同位置的圖形；還可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形運(yùn)動(dòng)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，抓住解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

（三）深化學(xué)生對(duì)基本概念、性質(zhì)、定理的理解

在進(jìn)行動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)多元化的教學(xué)方法，和學(xué)生一起探究問(wèn)題的提出和推理過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)幾何圖形基本概念、性質(zhì)和定理的理解，夯實(shí)解題基礎(chǔ)。例如，教師可通過(guò)大單元教學(xué)將有內(nèi)在關(guān)聯(lián)但內(nèi)容不同的教學(xué)內(nèi)容整合，

幫助學(xué)生建立知識(shí)間的聯(lián)系，形成認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，為其自主學(xué)習(xí)和深層次了解知識(shí)脈絡(luò)提供思路。

（四）注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透

中考涉及的數(shù)學(xué)思想非常全面，包括分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸、類比、轉(zhuǎn)化、建模等。其中考查頻次最高的是數(shù)形結(jié)合，這是由動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的特征決定的，因?yàn)椤靶巍钡淖兓瘯?huì)引起“數(shù)”的變化，只有數(shù)形結(jié)合才能解決這類問(wèn)題[4]。考查頻次較高的是分類討論，這主要是因?yàn)閳D形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中位置發(fā)生了改變。掌握這些常見(jiàn)思想，對(duì)學(xué)生解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題具有重要意義，因此教師應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想方法體系。

（五）重視學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，學(xué)生要“能夠明晰運(yùn)算的對(duì)象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系；能夠理解運(yùn)算的問(wèn)題，選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問(wèn)題，能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展”。因此，教師應(yīng)注重計(jì)算過(guò)程和證明的書(shū)寫(xiě)，以幫助學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的解題習(xí)慣。為提高學(xué)生的運(yùn)算能力，教師可展示多種計(jì)算方法，引導(dǎo)學(xué)生在最短的時(shí)間內(nèi)找到最簡(jiǎn)便的方法；同時(shí)還要讓學(xué)生充分理解算法和算理，進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方的互化，以及讓學(xué)生充分理解解題依據(jù)，如等式與不等式的基本性質(zhì)、比例的基本性質(zhì)等。

（六）不斷增強(qiáng)學(xué)生解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的信心

對(duì)于題干較長(zhǎng)的試題，大部分學(xué)生會(huì)有畏懼和緊張心理。對(duì)此，教師可將動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題分類制作成小專題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行拓展訓(xùn)練；并在問(wèn)題的設(shè)置中增加鋪墊環(huán)節(jié)，引領(lǐng)學(xué)生一步步突破難點(diǎn)，解決問(wèn)題；最后，還可以通過(guò)總結(jié)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類題目的特點(diǎn)，增強(qiáng)他們解決這類題目的自信。

三、動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的解題策略

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題弱化了幾何證明煩瑣的過(guò)程，強(qiáng)化了幾何變換的操作。學(xué)生需要用運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)眼光去觀察、思考、研究問(wèn)題，把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)變化的全過(guò)程，綜合運(yùn)用函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想去解決問(wèn)題[5]。下文以2020年河北中考第26題為例，該題涉及三種解題策略。

如圖1和圖2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC＝。點(diǎn)K在AC邊上，點(diǎn)M、N分別在AB、BC上，且AM＝CN＝2。點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿折線MB-BN勻速移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)停止；而點(diǎn)Q在AC邊上隨P移動(dòng)，且始終保持∠APQ＝∠B。

（1）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，求點(diǎn)P與點(diǎn)A的最短距離；

（2）若點(diǎn)P在MB上，且PQ將△ABC的面積分成上下4∶5兩部分時(shí)，求MP的長(zhǎng)；

（3）設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路程為x，當(dāng)0≤x≤3及3≤x≤9時(shí)，分別求點(diǎn)P到直線AC的距離（用含x的式子表示）；

（4）在點(diǎn)P處設(shè)計(jì)并安裝一掃描器，按定角∠APQ掃描△APQ區(qū)域（含邊界），掃描器隨點(diǎn)P從M到B再到N共用時(shí)36秒。若AK＝，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K被掃描到的總時(shí)長(zhǎng)。

（一）抓住題中的不變量，“以不變應(yīng)萬(wàn)變”

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中往往含有多個(gè)變量，而這些變量之間的關(guān)系是不確定的。對(duì)此，我們只需要抓住題中的不變量。因?yàn)檫@些不變量與變量存在著一定關(guān)系，可以根據(jù)需要用表達(dá)式、等式、方程、函數(shù)解析式、不等式把它們聯(lián)系起來(lái)，把未知轉(zhuǎn)化成已知。

該題目中點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離、點(diǎn)P到直線AC的距離以及∠APQ輻射到△APQ的區(qū)域都發(fā)生了變化。在第1問(wèn)中，因?yàn)辄c(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，“點(diǎn)動(dòng)成線”，

所以這一問(wèn)的本質(zhì)是求點(diǎn)到直線的最短距離。第3問(wèn)根據(jù)“點(diǎn)到線的距離”這一核心概念，我們可以畫(huà)出垂線段來(lái)構(gòu)造直角三角形，再利用三角函數(shù)解題。

第1問(wèn)解法如下：當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A的最短距離就是BC邊上的高（如圖3），此時(shí)AP垂直平分BC，BP＝CP＝4，∴AP＝CP·tanC＝

4×＝3。

第3問(wèn)解法如下：過(guò)點(diǎn)P向直線AC作垂線，垂足為點(diǎn)H，則PH的長(zhǎng)就是點(diǎn)P到直線AC的距離。當(dāng)0≤x≤3時(shí)，點(diǎn)P在MB上（如圖4），PQ∥

BC，由＝＝，得PQ＝。

∵sin∠HQP＝sin∠ACB＝，∴PH＝PQ·

sin∠HQP＝×＝x＋；當(dāng)3≤x≤

9時(shí)，點(diǎn)P在BN上（如圖5），此時(shí)PC＝MB＋BC－

x＝3＋8－x＝11－x，∴PH＝PC＝－x＋。

（二）抓住一般模型，“化特殊為一般”

面對(duì)變化的圖形時(shí)，學(xué)生要能夠準(zhǔn)確分解出其中的基本幾何模型，用一般模型解決特殊問(wèn)題，達(dá)到“化特殊為一般”的目的。在面對(duì)涉及函數(shù)關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生還需找出變量與變量之間的特殊關(guān)系，利用自己熟悉的定理、圖形性質(zhì)、面積關(guān)系等幾何等量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系模型。

在上述題目第2問(wèn)中，通過(guò)畫(huà)圖（如圖6），呈現(xiàn)在我們面前的是熟悉的“A字形”這一相似幾何模型，這樣，利用相似的性質(zhì)很容易求出MP的長(zhǎng)。

第2問(wèn)解法如下：∵當(dāng)點(diǎn)P在MB上時(shí)，∠APQ＝

∠B，∴PQ∥BC。由（1）可知，AB＝AC＝＝5，∵PQ將△ABC的面積分成上下4∶5兩部分，∴＝（）2＝，

∴＝，AP＝AB＝，∴MP＝AP－AM＝

－2＝。

在第4問(wèn)中，隨著點(diǎn)P的移動(dòng)，一些線段的長(zhǎng)度發(fā)生了變化。當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終存在“一線三等角”這一幾何模型，此時(shí)△ABP∽

△PCQ，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例就可以建立函數(shù)關(guān)系。

（三）抓住圖形運(yùn)動(dòng)位置的關(guān)鍵點(diǎn)，“化動(dòng)為靜”

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題雖然是運(yùn)動(dòng)變化的，但是我們可以把靜態(tài)與動(dòng)態(tài)結(jié)合，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，降低求解難度。在解題時(shí)，要先理清楚起始位

置、運(yùn)動(dòng)路徑、終止位置，然后找到在運(yùn)動(dòng)路徑上有幾個(gè)分界點(diǎn)，進(jìn)行分段。接著逐段分析，找到不同狀態(tài)下的結(jié)果。最后綜合在一起，就完成了對(duì)動(dòng)態(tài)問(wèn)題的分類研究。

針對(duì)上題中的第4問(wèn)，教師可先提問(wèn)：什么叫點(diǎn)K被掃描到？在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圖形的位置發(fā)生了怎樣的變化，數(shù)量關(guān)系又有怎樣的變化？然后引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖。最后，教師可讓學(xué)生操作幾何畫(huà)板，直觀感受點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，體會(huì)幾何運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題中的分類是由運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的臨界狀態(tài)造成的，這是從“形”的角度進(jìn)行教學(xué)。教師也可以從“數(shù)”的角度去揭示運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的本質(zhì)，即當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終存在“一線三等角”這一幾何模型，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例就可以建立函數(shù)關(guān)系，再借助函數(shù)圖象就能直觀地發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q過(guò)了點(diǎn)K后會(huì)返回，直到點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)N。

第4問(wèn)解法如下：當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，K與Q

不重合，此時(shí)△ABP∽△PCQ，則＝。∵AB＝

5，BC＝8，CN＝2，AK＝，CK＝，設(shè)BP＝m，

CP＝8－m，CQ＝n，∴＝，則n＝－m2＋

。當(dāng)K與Q重合時(shí)，n＝CQ＝，即＝－m2＋m，解得：m1＝，m2＝，則AP與AK重合的時(shí)間點(diǎn)為：（＋3）÷＝34，（＋3）÷＝

22。因此，K點(diǎn)被掃描的總時(shí)長(zhǎng)為36－（34－22）－

1＝23（秒）。

四、結(jié)束語(yǔ)

要想提高學(xué)生解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的能力，教師需立足數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，在教學(xué)中結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

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基金項(xiàng)目：本文系河北省保定市“十四五”規(guī)劃課題“中考復(fù)習(xí)‘直觀想象’核心素養(yǎng)培養(yǎng)大單元教學(xué)策略研究”（課題編號(hào)：232085）的研究成果。

作者簡(jiǎn)介：邵靜（1975.2-），女，河北保定人，任教于河北省保定市第三中學(xué)分校，高級(jí)教師，本科學(xué)歷。