換元法在初中數學解題中的應用

摘" 要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調，數學教學活動要以強化學生理解能力、運算技能為基礎，體會數學思想與方法，積累數學學習經驗.在初中數學學習中，學生對換元問題常常束手無措.基于此，教師要指導學生合理運用數學知識，變化研究主體，使非標準數學問題標準化，復雜問題簡單化，不斷強化學生的解題能力，使學生突破學習重難點，提高學生的數學解題能力.為此，本文探究換元法在初中數學解題中的應用，以期為初中數學教學提供參考.

關鍵詞：初中數學；換元法；應用；解題能力

中圖分類號：G632" ""文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2025）05-0024-03

收稿日期：2024-11-15

作者簡介：宋慧欽，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

在初中數學學習中，對于不同類型的數學問題，學生常常習慣采用固定的解題模式與方法解決，從而形成解決問題的思維定式.在解決數學問題的過程中，學生一旦存在思維誤區，便會影響其解題的正確率.為此，在初中數學解題教學中，面對復雜的代數問題，教師需發揮引導作用，讓學生另辟蹊徑，引領學生引入一個或多個新元素，取代問題中的“元”，即經過換元，使復雜煩瑣的問題簡單化，從而降低解題難度，提高學生的解題效率.

1" 換元法的作用與解題步驟

換元法也被稱作“輔助元素法”或“變量代換法”，就是借助新變量，代替問題中的某個元素［1］.簡單來講，換元法就是利用新的元素，取代問題中的舊元素，將原有抽象復雜的數學問題變得簡潔明了、規范標準，降低學生的解題難度，使學生快速掌握解決問題的要領.從本質上來看出，利用換元法解題的過程也是問題代換、問題轉換的過程，其中最為關鍵的是選取相應“新元”，且將“新元”引入數學問題中，通過代換處理，從而將復雜難懂的數學問題合理優化，學生的解題思路能夠更加清晰.

通過分析解題過程可以發現，在利用換元法解決數學問題時，需經歷“換元”“求解”“檢驗”三個步驟.從換元法的類型來看，它包括局部換元法、三角換元法、均值換元法等.所謂局部換元法，就是在解決初中數學問題時，可以將問題中出現多次的代數式，用一個新元取代，從而使復雜的問題簡單化，常用于解決不等式問題；三角換元法一般用于解決二次根式問題、三角變換問題，可以將復雜的代數問題轉化成學生能夠理解的三角函數問題，降低學生的解題難度；均值換元法適用于“兩個未知量的和為定值”問題，通過均值換元處理，形成新的變量，從而將兩個未知變量用含新元的代數式表示，降低解題難度，幫助學生順利解決問題.

2" 換元法在初中數學解題中的應用方法

2.1" 利用換元法解決方程問題

在初中數學解題過程中，換元法的應用較為多見，尤其對于難度比較大的方程問題，如若按照所給方程直接解題，其解題過程會非常復雜，甚至超出了學生的解題能力.這會導致學生對此類問題不知所措，不但浪費了學生寶貴的學習時間，還會影響學生的解題思緒，降低其解題效率［2］.在解決復雜的方程問題時，教師可引導學生對問題展開深層分析，使其找到替換的“元”，從而將復雜的方程簡單化，降低解題難度，提高學生的解題能力.

例1" 解方程：（x2+5x+4）（x2+5x+6）=1.

解析" 本題是一道典型的高次方程.在解決本題時，如果按照傳統的解題思路，先按照多項式乘法法則去除括號，將方程化為一般形式，可得到一個關于x的一元四次方程.對初中學生而言，他們還沒有掌握一元四次方程的解法，顯然已經超出學生的學習范疇，所以學生無法利用所學知識解決此類問題.為此，在解題教學中，教師可向學生滲透換元法，讓學生觀察分析此方程的結構，通過引入新元簡化方程.即假設x2+5x+4=y，此時原方程可轉化成y（y+2）=1，通過換元處理，原本復雜的方程組轉化成了關于新元y的一元二次方程，即y2+2y=1.利用配方法易得y2+2y+1=2，即（y+1）2=2，開方可得y=-1±2.將其直接代入原方程，可得x2+5x+4=-1+2或x2+5x+4=-1-2，再解關于x的一元二次方程即可得到原方程的解.

由此可以看出，利用換元法解決復雜的方程問題，可以避免出現高次方程，降低學生的解題難度，從而有效提升學生的解題能力.在初中數學教學中，教師可適當滲透換元思想，引導學生利用換元法解決復雜的方程問題，使學生發現換元法解題的基本規律，激發學生的學習驅動力，提高其解題效率.

2.2" 利用換元法解決方程組問題

在初中數學解題教學中，對于難度較高的方程組問題，學生常常無法采用代入消元法或加減消元法解決問題.為此，教師可引入換元法，引導學生利用換元法將復雜的方程組簡化處理，使其從高次方程組轉變成低次方程組.在解決問題的過程中，某些方程組盡管可用常規方法求解，但其計算過程異常煩瑣復雜，學生容易在計算過程中出現錯誤，導致求解結果與標準答案相差甚遠［3］.為此，在初中數學教學中，在利用換元法解決問題時，教師需給學生強調換元要領，降低問題的求解難度，提高學生的解題效率.

例2" 解方程組：2（x+1）=3（y-1），5（x-1）=3（y+1）-7.

解析" 對于此類問題，如果采用常規的方程組解題方法，其計算過程相對較為復雜，學生容易出現計算失誤，影響學生的學習能動性.基于此，教師可引導學生利用換元法簡化方程.假設2（x+1）=3（y-1）=6k，指導學生對此方程化簡，學生經計算得出x=3k-1，y=2k+1.將此結果代入5（x-1）=3（y+1）-7，由此可得5（3k-2）=3（2k+2）-7，這是關于新元k的一元一次方程，解得k=1.將k=1代入x=3k-1，y=2k+1，容易得出x=2，y=3，即原方程組的解為x=2，y=3.

由此可以看出，利用換元方法解決方程組問題，可以將相對復雜的方程組轉化為簡單的二元一次方程組，從而有效降低學生的解題難度，提高學生的解題效率.值得注意的是，在利用換元法解決方程組問題時，要根據“設元→換元→求新元→回代→求解→驗根”的解題流程進行，才能確保求解結果準確.

2.3" 利用換元法解決因式分解問題

多項式的因式分解是初中數學教學的一大難點，也是中考必考內容之一.在初中數學教學中，對于因式分解問題，教師需要幫助學生弄清因式分解與整式乘法的邏輯關系.為了降低初中學生解決因式分解問題的難度，教師可指導學生利用換元法解決問題，強化其數學思維能力，使其真正達到舉一反三、融會貫通的學習效果.

例3" 分解因式：（x2+3x+2）（x2+7x+12）-120.

解析" 對于此問題的解答，學生如果按照傳統解題思路解決問題，根據乘法公式，原式可化為關于x的四次多項式，其分解難度非常大.為此，教師可指導學生利用換元法解決問題.在分解過程中，學生易發現直接利用換元法也無法解決問題.基于此，教師要引導學生深入分析多項式的結構特征，首先把原式進行簡單變形，即（x2+3x+2）（x2+7x+12）-120=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）-120.然后引導學生將其優化處理，將變形后的代數式簡化為（x2+5x+4）（x2+5x+6）-120.此時學生易發現，可設x2+5x+4=y，從而可將原多項式轉化為y（y+2）-120，即y2+2y-120.這是關于y的二次三項式，易知y2+2y-120=（y+12）（y-10）.由此可知，原多項式可分解為（x+6）（x-1）（x2+5x+16）.

在初中數學教學中，對于此類問題，教師要引導學生找出可以取代的“元”.在解決問題時，教師要指導學生認真審題，分析多項式的結構特征，進行合理變形，使其出現能夠替代的“元”.

例4" 分解因式：（x2+4x+6）（x2+6x+6）+x2.

解析" 易發現所給多項式中相同的部分為x2+6，它仍屬于多項式，從而可考慮把兩個相同的多項式進行換元處理.假設x2+6=t，則x2+4x+6=t+4x，x2+6x+6=t+6x.原多項式可變形為（t+4x）（t+6x）+x2，從而易得（t+4x）（t+6x）+x2=t2+10tx+25x2=（t+5x）2.又因為t=x2+6，所以（t+5x）2=（x2+5x+6）2=（x+2）2（x+3）2.

在解決此問題的過程中，采用了局部換元方法，從而使問題迎刃而解.除此之外，可考慮利用整體換元法解決問題，即設x2+4x+6=t，將原多項式轉化為t（t+2x）+x2，從而易得t（t+2x）+x2=（t+x）2=（x2+5x+6）2=（x+2）2（x+3）2.

2.4" 利用換元法解決運算問題

在初中數學教學中，整式運算的題型較為多見，且問題難度比較高，重點考查學生數學思維的邏輯性.在解決此類問題的過程中，教師需引導學生將結構相同的部分當成一個整體，利用新“元”代替，從而將綜合性較強的問題轉化成常見計算問題，有效降低學生的解題難度，提高學生的解題效率.

例5" 計算：（1-2-3-…-998）（2+3+4+…+999）-（1-2-3-…-999）（2+3+4+…+998）.

解析" 在解決此題時，教師需指導學生分析問題，讓學生找到算式的規律.通過對算式結構分析，學生易想到用字母取代數字，從而復雜的算式變得一目了然.假設2+3+4+…+999=a，2+3+4+…+998=b，則原式可簡化為a（1-b）-b（1-a）.顯然，通過換元，有效降低了問題的計算難度.易知a（1-b）-b（1-a）=a-b=999.

由此可以看出，在解決這類問題時，教師需引導學生深入分析問題，并發現其內在規律，用字母替換算式的相同部分，從而達到簡化問題的目的.在利用換元法解決問題時，教師需提醒學生重視變量的取值范圍，確保新的變量與原題目中的舊變量取值范圍相同，不可盲目擴大或縮小.

例6" 求值：2（ax+by）（by-ax）-（ax+by）2-（ax-by）2，其中x=-1，a=-4.

解析" 在解決問題過程中，教師要指導學生把ax+by和ax-by當成一個整體，運用換元方法，直接代入多項式，然后利用完全平方公式解決問題，從而有效降低學生的解題難度，提高學生的解題效率.假設ax+by=m，ax-by=n，則原式=-2mn-m2-n2=-（m+n）2=-（2ax）2.將x=-1，a=-4代入其中，可得原式=-（2ax）2=-64.

對于此類問題，學生可從兩個方面考慮：一是利用多項式乘法法則展開化簡，然后代入求值即可；二是直接代入，然后化簡求值.對于此題而言，兩種方法都是可行的，但計算量較大，容易出現計算失誤.為此，可考慮利用換元法解決問題.

3" 結束語

在初中數學學習中，學生經常會面對不同類型的數學問題，難以利用固定的解題模式解決所有問題.為提高學生的解題能力，在初中數學教學中，教師可向學生滲透換元法，借助新“元”替代，使繁瑣復雜的數學問題變得簡單明了，從而降低學生的解題難度，提高學生的解題效率.

參考文獻：［1］ 王愛存.初中數學應用題的解題技巧及教學策略［J］.數理天地（初中版），2023（9）：65-67.

［2］ 倫愛新.激發學生興趣，巧用解題技巧：分析初中數學應用題的教學策略［J］.幸福生活指南，2023（35）：43-45.

［3］ 劉文華.高中數學解題中多思維技巧的應用及優化分析［J］.數理化解題研究，2022（27）：26-28.

［責任編輯：李慧嬌］