變式中層進 層進中拓展

[摘" 要] 變式教學作為一種有效的教學手段，其在數學教學中的價值是不言而喻的. 在教學中，教師應從教學實際出發，圍繞教學目標精心挑選題目，有效設計變式題，以此用“變”來加深知識的理解，用“變”揭示問題的本質，用“變”提高學生舉一反三的能力，用“變”提高學生的數學綜合技能.

[關鍵詞] 變式教學;本質;綜合技能

作者簡介：周利榮（1996—），本科學歷，中學二級教師，從事初中數學教學與研究工作.

在新課標的指引下，數學教學方法和教學手段也在不斷改進、創新. 變式教學因其在幫助學生深化知識理解、提高數學綜合技能等方面發揮著積極的作用，得到了廣泛的應用. 筆者以“全等三角形”的復習課為例，例談變式教學的有效性，若有不足，請指正.

課題引入

在數學教學中，若想讓學生理解知識，掌握數學基本技能，不僅需要教師的教授，還需要學生自己去實踐、去感悟、去歸納. 在課題引入階段，教師應從學生最近發展區出發，精心挑選典型練習題，以此喚醒學生已有的知識和經驗，讓學生主動參與課堂實踐教學，在自主探究中全面且深刻地理解知識. 在“全等三角形”復習課教學中，教師結合教學內容和本班實際學情，設計了如下問題.

例1" 如圖1所示，已知AC⊥CF，且AC=CF，過A，F兩點分別作直線XY的垂線，垂足為D，N.

（1）求證：∠A=∠FCN;

（2）求證：AD=CN，DC=FN;

（3）已知AD=DC，求tan∠FCN的值.

師生活動：教師讓學生獨立完成解答，然后組織學生交流，讓學生談談自己的發現，逐步引導學生建構“三垂直模型”.

設計意圖" 在教學中，從基礎問題入手，一方面可以調動大多數學生參與課堂教學活動的積極性，增強學生的學習信心;另一方面可以喚醒學生證明全等三角形的已有知識、經驗和方法. 另外，解題后，教師啟發學生進行歸納總結，以此引導學生發現和建立“三垂直模型”，為接下來的深入探究打下堅實的基礎.

例2 如圖2所示，一次函數y= -x+2的圖象分別與x軸、y軸交于點A，B，在第一象限內作Rt△ABC，使得∠CAB=90°，AB=AC，求過B，C兩點直線的解析式.

師生活動：例2實際為例1的推廣題，教師留足時間讓學生獨立求解，并引導學生思考兩題間的內在聯系.

設計意圖" 將例1中的“三垂直模型”與直角坐標系結合起來，引導學生運用“三垂直模型”解決問題，提煉解決此類問題的通性通法.

例3" 如圖3所示，已知△ABC的邊BC在直線l上，分別以AB，AC為邊朝外作正方形ABGH和ACFE，連接FG，點P為FG的中點，過點P作直線l的垂線，垂足為K. 求證：PK=BC.

師生活動：該題難度較大，教師先讓學生獨立思考，然后啟發學生進行圖形分離，將復雜圖形轉化為基本圖形，發現“三垂直模型”，以此結合前兩題的解題經驗解決問題.

設計意圖" 通過由易入難、由繁入簡的轉化，引導學生感受數學變式中的不變模型，進一步強化對“三垂直模型”的理解.

人的認知過程是一個循序漸進的過程，因此教師在設計變式問題時，應遵循學生的認知規律培養學生的能力，通過由淺入深、由表及里的探究，讓學生逐步認識問題的本質，掌握解決問題的通法，以此提升教學有效性.

課題深入

在數學教學中，利用變式教學可以更好地揭示知識間的內在聯系，幫助學生將新知識納入原有知識體系中，提高學生應用知識解決問題的能力. 在教學中，為了能夠讓學生更好地理解知識、應用知識，教師應充分發揮其啟發者、點撥者的作用，通過創設有效的問題引導學生深入探究.

1. 在變換中發現

問題1：觀察圖4，它是由圖1經過怎樣的變換得到的呢？

追問：圖5、圖6又是由圖1經過怎樣的變換得到的呢？

師生活動：以上問題不難，教師預留觀察時間，然后讓基礎相對薄弱的學生說一說，通過“說”幫助學生積累豐富的“三垂直模型”的感性素材.

設計意圖" 通過不同的變換方式讓學生感知以上垂直關系是依然存在的，使“三垂直模型”得到進一步的推廣. 另外，通過推廣讓學生從不同角度認識“三垂直模型”，從而為后期“三垂直模型”的應用打下堅實的基礎.

2. 在實踐中深化

在教學中，教師通過變式訓練引導學生去提煉、去感悟，幫助學生深刻理解知識.

例4" 如圖7所示，在正方形ABCD中，點E，F分別是AD，AB上的點，連接BE，CF，若BE⊥CF，求證：BE=CF.

例5" 如圖8所示，在正方形ABCD中，點E，M，F，P是AD，AB，BC，CD邊上的點，連接PM，EF，若EF⊥PM，求證：EF=PM.

例6" 如圖9所示，在△ABC中，BE，AD是高，若∠BAC=75°，∠ACB=60°，求證：△BDH≌△ADC.

師生活動：在教學中，由于時間關系，教師沒有讓學生一一證明，而是讓學生根據自身情況自主選擇，然后集中展示學生的證明過程. 證明后，教師啟發學生對以上三個問題的證明方法進行歸納總結，讓學生尋找蘊含其中的知識和方法，逐步形成解決此類問題的通法，從而提升解題技能.

設計意圖" 引導學生在變化的圖形中感受不變的本質，通過“多題一法”加強對通法的理解，培養學生的數學抽象素養，提高學生的解題能力. 在此過程中，教師尊重個體差異，讓學生根據自身情況自由選擇題目，這樣可以大幅提升學生的參與度，讓不同層級的學生都能有所提升.

課題推廣

復習課的變式教學中，教師應著眼于全局，有意識地通過變式將相關的知識點聯系在一起，幫助學生建構完善的知識體系，提高學生的綜合能力.

1. 弱化“線段相等”條件

例7" 如圖10所示，已知△ABC是直角三角形，其中∠ABC=90°，在BC的延長線上取一點D，過點D作DE⊥BD. 若∠ACE=90°，求證：△CAB∽△ECD.

例8" 如圖11所示，在正方形ABCD中，點P是BC邊上一點（異于B，C），連接AP，過點P作PQ⊥AP交邊CD于點Q. 已知BC=4，設BP=x，CQ=y. 求點P在BC邊上運動的過程中，y的最大值.

師生活動：教師先讓學生獨立證明例7，在此基礎上，以小組為單位共同探索例8. 例8是一個動點問題，在面對動點問題時，部分基礎相對薄弱的學生容易產生畏難情緒，影響學習效果. 基于此，教師鼓勵學生合作交流，讓學生相互啟發、相互幫扶，以此消除學生的畏難情緒，增強學生的解題信心.

設計意圖" 本環節將已知條件中的線段相等進行弱化，引導學生由全等自然過渡到相似，讓學生體會知識、方法的相通性，拓寬學生的視野，提高學生的數學應用能力.

2. 弱化“直角”條件

例9" 如圖12所示，已知∠B=∠ACE=∠D，AC=CE，求證：△ABC≌△CDE.

例10" 如圖13所示，已知△ABC和△DEF都是等邊三角形，證明：BD=CE.

設計意圖" 通過弱化“直角”條件，讓學生發現之前的全等條件依然存在，實現對基本模型的進一步拓展.

3. 同時弱化“線段相等”和“直角”兩個條件

例11" 如圖14所示，已知B，C，D三點共線，若∠B=∠ACE=∠D，求證：△CAB∽△ECD.

設計意圖" 同時弱化“線段相等”和“直角”兩個條件，從而將全等弱化為相似.

在本環節中，通過對條件的弱化將課題進一步推廣，讓學生在“變”與“不變”中感受數學的通性通法，體會數學建模的重要性. 同時，通過對數學模型的變化、拓展，可以有效溝通“全等”和“相似”的內在聯系，有效激活學生的數學思維，提高學生的數學能力.

教學思考

1. 精心選題

復習課的變式教學中，教師要準確把握考試范圍和考試要求，認真分析學生的基本學情，緊扣考試重點題型精心挑選題目，確保例題具有典型性、發展性等特點，以此有效地將相關知識、方法等聯系起來，逐步優化學生的知識結構，提高學生綜合應用知識解決問題的能力.

在本課教學中，教師從基本圖形入手，以基礎題為突破口，通過多題一解讓學生體會蘊含其中的數學思想方法，建構相同的數學模型. 在此基礎上，通過變式深入挖掘題目的內涵和外延，通過由易到難、由單一到復雜的逐層探究，讓學生對通性通法獲得了更全面、更深刻的理解，真正達到“解一題通一類”的變式訓練的目的，提高了變式教學的效率和質量.

2. 以生為主

若想讓學生真正地理解和掌握知識，必須讓學生參與其中，引導學生通過觀察、思考、探究等過程理解數學的本質，掌握解決問題的通法. 在實際教學中，教師應以學生的已有知識和已有經驗出發，通過“變”讓學生去嘗試、去反思、去歸納，由此通過親身參與發現“不變”的本質，形成良好的認知結構.

在本課教學中，教師在學生的最近發展區進行拓展延伸，通過獨立思考與合作探究相結合的方式進行模型的建構和通性通法的提煉，幫助學生積累了豐富的活動經驗，提升了學生數學建模、數學抽象等素養.

總之，在變式教學中，教師應貫徹“以生為主體，以師為主導”的教學理念，結合教學實際有效設計變式問題，讓學生感知復雜題是由簡單題變化而來的，從而增強學生的學習信心，提升學生學習的積極性，促進學生數學綜合能力與素養的發展與提升.