巧借深層拓展研究 發展學生綜合能力

[摘" 要] 數學知識是豐富多彩、錯綜復雜的，學生在學習時難免會出現一些一知半解的情況. 基于此，教師要認真地分析學生和教材，掌握學生之所疑、所惑，幫助學生排疑解難，以此提高學習效果和學習品質. 文章基于學生對“SSA”情形的理解不夠深入而開展深度拓展研究，旨在引導學生明晰用“SSA”判定兩個三角形全等的條件，促進學生認知結構的完善和學習能力的提升.

[關鍵詞] 重點教學;深度拓展研究;認知結構

作者簡介：張楊（1999—），本科學歷，中學二級教師，從事初中數學教學工作.

在應試教育的重壓之下，部分教師為追求成績，過分注重“講授”，忽略了給予學生足夠的時間去思考與交流，這在一定程度上限制了學生學習能力的發展與提高. 為了改變這一現狀，教師應當深入鉆研教材，了解學生，并有效利用課堂生成資源，對教學中的重點、難點以及學生的疑惑點進行深入剖析和研究，以逐步優化學生的認知結構，提升他們的學習能力.

通過對“探索三角形全等的條件”的學習，學生已經初步理解并掌握了判定兩個一般三角形全等的方法. 不過，學生對“SSA”的理解尚顯淺顯. 鑒于此，教師有必要對“SSA”進行更為深入細致的研究，以滿足學生的求知需求. 基于這一考量，筆者在教學實踐中精心策劃了一堂拓展研究課，旨在通過引導學生參與實踐、思考、分析及交流等一系列活動，幫助他們獲得對相關知識的深刻理解，并有效促進學生數學思維的發展，同時提升其分析與解決問題的能力. 現將此教學設計呈現給大家，以供參考.

教學目標

（1）借助圖形讓學生直觀感知滿足“SSA”條件的兩個三角形的不同情形;

（2）引導學生從不同角度出發，探索用“SSA”判定兩個三角形全等的條件;

（3）引導學生深刻體驗分類思想與轉化思想在解決實際問題中的作用和價值.

教學設計與分析

環節1：動手操作，引出猜想

數學概念、結論、定理等內容都是在大量的具體實例中總結概括而來的，因此它們具有高度的抽象性和概括性. 為了讓學生更好地理解這些有高度抽象性和概括性的知識，教師不妨鼓勵學生親自動手操作，將抽象的知識具體化、直觀化，從而有效提升學生的課堂參與度和學習積極性. 此外，動手操作不僅能幫助學生積累寶貴的實踐經驗，還能進一步優化他們的認知結構，促進他們全面發展.

問題1" 通過前面內容的學習我們知道，若想用“SAS”來判定兩個三角形全等，其中的角必須是兩等邊的夾角. 若不是，則兩個三角形不一定全等. 對于“不一定”你是如何理解的？在什么情形下，滿足“SSA”條件的兩個三角形是全等的，什么情況下是不全等的？如果這個對應角是直角，那么這兩個三角形是否全等呢？（學生互動交流）

設計意圖" 通過前面的學習，學生已經理解了“HL”判定方法，并知曉它是“SSA”的一個特例. 這樣從特例出發，引導學生對一般情況進行合理猜想，進而引出另外兩種情形——銳角三角形與鈍角三角形. 這一過程旨在培養學生的分類意識.

問題2" 請作△ABC，滿足∠B=40°，AB=4 cm，AC=3 cm. 完成后，請進行組內對比，看看你們作出來的三角形是否全等. （獨立操作+互動交流）

問題3" 請作△ABC，滿足∠B=120°，AB=2 cm，AC=4 cm. 對比一下，看看你們又有什么發現. （獨立操作+互動交流）

設計意圖" 通過具體操作和對比交流讓學生發現，當∠B是銳角時，可以畫出不全等的三角形，而當∠B是鈍角時，所畫的三角形都是全等的. 其實，針對問題2的探討，除了引導學生通過操作與觀察發現不全等的情形，還應指導學生“比一比”“折一折”，讓學生深入理解不全等圖形的反例，從而構建準確的認知框架.

問題4" 思考一下，對于滿足“SSA”條件的兩個三角形，它們會是怎樣的情形呢？（互動交流+總結提煉）

設計意圖" 讓學生結合已有經驗及實驗操作過程，猜想“當∠B和∠B′是直角或者鈍角時，△ABC≌△A′B′C′;當∠B是銳角時，△ABC和△A′B′C′不一定全等”.

這樣從學生的已有經驗出發，讓學生通過操作和交流發現，滿足“SSA”條件的兩個三角形可能是銳角三角形，可能是直角三角形，也可能是鈍角三角形，滲透了分類討論思想. 通過經歷從特殊到一般的轉化過程，促進學生的思維能力的發展.

環節2：深入研究，證明猜想

眾所周知，數學是一門嚴謹的學科，每個結論的推導均需歷經科學而縝密的驗證過程. 在環節1中，學生借助直觀觀察和互動交流提出了自己的猜想. 猜想雖然具有一定的科學性和合理性，但是它也具有一定的主觀性. 因此，教學中教師有必要指導學生去證明，以此讓學生更全面、更系統地理解知識，逐步建立完善的認知結構.

問題5" 如圖1所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′gt;90°，AB=A′B′，AC=A′C′，求證：△ABC≌△A′B′C′.

設計意圖" 在環節1中，通過動手操作及互動交流，學生猜想當∠B為鈍角時，△ABC≌△A′B′C′. 教師提出問題5旨在讓學生驗證猜想，形成結論. 同時，通過問題5的解決，為接下來探究∠Blt;90°的情況做好鋪墊.

問題6" 若將問題5中的“∠B=∠B′gt;90°”改為“∠B=∠B′lt;90°”，且ABlt;AC，則△ABC和△A′B′C′還全等嗎？

問題7" 若將問題6中的“ABlt;AC”改為“ABgt;AC”，其他條件不變，則△ABC和△A′B′C′是否全等呢？

設計意圖" 探索∠Blt;90°的情形是本節課研究的重點，教師引導學生通過變式探究進一步認識滿足“SSA”條件的兩個三角形會出現怎樣的情形，滲透了分類討論思想.

問題8" 結合上述操作過程和證明過程說一說，在△ABC和△A′B′C′中，已知∠B=∠B′，AB=A′B′，AC=A′C′，在什么情況下，△ABC和△A′B′C′全等？在什么情況下，△ABC和△A′B′C′不全等？

設計意圖" 對上述操作過程和證明過程進行梳理，確定滿足“SSA”條件的兩個三角形全等的判定依據，通過有效的歸納總結，促進知識的內化.

對上述問題的探究應“以生為本”，即先讓學生獨立思考，然后引導其討論交流，以此達成增強學生的“四基”，并拓寬學生的認知視野的目標.

對于問題5，如圖2，分別過點A和A′作垂線，交CB和C′B′延長線于點D，D′. 易證△ABD≌△A′B′D′，故AD=A′D′. 又AC=A′C′，根據“HL”定理易得△ACD≌△A′C′D′，故∠C=∠C′. 根據“AAS”可得△ABC≌△A′B′C′. 這樣充分運用已有知識，完成了環節1中的猜想“∠B和∠B′是鈍角時，△ABC≌△A′B′C′”的證明.

問題6和問題7同樣源于環節1中的猜想“當∠B和∠B′為銳角時，△ABC和△A′B′C′不一定全等”. 那么，在什么情況下，△ABC和△A′B′C′是全等的呢？在什么情況下，△ABC和△A′B′C′不全等呢？為了讓學生理解這些問題，教師引導學生從已知條件中的兩組相等邊入手，進行更深入的拓展與分析：當ABlt;AC或ABgt;AC時，△ABC和△A′B′C′是否全等？在分析過程中，教師可引導學生從特殊情況出發，將點C看作以A為圓心，AB為半徑的圓與∠B的一邊的交點，當AB=AC時，點C是唯一的，所以△ABC和△A′B′C′全等（如圖3）. 在此基礎上，將△ABC和△A′B′C′是否全等的問題轉化為圓A與射線BC有幾個公共點的問題. 通過作圖可知，當ABlt;AC時，圓A與射線BC僅有一個公共點，故△ABC≌△A′B′C′（如圖4）. 繼續作圖探究，如圖5，當AC=AB·sinB時，圓A與射線BC僅有一個公共點，故△ABC≌△A′B′C′;當AClt;AB·sinB時，圓A與射線BC沒有公共點，故三角形不存在;當AB·sinBlt;AClt;AB時，圓A與射線BC有兩個公共點，說明有兩個不重合的三角形滿足“SSA”條件，故△ABC和△A′B′C′不一定全等. 由此，在教師的啟發和引導下，學生通過作圖、交流和歸納，最終得到結論：當滿足AC≥AB或AC=AB·sinB時，△ABC和△A′B′C′全等.

環節3：借助練習，促進內化

無論何種課型，練習都是必不可少的，它是優化學生認知結構、提高學生解題能力的重要途徑. 通過上述環節的深入研究，學生對兩個三角形何時全等、何時不全等有了清晰的認識. 此時，教師可以給出一些練習，讓學生在應用中促進知識的內化.

問題9" 如圖6，點P為∠AOB平分線上的一點，點C和點D分別在OA和OB邊上，且滿足PC=PD，圖中是否存在與∠PCA相等的角？若存在，請指出，并證明你的結論.

設計意圖" 本題旨在探討如何將滿足“SSA”條件但不全等的兩個三角形，通過作垂線轉化為滿足“HL”條件而全等的兩個三角形. 這一過程深刻體現了轉化思想.

在學習過程中，學生常會遇到涉及“SSA”條件的問題，唯有通過深入透徹的理解，方能在解題時有效規避“模棱兩可”的困惑與“一錯再錯”的窘境.

教學思考

1. 重視開展深度教學

在新課改的浪潮中，數學課堂教學目標已悄然從“雙基”改為“四基”.這一轉變要求教師不再局限于傳統的講授模式，而是深入挖掘教材資源，開展富有深度的教學活動，旨在引導學生深入探究，理解問題的本質，進而提升學生的學習品質，落實數學核心素養.

在教學中，教師應從學生的實際情況出發，精心設計問題，讓學生在問題的引領下進行深入分析、積極思考與有效解決，以此幫助學生積累豐富的活動經驗，拓展學生的數學思維. 另外，在教學中，教師要鼓勵學生多交流、多討論，從而通過多視角的分析，提高學生的抽象概括能力和語言表達能力，促進學生數學學習能力的提升.

2. 重視培養批判性思維

在教學中，教師應積極創設契機，促使學生獨立思考與主動交流，鼓勵學生以發展的眼光看待問題，通過細致觀察、深入反思、嚴謹推理以及積極交流，深刻理解知識的內涵，從而有效培養學生的批判性思維. 要知道，學習既是一個傳承的過程，更是一個創新的過程，因此，學生不能拘泥于現有的知識框架，而應形成一種質疑精神，以懷疑的眼光看待問題. 這樣的態度能夠激發學生的創新思維，提升他們的創新能力.

例如，本節課教學引導學生深入探究滿足“SSA”條件的兩個三角形的特性，并研究它們在何種情況下是全等的，在何種情況下不是全等的. 這種教學方式摒棄了傳統的機械式講授，鼓勵學生通過親身體驗來揭開其中的奧秘，從而消除心中的疑惑. 因此，在教學中，教師要打破“以師為主”的教學模式，讓學生少一些依賴，多一些思考，多開展批判性評價，以此推動學生已有知識的系統化與完善化，激發學生的創造力.

3. 重視滲透數學思想方法

在教學中，教師不僅要關注知識與技能的傳授，還要重視數學思想方法的滲透. 例如，本節課教學從學生熟悉的“HL”定理入手，引導學生理解該定理是“SSA”的特殊情形，進而激發學生對一般情形的聯想與探索，鼓勵學生深刻體會并實踐特殊與一般、分類討論等數學思想方法. 在操作和驗證完成后，預留時間讓學生自主進行歸納和總結，不僅使學生的學習內容更加條理清晰，同時也有效培養了學生的抽象概括能力和語言表達能力. 因此，在教學中，教師應多提供機會給學生去提煉數學思想方法，以此感悟數學思想方法的精髓.

4. 重視發揮學生的主體性

眾所周知，學生是課堂教學的主體，學生積極參與的課堂才是有價值的. 因此，在教學中，教師要擺脫應試教育的束縛，創造機會讓學生積極參與課堂活動，發揮學生的主體性作用，以此提高教學有效性. 例如，本節課教學基于學生的已有經驗，巧妙構思問題，引導學生通過“親身實踐、互動探討、總結提煉”等過程，在解決問題的實戰中深刻領悟“SSA”的真正含義. 同時，歷經上述過程，幫助學生積累豐富的活動經驗，促進學生數學學習能力的提升.

總之，在教學中，教師要深入地研究教材和學生，敢于打破常規，為學生營造一個和諧自主的學習氛圍，重視激發學生的主體性，讓學生在親身經歷中去操作、去發現、去探索、去歸納，從而提升教師的教學水平和學生的學習品質.