數學實驗:基本活動經驗培養的最佳方式

[摘" 要] 新課標指出，數學教學是數學活動的教學.在教學中，教師要根據教學實際，有目的、有計劃地組織學生進行動手實踐，預留時間讓學生觀察、分析、猜想、驗證，加深學生對數學知識的理解和感悟，積累活動經驗，提升解決問題的能力.

[關鍵詞] 數學活動;數學實驗;基本活動經驗

作者簡介：李美靜（1993—），碩士研究生，中學一級教師，從事初中數學教學工作.

基本活動經驗是構成數學素養的關鍵要素之一，它深刻貫徹了“以生為本”的教學理念，著重凸顯學生在學習過程中的主體參與與親身體驗.數學實驗作為一種創新的教學方式，是學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗的一種重要的學習方式.在教學中，教師應創造機會引導學生主動參與折、剪、拼等動手實踐活動，讓學生獲得知識、技能、方法，培養學生的實踐能力和邏輯思維能力.

教學過程

1. 創設情境，激活經驗

探究1" 在△ABC中，已知AC=3，BC=4，能否唯一確定AB的長？

師生活動：教師讓學生動手畫、動手量，學生根據自身的活動經驗和已掌握的三角形三邊關系知識，推導出AB的長度范圍.

設計意圖" 從學生的已有知識和經驗出發，通過“做”與“思”理解一般三角形中，僅知兩邊長度不能確定第三邊，進而引發由一般到特殊的探究.

探究2" 在探究1的基礎上添加∠C=90°，能否確定AB的長？

師生活動：學生通過畫圖以及互動交流，發現根據以上條件可以確定AB的長，但無法求出其具體的值.當然，對于上述發現，也可以運用三角形全等的條件來驗證.

設計意圖" 從一般到特殊，發現直角三角形中直角邊確定則斜邊唯一，引發學生思考三角形的三邊間是否存在特殊的關系，為勾股定理的引出埋下伏筆.

探究3" 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3，求出AB的長.

師生活動：學生通過互動交流發現，利用等積法可求出AB的長.如圖1所示，過點C作CD⊥AB于D，則CD=AB，利用等積法獲得結論AB2=2BC 2，最終求出AB的長.

追問：是否有其他更簡單的方法呢？

師生活動：教師啟發學生利用網格圖解決問題.

設計意圖" 在探究2的基礎上進一步轉化，通過動手操作實現從感性認知到理性認知的過渡，從而提高學生的知識遷移能力，培養學生的幾何直觀素養和推理能力.

探究5" 如圖2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，則a，b，c三邊之間是否存在某種特殊的關系？

[圖2]

學生活動：根據探究4的結論，學生提出了以下兩個重要猜想.一是把c2=2a2看成c2=a2+a2，則c2=a2+b2;二是把c2=2a2看成c2=2a·a，則c2=2ab.

設計意圖" 引導學生經歷由特殊到一般的探索過程，得到關于一般直角三角形三邊關系的合理猜想.

2. 動手操作，探索新知

接下來，組織學生通過動手操作來驗證猜想，從而培養動手實踐能力，積累數學活動經驗，提升數學素養.

活動1" 在網格圖中畫一個腰長為2的等腰直角三角形（每個小方格的邊長為1），以直角三角形的三邊為邊長向外作正方形，說說你的發現.

師生活動：教師引導學生畫圖，得到如圖3所示的圖形.結合圖形可知，正方形A，B的面積均為4.緊接著，學生利用割補法得到正方形C的面積為8.由此發現兩個小正方形（正方形A，B）的面積之和等于大正方形（正方形C）的面積.

活動2" 在網格圖中畫一個直角邊長分別為3和4的直角三角形，再分別以該直角三角形的三邊為邊長向外作正方形，上述結論是否依然成立？

師生活動：教師繼續引導學生畫圖，得到如圖4所示的圖形.對于大正方形，學生通過“割”“補”，將其轉化為能夠直接利用網格線計算面積的圖形.學生通過計算，證明上述結論依然成立.

設計意圖" 此環節，教師引導學生通過“割”“補”證明S=S+S.

活動3" 在方格紙上任意畫一個格點直角三角形，再分別以直角三角形的三邊為邊長向外作正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，計算各個正方形的面積，說說你的發現.

師生活動：引導學生在方格紙上任意畫格點直角三角形及其對應的正方形，借助割補法計算正方形的面積，發現并驗證c2=a2+b2（c為直角三角形的斜邊長，a，b為直角三角形的直角邊長）.

設計意圖" 創造機會讓學生動手操作，體會結論，感受轉化思想價值，積累活動經驗.

活動4" 你能用數學語言來描述結論c2=a2+b2嗎？

學生活動：學生運用數學語言描述所得的結論，從而引出勾股定理.

設計意圖" 教師讓學生運用數學語言描述結論c 2=a2+b2，旨在培養學生用數學語言表達現實世界的能力.

3. 揭示本質，科學驗證

活動5" 對于結論c2=a2+b2，你能將其轉化為一道數學證明題嗎？如何證明呢？

師生活動：學生提出如下題目，“在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.求證：a2+ b2= c2.”題目提出后，教師沒有讓學生直接驗證，而是介紹“勾股定理”名稱的由來——給出“趙爽弦圖”（如圖5所示），并呈現證明過程：小正方形的面積既可以表示為（a-b）2，也可以表示為c2-4·ab，所以（a-b）2=c2-4·ab，即a2+ b2= c2. 在此基礎上，教師繼續追問：這四個直角三角形還可以怎么拼接？通過交流，學生得到了如圖6所示的圖形. 接下來，教師引導學生結合圖6證明a2 + b2 = c2：大正方形的面積既可以表示為（a+b）2，也可以表示為4·ab+c2，所以（a+b）2=4·ab+c2，即a2+b2=c2.

設計意圖" 此環節，教師引導學生運用數形結合法驗證猜想，從而培養學生的邏輯推理能力，發展學生的數學素養.同時，教師重視數學文化的滲透，引導學生了解數學知識的起源與發展，理解其在人類歷史中的作用，樹立正確的學習觀，提升數學素養.

教學思考

將數學實驗融入數學教學中，促進教、學、評方式的變革，有效地改進學生的學習狀態，調動學生參與課堂的積極性，全面提升教學質量和學習品質.

在本節課中，教師將數學實驗融入課堂教學，為學生搭建了一個自主探究的學習環境，使學生親歷勾股定理發生、發展的過程.這一過程不僅豐富了學生的知識結構，還讓他們在實踐中掌握了數形結合、由一般到特殊的思想方法，為日后在高中階段深入探索斜三角形三邊關系奠定了堅實的基礎與經驗.

總之，在數學教學中，教師應基于學生已有的知識和經驗，設計數學實驗活動，引導學生動手實踐，通過數學思考和探究，積累數學經驗，從而提升學生的思維能力、實踐和創新能力，落實數學學科核心素養.