中考數(shù)學(xué)“代數(shù)推理類”試題的分析與思考

[摘" 要] 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“數(shù)與代數(shù)”學(xué)習(xí)領(lǐng)域增加了代數(shù)推理的明確要求. 研究者依據(jù)新課標(biāo)對(duì)重慶市近5年中考數(shù)學(xué)A卷從內(nèi)容維度、過程維度、水平維度進(jìn)行分析，從中得到教學(xué)質(zhì)量提升的啟示：代數(shù)推理應(yīng)該注重代數(shù)推理形式、注重論證過程、注重證實(shí)說理，為一線教育教學(xué)提供參考.

[關(guān)鍵詞] 代數(shù)推理;中考數(shù)學(xué);代數(shù)推理能力

作者簡(jiǎn)介：王玉琴（1999—），重慶師范大學(xué)在讀碩士研究生，從事數(shù)學(xué)教育研究.

通信作者：童莉（1976—），博士，教授，碩士生導(dǎo)師，從事數(shù)學(xué)教育測(cè)評(píng)、數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展研究.

前言

推理能力是高素質(zhì)人才的基本要求，培養(yǎng)推理能力是新一輪課程改革的重要內(nèi)容. 在國(guó)際數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，推理能力被認(rèn)為是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)評(píng)價(jià)的核心指標(biāo)之一. 國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目（Program for International Student Assessment，PISA）2022中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)框架的核心是“數(shù)學(xué)推理”，將其融入問題解決過程. 在真實(shí)情境中，數(shù)學(xué)表述、應(yīng)用、詮釋都圍繞數(shù)學(xué)推理來展開[1]. 新加坡教育部將推理作為數(shù)學(xué)問題解決的一個(gè)重要過程[2]. 澳大利亞 F-10數(shù)學(xué)課程關(guān)鍵思想將推理作為關(guān)鍵詞[3];美國(guó)國(guó)家教育進(jìn)展評(píng)估（National Assessment of Educational Progress，NAEP）旨在從內(nèi)容領(lǐng)域和數(shù)學(xué)復(fù)雜性這兩大維度（測(cè)評(píng)要素）評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)復(fù)雜性高水平要求學(xué)生在問題解決過程中能夠進(jìn)行完整推理證明[4];《英國(guó)國(guó)家課程（數(shù)學(xué)）》中為不同年齡階段的學(xué)生設(shè)立有關(guān)推理的教學(xué)目標(biāo)[5]. 在中國(guó)，數(shù)學(xué)教育綱要文件中都強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)推理在教學(xué)中的重要性. 尤其是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下稱“新課標(biāo)”）中將推理能力作為數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)之一[6]，推理按照領(lǐng)域可分為幾何推理、代數(shù)推理和統(tǒng)計(jì)推理，新課標(biāo)在一貫重視幾何推理的基礎(chǔ)上，特別強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理，并開發(fā)了培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力的課程內(nèi)容實(shí)例.

中考是初中學(xué)業(yè)水平考試的簡(jiǎn)稱，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)往往認(rèn)為中考主要考查的是幾何推理和代數(shù)計(jì)算，因而重視學(xué)生幾何推理能力的培養(yǎng)，忽視學(xué)生代數(shù)推理能力的培養(yǎng). 根據(jù)教育部意見[7]，中考從2019年起取消考試大綱，省級(jí)統(tǒng)一命題將嚴(yán)格依據(jù)《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》，代數(shù)推理能力必將成為考查的重點(diǎn)，而中考具有強(qiáng)烈的導(dǎo)向作用，從中考試題中分析代數(shù)推理能力的考查情況，能夠洞悉未來代數(shù)推理的趨勢(shì)和發(fā)展動(dòng)向，探求學(xué)生思維發(fā)展的趨勢(shì)，為一線數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考，因此，本文以近五年重慶市中考數(shù)學(xué)試題為分析對(duì)象，探討代數(shù)推理能力的考核要求，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力做出思考.

中考數(shù)學(xué)代數(shù)推理試題的分析

框架

對(duì)中考數(shù)學(xué)試題的分析往往是分維度進(jìn)行的，如唐亞軍等人從幾何知識(shí)、幾何技能和幾何思維水平三個(gè)方面分析了中考中的幾何試題[8];陳妙瑩從“3 大知識(shí)領(lǐng)域+5 大類型+推理形式”構(gòu)成分析維度，比較 了2011-2021 年廣東廣西兩省區(qū)中考數(shù)學(xué)中的合情推理型試題[9]. 因此，本文對(duì)中考數(shù)學(xué)代數(shù)推理試題的分析擬從內(nèi)容、過程、類型三個(gè)維度來進(jìn)行.

1. 內(nèi)容維度

新課標(biāo)中對(duì)推理能力的定義是：“推理能力主要是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力. ”代數(shù)推理就是運(yùn)用數(shù)與式及其運(yùn)算進(jìn)行推理，得出結(jié)論和做出判斷的過程[10]. 代數(shù)推理是以代數(shù)知識(shí)為背景的思維形式，是區(qū)別于幾何推理與統(tǒng)計(jì)推理的思維類型，是主要圍繞抽象算術(shù)、函數(shù)思維、數(shù)量關(guān)系三大代數(shù)內(nèi)容的思維形式[11]. 本文將初中數(shù)學(xué)內(nèi)容按數(shù)與代數(shù)進(jìn)行劃分，包括數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù). 參照人教版初中數(shù)學(xué)教材的制作，制定了對(duì)應(yīng)的內(nèi)容量化表（見表1）.

2. 過程維度

J.J.KAput[12]提出了代數(shù)推理的兩個(gè)核心：一是對(duì)規(guī)則和約束的系統(tǒng)化概括，二是基于語法進(jìn)行的推理和對(duì)常規(guī)符號(hào)系統(tǒng)表達(dá)的概括活動(dòng). 通過對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)、函數(shù)、關(guān)系和協(xié)同變化的研究和運(yùn)用，概括、表征、計(jì)算和論證代數(shù)知識(shí)和問題解決策略之間的聯(lián)系的思維過程. 因此，從過程角度分析，代數(shù)推理過程包括觀察、推測(cè)、表征、一般化、證明、驗(yàn)證等要素，推理形式包括溯因推理、歸納推理、演繹推理等. 本文將代數(shù)推理思維分為四個(gè)過程：

概括：鮑建生曾指出代數(shù)的本質(zhì)是發(fā)現(xiàn)處理問題的一般模式. 在本研究中沿用BlAnton對(duì)一般化給出的定義：在觀察、分析后給出的情景中找出數(shù)量關(guān)系或歸納概括出數(shù)學(xué)規(guī)律，并抽象成可推廣的一般形式.

表征：用數(shù)學(xué)方式準(zhǔn)確地將“一般化”后得到的數(shù)學(xué)規(guī)律表示出來也是代數(shù)推理中十分重要的一部分. 表征包括：生成表征和轉(zhuǎn)化表征. 生成表征是生成一個(gè)新的表征或?qū)⑿碌谋碚魈砑拥浆F(xiàn)有的表征方式中. 轉(zhuǎn)化表征是指用某種表征方式解釋另一種表征方式中的數(shù)量關(guān)系.

計(jì)算：學(xué)生能夠準(zhǔn)確、有效地按算術(shù)程序和代數(shù)法則進(jìn)行計(jì)算和檢驗(yàn). 算術(shù)程序是使用四則運(yùn)算法則進(jìn)行重復(fù)的計(jì)算，而代數(shù)程序包括但不限于：①?gòu)木唧w的數(shù)值中抽象出變量表達(dá)式并求值;②求解線性方程和不等式;③通過線性組合或代換求解線性方程組或不等式;④迭代求解遞歸函數(shù);⑤用多項(xiàng)式和有理式執(zhí)行重復(fù)的算術(shù)等. 這里要區(qū)分代數(shù)推理與代數(shù)運(yùn)算，代數(shù)推理是指通過代數(shù)式的推導(dǎo)、變形和運(yùn)算來解決數(shù)學(xué)問題的方法. 它基于代數(shù)的基本運(yùn)算規(guī)律和邏輯推理，通過數(shù)學(xué)符號(hào)和代數(shù)表達(dá)式的變換來得到問題的解答，是基于法則，運(yùn)用條件，指向問題解決的綜合思維活動(dòng).

論證：學(xué)生能為推理的結(jié)果做出有說服力的解釋，證明結(jié)論的正確性. 能以適當(dāng)?shù)姆椒▉碜C明自己通過歸納、概括得到的數(shù)學(xué)結(jié)論是合理的，是可以推廣到一般的情形中的. 論證可以是文字說明，也可以借助圖形或表格加以解釋. 在測(cè)試卷中通常以代數(shù)證明的形式出現(xiàn).

以新課標(biāo)中例66的第（2）問（如圖1）為例，對(duì)解題過程進(jìn)行舉例分析. 具體表現(xiàn)過程見表2.

3. 類型維度

推理主要分為類比推理、歸納推理、演繹推理[13]. 何勇將代數(shù)推理題分為：代數(shù)運(yùn)算型、結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化型、代數(shù)說理型三種[14]. 葉旭山將代數(shù)推理分為三個(gè)類型[15]：證實(shí)類推理、推測(cè)（演）類推理、應(yīng)用類推理，其中推測(cè)（演）類推理又分為運(yùn)算推理、歸納推理、類比推理;應(yīng)用類推理分為封閉模型推理和開放模型推理. 謝春艷將代數(shù)推理分為分析性推理、創(chuàng)造性推理和實(shí)踐性推理[16].

綜合已有研究中對(duì)代數(shù)推理試題的分類，本文對(duì)代數(shù)推理題進(jìn)行了如下分類（見表3）.

重構(gòu)推理型：圖2是2022年重慶市中考數(shù)學(xué)A卷第11題，本題利用一元一次不等式組以及分式方程，在解與解集以及特定條件的限制下，要求推理出所有滿足條件的a的值之和，題目主要對(duì)不等式以及分式方程的結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到滿足所有限制條件的特定的數(shù)，本題屬于“重構(gòu)推理型”.

證實(shí)說理型：圖3是2023年重慶市中考數(shù)學(xué)A卷第10題，本題通過邏輯推理的方法，證明三個(gè)相關(guān)結(jié)論的正確性，本題屬于“證實(shí)說理型”.

代數(shù)建模型：圖4是2024年重慶市中考數(shù)學(xué)A卷第22題，本題以生產(chǎn)生活為情境，要求學(xué)生建立相應(yīng)的一元一次方程和分式方程的模型，并在此基礎(chǔ)上推理得到需要的結(jié)果，本題屬于“代數(shù)建模型”.

綜合以上分析，本文將從以下三個(gè)維度對(duì)重慶市中考數(shù)學(xué)試題中的代數(shù)推理類題目進(jìn)行分析：①過程：概括、表征、計(jì)算和論證;②內(nèi)容：數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù);③類型：重構(gòu)推理型、證實(shí)說理型、代數(shù)建模型，形成了如圖5所示的中考數(shù)學(xué)代數(shù)推理試題分析框架.

中考數(shù)學(xué)代數(shù)推理試題分析

結(jié)果

1. 選取試題

本文以重慶市近五年中考數(shù)學(xué)A卷為研究樣本，對(duì)重慶市中考數(shù)學(xué)中代數(shù)推理的考查情況進(jìn)行調(diào)查. 研究旨在了解重慶市中考數(shù)學(xué)對(duì)代數(shù)及代數(shù)推理的考查現(xiàn)狀，并為提高初中生的代數(shù)推理能力提供建議.

2. 內(nèi)容維度分析

參照內(nèi)容量化表，對(duì)重慶市2020年到2024年中考數(shù)學(xué)A卷的代數(shù)內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)計(jì)）. （見表4）

根據(jù)本文對(duì)重慶市近五年中考數(shù)學(xué)試題中的代數(shù)推理題的分析，不難發(fā)現(xiàn)中考數(shù)學(xué)試題中代數(shù)推理題的對(duì)應(yīng)分值在試卷總分中的占比為20%～30%，平均占25.87%. 在考查年份中，2022年的代數(shù)部分考查占比最高，達(dá)到30.67%;而2024年代數(shù)部分考查占比最低，僅有21.33%，其代數(shù)推理更多地隱含在整個(gè)試卷的其他部分進(jìn)行考查. 在代數(shù)的三大板塊的考查中，數(shù)與式占31.96%，方程與不等式占42.27%，函數(shù)占25.77%. 可以看出，代數(shù)推理考查中方程與不等式考查較多，函數(shù)部分考查較少.

3. 過程維度分析

解決代數(shù)推理問題主要分為概括、表征、計(jì)算、論證四個(gè)過程，對(duì)2020年至2024年中考試題代數(shù)推理部分進(jìn)行分析（見表5），得到平均占比為：概括占83.07%，表征占93.54%，計(jì)算占100.00%，論證占62.21%.

非常值得注意的一個(gè)數(shù)據(jù)是，計(jì)算過程占到代數(shù)推理題的100%，也就是每道代數(shù)推理題中都含有計(jì)算過程. 計(jì)算過程是指解決數(shù)學(xué)問題時(shí)需要進(jìn)行計(jì)算的過程，當(dāng)然這里的計(jì)算包括代數(shù)計(jì)算以及數(shù)值計(jì)算.

表征過程是指將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式、圖表、函數(shù)圖象等形式的過程，這一過程的占比也非常高，其平均占比為93.54%，甚至在2020年和2021年考查的每一道代數(shù)推理題都涉及表征過程，可見代數(shù)推理題涉及表征的生成或者轉(zhuǎn)化.

論證過程是指解決問題時(shí)進(jìn)行推理邏輯的完善，而在四個(gè)過程中，論證過程占比很低，平均只有62.21%，甚至在2020年其占比只有57.14%. 在當(dāng)前中考數(shù)學(xué)中，代數(shù)證明并不是主要的考查方向，但論證過程對(duì)于代數(shù)推理的重要性不可忽視，因此，后續(xù)可能需要加強(qiáng)這方面的考查.

綜上所述，代數(shù)問題的解決過程包括概括、表征、計(jì)算、論證四個(gè)部分，每個(gè)部分都是不可或缺的. 學(xué)生在備考過程中，需要熟練掌握每個(gè)過程的技巧，全面提升代數(shù)推理能力.

4. 類型維度分析

對(duì)2020年至2024年的代數(shù)推理試題進(jìn)行分析（見表6），可以得出占比最多的是重構(gòu)推理型，其平均占比為41.59%. 這種類型的題目要求考生根據(jù)已有的條件和規(guī)律，在一定的限制下，通過轉(zhuǎn)換和重構(gòu)式子的結(jié)構(gòu)和形式，得出所需的結(jié)論. 這就要求考生具備較強(qiáng)的邏輯思維能力和操作能力，能夠靈活運(yùn)用已有的知識(shí)和技能進(jìn)行推理和變形.

證實(shí)說理型試題相對(duì)于其他類型的代數(shù)推理試題而言，平均占比最少，僅有21.24%. 證實(shí)說理型是一種要求考生使用邏輯推理和論證方法，根據(jù)已知的結(jié)論和相關(guān)證據(jù)進(jìn)行分析和說明，以證明該結(jié)論的正確性或得出特定結(jié)論的試題類型. 這種類型的試題在類比幾何推理中可以類比證明推理題，因?yàn)樗鼈兌家罂忌ㄟ^邏輯思考、嚴(yán)謹(jǐn)推理來得出結(jié)論，提高了考生的學(xué)術(shù)思維和證明能力. 然而，在現(xiàn)有的中考推理中，證實(shí)說理型的試題比重較小，相比之下，重構(gòu)推理型的試題占比更多. 這一現(xiàn)象導(dǎo)致代數(shù)推理試題中證明型推理的形式較為弱化，也使得考生對(duì)于代數(shù)推理的邏輯性和重要性的認(rèn)識(shí)不夠充分.

代數(shù)建模型試題的平均占比為37.16%，這種類型的試題要求考生通過分析實(shí)際情境，從中識(shí)別相關(guān)數(shù)量之間的關(guān)系和重要特征，并利用符號(hào)和變量建立數(shù)學(xué)模型，將現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題. 在此基礎(chǔ)上，考生需要應(yīng)用推理、運(yùn)算等數(shù)學(xué)方法，對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析和求解.

5. 交叉分析

從代數(shù)推理試題的類型分布分析中可以發(fā)現(xiàn)，重構(gòu)推理型試題對(duì)于數(shù)和式子的考查占比最高，達(dá)到了21.13%（見表7）. 以2024年A卷第18題為例，考生需要巧妙利用題目中的已知條件，運(yùn)用等式的性質(zhì)以及數(shù)的不同表達(dá)形式之間的相互轉(zhuǎn)換，最終獲得在所有限制條件下的正確結(jié)果. 重構(gòu)推理型試題的考查范圍廣泛，要求考生具備深厚的數(shù)學(xué)功底和較強(qiáng)的邏輯推理能力. 這一類型的試題旨在培養(yǎng)考生的問題解決能力和數(shù)學(xué)思維能力，要求考生能夠利用已有的知識(shí)和技巧，在一定的限制條件下，對(duì)問題進(jìn)行重構(gòu)和轉(zhuǎn)換，進(jìn)而得出正確的結(jié)論.

此外，代數(shù)建模型試題對(duì)于方程與不等式的考查占比達(dá)到了31.96%. 考生需要運(yùn)用代數(shù)的知識(shí)和技巧，對(duì)建立的方程和不等式進(jìn)行分析和求解，最終解決問題. 這種題型對(duì)于考生發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決實(shí)際問題的能力有著很高的要求.

通過對(duì)代數(shù)推理題各類型中的過程進(jìn)行分析（見表8），不難發(fā)現(xiàn)重構(gòu)推理型試題中的概括過程較少，即很多題目直接給出了條件，而沒有需要考生概括的過程. 例如2024年A卷第16題，本題直接利用題目條件，根據(jù)等式和不等式的性質(zhì)即可求解.

在代數(shù)建模型試題中，與證明過程相關(guān)的內(nèi)容相對(duì)較少. 這是因?yàn)榇鷶?shù)建模型試題的主要目的是讓考生理解如何運(yùn)用代數(shù)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，以解決實(shí)際問題，而不是強(qiáng)調(diào)證明過程的正確性.

代數(shù)推理教學(xué)的思考

對(duì)近五年來重慶中考數(shù)學(xué)A卷的代數(shù)推理試題進(jìn)行分析，不難發(fā)現(xiàn)，代數(shù)推理在中考中受到了較高程度的重視. 這部分試題涵蓋了數(shù)與代數(shù)、方程與不等式及函數(shù)，尤以數(shù)與代數(shù)內(nèi)容為主. 類型包括重構(gòu)推理型、證實(shí)說理型和代數(shù)建模型，試題傾向于考查重構(gòu)推理型. 要求學(xué)生在實(shí)踐中能夠靈活運(yùn)用代數(shù)知識(shí)進(jìn)行概括、表征、計(jì)算與論證，特別重視論證過程，具有一定深度和難度. 教師們需要更加注重代數(shù)推理的訓(xùn)練和應(yīng)用，積極采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法. 關(guān)于代數(shù)推理，筆者提出以下幾點(diǎn)思考.

1. 注重代數(shù)推理形式

代數(shù)推理教學(xué)存在以下三方面問題：一是“隱形”，代數(shù)教學(xué)集中在知識(shí)、技能方面，注重定義、法則、公式運(yùn)用的訓(xùn)練，忽視或者沒有意識(shí)到知識(shí)形成與應(yīng)用過程中的推理. 二是“無形”，沒有重視“因?yàn)椋ā撸焙汀八裕ā啵焙?jiǎn)式三段論推理程式的訓(xùn)練. 三是“孤立”，沒有重視代數(shù)推理與幾何推理以及代數(shù)計(jì)算之間的相輔相成關(guān)系[17]. 幾何推理試題通常會(huì)使用固定的推理符號(hào)，強(qiáng)調(diào)證明過程中的邏輯推理和連貫性. 代數(shù)推理也可以采用這樣的推理形式，增強(qiáng)學(xué)生代數(shù)推理的邏輯性.

2. 注重推理過程

代數(shù)推理中，概括、表征、計(jì)算與論證是相互依存、協(xié)同作用的重要環(huán)節(jié). 為此教師要培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，讓他們能夠?qū)⒅R(shí)融合成有機(jī)整體，從多個(gè)角度來理解和應(yīng)用知識(shí);要注重計(jì)算的準(zhǔn)確性，扎實(shí)學(xué)生的代數(shù)計(jì)算和公式運(yùn)用能力;要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎剂?xí)慣，通過數(shù)學(xué)推理和論證，確保結(jié)論的嚴(yán)謹(jǐn)性和正確性. 這樣的教學(xué)模式能夠有效提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，讓他們更好地掌握代數(shù)推理的核心思想和方法.

3. 開發(fā)多種題目類型與內(nèi)容的有機(jī)融合

在中考中，代數(shù)推理的考查類型與內(nèi)容的融合度較高. 因此，開發(fā)多種題目類型與內(nèi)容的有機(jī)融合，將是十分有前途和有發(fā)展?jié)摿Φ姆较? 這些題目能夠?qū)⒉煌愋秃蛢?nèi)容的代數(shù)知識(shí)有機(jī)融合在一起，使學(xué)生在解題的過程中不僅能夠增加學(xué)習(xí)的樂趣和思考的創(chuàng)意，還能綜合評(píng)價(jià)學(xué)生的代數(shù)能力. 因此，在教學(xué)中，教師可以多樣化地引導(dǎo)學(xué)生掌握不同的代數(shù)知識(shí)，注重知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識(shí)有機(jī)融合，并在實(shí)際應(yīng)用任務(wù)中能綜合運(yùn)用，更好地發(fā)揮代數(shù)推理的作用. 這樣的教學(xué)方法能夠幫助學(xué)生更好地應(yīng)對(duì)中考中的代數(shù)推理題.

參考文獻(xiàn)：

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