小初數學銜接實踐作業設計與反饋

為幫助學生適應初中數學教學，筆者基于學生的思維發展特點，在開學初布置了一項銜接小學與初中數學知識的實踐作業：畫出你家到學校的路線圖（明確具體怎么走），用相關工具測量出路線的長度、耗費的時間，并計算出你的速度。從學生上交的作業可以發現，他們上學的方式有走路、騎車、乘車，他們能合理利用工具測量數據，利用數量關系解決問題，并通過繪畫方式展現成果。筆者如何反饋作業，促進學生銜接小學與初中數學知識呢？

一、結合實操引出數軸，體會正負數的實際意義

課堂上，筆者選擇3份作品組織學生交流，由此引入數軸、負數、相反意義的量等概念。

具體來說，筆者呈現小明、小紅、小王繪制的路線圖，讓學生觀察他們的家與學校的位置關系。學生發現，他們的家都和學校大門在同一條直線上，并且分別在大門左側350米、100米處及大門右側100米處。然后，筆者拿出一根長繩代表學校所在的這條街道，用長繩的中點表示學校大門（即數軸原點），并引導這3名學生依次按照自己家的位置在長繩上選擇相應的站位。小紅先按照大致距離站在長繩中點左邊，然后小明站在小紅的左邊。他們站定后，學生發現小明站的位置不夠準確，提出質疑：小明家到學校的距離是小紅家到學校距離的3.5倍，他們與中點的距離比例不對。怎樣站合理呢？學生提出用尺子測量小紅到繩子中點的距離，這個距離乘3.5后得到的數據就是小明到繩子中點的距離。筆者鼓勵學生動手操作，幫助小明站對位置。接下來，小王毫不猶豫地站在長繩中點的右邊。其他學生觀察后，示意小王往右移動一段距離。顯然，學生發現小紅和小王站的位置應在大門兩側且與大門等距。筆者順勢引入數軸的概念——規定了原點、正方向、單位長度的直線。后續，學生在筆者點撥下認識了負數，理解了相反意義的量，知道了從校門（原點）出發向右走100米的位置記作“+100”米，從校門出發向左走100米的位置記作“-100”米，這兩個數互為相反數。

二、結合數軸探析絕對值相關問題

借助數軸，學生能清晰地看到點與原點之間的距離。由此，筆者引入絕對值的概念“數軸上表示數[a]的點到原點的距離叫作數[a]的絕對值”，并引導學生學會表示數軸上[a]點到b點的距離，進而解決相關最值問題。

學生明確絕對值的概念及表示方法后，筆者用課件呈現數軸上小明和小王的位置，并提出小紅不知道她家確切位置的假設，引導學生探析如何設置小紅家的位置，才能使她到小明和小王所在位置的路程之和最短。筆者先引導學生舉例試算，如小紅家的位置分別在表示-400，-150，200的點上時，分別計算路程之和，讓學生熟悉兩個點之間的距離等于這兩個點表示的數的差的絕對值。學生從數軸上直觀地看到了點與點之間距離的表示方法，即點A表示的數為[a]、點B表示的數為b時，點A到點B的距離為[a-b]。接著，筆者引導學生思考小紅的位置可以在哪些區域。學生發現表示小明、小王位置的兩個點把數軸分成了三個部分，因此小紅家的位置有三個區域可以選擇，分別是-350的左邊、-350到100之間、100的右邊。在此基礎上，筆者引導學生通過比較線段的長短，發現小紅家的位置在-350到100之間（小王和小明之間）時路程之和最短。筆者引導：如果小紅所在位置對應的數為[x]，如何表示距離之和呢？學生借助已有知識寫出了表示距離之和的代數式“[x+350+x-100]”。其中，[x+350]表示數[x]對應的點到-350對應的點之間的距離，[x-100]表示數[x]對應的點到100對應的點之間的距離。筆者引導學生分別判斷絕對值里數的正負性，進而去掉絕對值。通過討論，學生梳理出如下分類情況：①[x]＜-350，②-350≤[x]≤100，③[x]＞100。在①和③的情況下，筆者引導學生利用[x+350+x-100]的取值范圍得出[x]大于450；在②的情況下，學生發現[x]抵消后得到的值為450。學生發現這個結果與根據數軸上線段長短所做的判斷結果一致。于是，學生歸納：要使距離之和最小，只用考慮小紅在小王和小明所在位置之間的情況，此時最短距離是兩個點對應數之差的絕對值[-350-100]，也可以用較大的數減去較小的數，即根據“[100-（-350）]”得出最小值450。

三、結合數量關系式體會字母表示數的一般性

為助力學生學習七年級上冊第三章《代數式》，鞏固《用字母表示數》相關知識，筆者在課前整理學生的路線圖作品作為課堂探討素材，幫助他們深入理解用字母表示數具有一般性。

課堂上，筆者呈現兩幅學生的路線圖作品，引導學生講一講其中的數據是怎么來的，相應的字母[s]，[v]，[t]分別表示什么意義。學生1回答：我從家到學校共走了500步，我一步的距離是60厘米（0.6米），因此我家到學校的距離是300米，我從家到學校用了5分鐘，用“300÷5”計算出我的速度是60米/分；這里的[s]對應300米，[t]對應5分鐘，[v]對應60米/分。學生2的回答與此類似，只不過他是通過手機軟件測得從家到學校的路程。由此，學生發現：雖然每名同學所寫的數據不同，但是它們都能用[s]，[v]，[t]表示，滿足“路程=時間×速度”的數量關系。筆者點撥：字母可以像數一樣參與運算，不同的數據只要滿足“路程=時間×速度”的數量關系，就可以用“[s=vt]”的字母關系式表示。筆者讓學生回顧以前所學的知識，舉出用字母表示數或數量關系的例子。學生列舉出“長方形面積=長×寬”可以用“[S=ab]”表示等例子，進而發現數據有特殊性，每組數據只能對應一種情況，而用字母表示數或數量關系具有一般性。最后，筆者設計趣味游戲：①在紙上寫一個數字；②將這個數字加11后乘2；③用得數減去20后乘5；④用上一步的得數減去開始寫的數字的10倍，得出最終結果。學生自主選用數字計算，發現即便大家所選的數字不同，最終答案也一致。這引發了學生的質疑，筆者提醒學生結合課堂所學想一想，學生意識到可以把數字換成字母試一試。他們按步驟寫出綜合算式后，發現字母在計算過程中被消除了，字母不影響最終答案，也就是最初選用的數字對計算結果沒有影響。

四、結合平面直角坐標系表示位置

部分學生的家不在學校大門所在的這條街道上，如何利用數學方法簡明地表示他們家的位置呢？筆者結合七年級下冊平面直角坐標系的內容做如下引導。

課堂上，筆者先出示學生3的路線圖（他的家在出校門后右轉走200米，再右轉走500米的地方），引導學生思考：之前我們用數軸上的點表示位置，規定以學校大門為原點，以大門南邊為正方向，則大門北邊為負方向，出校門后右轉（往南）走200米就對應數軸上表示200的點，那么，東邊和西邊該怎么表示呢？學生回答：我們之前學習過位置和方向的知識，要表示一個點（位置），我們可以畫出東南西北四個方向的坐標圖，目前已知南北方向，我們可以垂直于南北方向再畫一條數軸表示東西方向。筆者順勢引導學生建立平面直角坐標系，規定大門以南和大門以東為正方向，并用課件演示。經過討論，學生得到學生3的家可以用點（200，-500）表示。筆者提問：學生4的家在出校門后向北走150米處，這個位置怎么表示？學生觀察直角坐標系后答出“（-150，0）”。隨后，筆者組織學生兩人一組，分別用有序數對表示學校附近的幼兒園、書店、公交站等的位置。合作學習后，學生發現可以用有序數對表示平面上所有區域的點，并提出新的問題：學生3的家在10樓，能用有序數對表示這個具體位置嗎？學生創造性地提出可以垂直于地面再畫一條數軸，規定向上為正方向，單位長度為“1層樓”，這樣他家就可以用（200，-500，10）表示。筆者提醒學生注意每條數軸上單位長度的統一。

（作者單位：湖北省水果湖第一中學）

文字編輯" 劉佳