加強數學建模,增強應用意識

摘要：一次函數是初中數學函數中的一個重要知識點，在最近幾年各地的中考中，考查的分值越來越高，考查的主要內容是有關一次函數的定義與圖象、解析式和方程，以及一次函數的最值在實際中的綜合應用.本文中以2024年青島的中考和2024年江蘇的初三檢測題為例，通過對這兩個題目的深度剖析、深入探究，探討有關一次函數在中考、統考中的題型特點，讓學生熟知熱點題型，明確問題的求解策略以及數形結合思想在該類問題中的應用，不斷培養學生的數學建模及數學抽象思維，提升學生的數學核心素養.

關鍵詞：一次函數；實際應用；最值

一次函數在實際生活中的應用問題，已經成為各地最近幾年初三統考和中考的熱點題型，尤其是有關一次函數兩類最值題型，即利用一次函數的性質解決的最值問題與幾何圖形中的最值問題.下面就利用具體題型來分析該類問題的特征和命題方向，通過兩個具體題目的剖析，培養學生利用一次函數解決實際問題的能力，加深對該類問題的解題思路和方向的規律探索，引導學生找到合理的求解策略，掌握用一次函數性質和圖象來解決實際問題中的有關最值問題，不斷提高學生利用所學知識分析問題和解決實際問題的能力.

例1 （2024年山東青島初三數學中考）為培養學生的創新意識，提高學生的動手能力，某校計劃購買一批航空、航海模型.已知商場某品牌航空模型的單價比航海模型的單價多35元，用2 000元購買航空模型的數量是用1 800元購買航海模型數量的45.

（1）求航空模型和航海模型的單價；

（2）學校采購時恰逢該商場“六一兒童節”促銷：航空模型八折優惠.若購買航空模型、航海模型共120個，且航空模型數量不少于航海模型數量的12，請問分別購買多少個航空和航海模型，學校花費最少？

思路分析：對于第（1）問，首先要根據已知設航空模型的單價，由此得到航海模型的單價，根據購買航空模型的數量與購買航海模型數量之間的關系，列出方程求解即可.對于第（2）問，可以設出購買航空模型的個數，然后根據航空模型的數量與航海模型的數量之間的關系，列出不等式求出自變量的取值范圍，再列出關于自變量的函數式，最后利用一次函數的性質求解即可.

解析：（1）根據已知，設航空模型的單價為x元，則航海模型的單價為（x－35）元.

由題意，可得2 000x=45×1 800x－35.

解得x=125.

經檢驗，當x=125時，x（x－35）≠0，故x=125是原方程的解，且符合題意.

所以航海模型的單價為x－35=90（元）.

綜上所述，航空模型的單價為125元，航海模型的單價為90元.

（2）根據題意，設購買航空模型m個，花費為y元，則

購買航海模型（120－m）個.

由題意，可得m≥12（120－m）.

解得m≥40.

故y=125×0.8m+90（120－m）=10m+10 800.

因為10gt;0，所以y隨m增大而增大.

故當m=40時，y有最小值，y的最小值為10×40+10 800=11 200.

此時120－m=80.

綜上所述，當購買40個航空模型和80個航海模型時，學校花費最少.

此題是以一次函數的實際應用為背景，結合分式方程的實際應用、一元一次不等式的實際應用問題，需要確定自變量的取值范圍，然后利用一次函數的性質求解最值問題.

解決這類實際應用的最值問題時，首先要根據已知條件審清題意，然后提取這些信息中的核心信息，為后續解答本題做好鋪墊.比如，本題中利用已知條件建立一次函數關系式，以及確定自變量的取值范圍及單調性.這類問題往往需要在掌握好函數的基礎知識的基礎上，理解題意，建立數學模型，然后通過數形結合法，找到解題的突破口，最后利用一次函數的性質求解最值問題.

例2 （2024年江蘇蘇州初三數學檢測）隨著新能源汽車的發展，江蘇某市某公交公司計劃用新能源公交車，對于“尾氣超標”的燃油公交車，計劃更換新的車型.新能源生產的新型公交車有A型和B型兩種車型，若公交公司購買A型3輛，B型1輛，共需花費260萬元；若公交公司購買A型2輛，B型3輛，共需花費360萬元.

（1）試求公交公司購買每輛A型和B型的花費分別是多少萬元？

（2）某條市區路線上的每輛A型公交車和B型公交車年均載客量分別為70萬人次和100萬人次.若公交公司計劃購買10輛A型、B型兩種新能源公交車，且規定總費用不超過650萬元.為保障該線路的年均載客總量最大，請設計購買方案，并求出年均載客總量的最大值.

思路分析：對于第（1）問，根據題意，可以分別設出購買每輛A型和B型公交車輛的費用，然后根據“購買A型公交車3輛、B型公交車1輛，共需260萬元；購買A型公交車2輛、B型公交車3輛，共需360萬元”，列出有關的一次函數等式系解決問題即可.對于第（2）問，可以考慮先設購買A型公交車的數量，由此得出購買B型公交車的數量，然后利用已知“公司準備購買10輛A型、B型兩種新能源公交車，總費用不超過650萬元”，這樣可以列出不等式求得參數a的取值，再求出線路的年均載客總量w與a的關系式，最后根據一次函數的性質進行求解.

解析：（1）根據題意，設購買A型新能源公交車需花費x萬元，購買每輛B型新能源公交車需花費y萬元.

由題意，可得3x+y=260，2x+3y=360.

解得x=60，y=80.

綜上所述，購買每輛A型新能源公交車需60萬元，購買每輛B型新能源公交車需80萬元.

（2）設購買A型新能源公交車a輛，則購買B型新能源公交車（10－a）輛，該線路的年均載客總量為w萬人次.

由題意，可得60a+80（10－a）≤650.

解得a≥7.5.

因為a≤10，所以7.5≤a≤10.

又因為a是整數，

所以a=8，9，10.

依題知線路的年均載客總量w與a的關系式為w=70a+100（10－a）=－30a+1 000.

因為－30lt;0，所以w隨a的增大而減小.

故當a=8時，線路的年均載客總量最大，最大載客量為－30×8+1 000=760（萬人次）.

故購買方案為購買A型新能源公交車8輛，B型新能源公交車2輛，此時線路的年均載客總量最大，最大值為760萬人次.

此題是用函數、方程及不等式來求解有關實際問題中的變量與變量之間規律的重點題型.本題主要考查二元一次方程組、一元一次不等式及一次函數的應用.解答本題時，要注意在理解題意的基礎上，找出題目中各個量之間蘊含的數量關系，然后列出有關的不等式求出變量的范圍，判斷出有關函數的單調性，最后利用一次函數知識來求解.通過本題的學習，要讓學生知曉函數、方程及不等式三者之間的內在聯系，讓學生學會根據題意提取題目中的數量之間的關系，通過題目給出的文字描述，轉化為簡單的函數變化規律，然后利用函數的性質，結合函數、方程與不等式三者之間的內在聯系和不同的作用，在準確理解函數與方程之間關系的基礎上，學會利用數形結合及一次函數的性質求解有關實際問題中的最值問題.

一次函數在實際最值問題中的應用，涉及初中數學中較多的基礎知識點，比如一次函數、方程、不等式等，而且該類題型很多時候對數形結合的要求比較高，不過考查的一般是比較基礎的問題，但其中往往蘊含著方程思想、函數思想、參數范圍求解等，且作為基礎題出現在各地中考或初三統考試卷中，綜合考查學生的數學運算能力、數學建模、邏輯推理能力、函數與方程及思維能力等.

因此，在日常教學和復習過程中，要提高學生對基礎知識的熟練記憶，以及利用所學知識解決有關實際問題中的最值問題的能力，同時要注意基礎知識的綜合應用.在學習好基礎知識的同時，提高運用所學習知識分析問題和解決實際問題的能力.通過利用所學知識解決實際問題的強化訓練，不僅僅提高了學生的數學運算能力，還培養了學生良好的思考問題的品質，以及良好的學習態度.