初中數學“勾股定理”專題復習教學

摘要：勾股定理作為初中數學的重要組成部分，對學生數學思維、解決問題能力的培養有重要意義.本文旨在探討初中數學中勾股定理專題復習教學方法，包括常見題型解題方法與技巧、應用拓展、總結反思等方面，以期提高教學效果和學生能力.

關鍵詞：初中數學；勾股定理；專題復習；教學研究

在初中數學教育的廣闊天地中，勾股定理無疑占據著舉足輕重的地位，不僅是幾何知識體系中的重要支柱，更是培養學生邏輯思維能力與空間想象能力的寶貴資源［1］.對初中生而言，勾股定理的學習不僅是對知識的積累，更是一次思維能力的提升.通過專題復習，學生可以更加深入地理解勾股定理的內涵與外延，掌握其在解決實際問題中的應用技巧.

1 常見題型解題方法與技巧

對于求邊長的問題，解題的關鍵是正確識別直角三角形，明確已知的邊和未知的邊，通常通過代數方法設立方程，逐步求解.學生需要注意區分直角邊和斜邊，避免混淆.

求線段長的問題往往是應用勾股定理解決圖形中的間接問題，如兩點之間的距離、物體的高度等.解題時，需先將實際問題轉化為幾何圖形，通過勾股定理進行推導.在這種類型的問題中，細心分析題目中的關系和圖形特征尤為重要.

在勾股定理的證明題目中，考查的是學生對定理本質的理解和邏輯推理能力.常見的證明方法包括幾何法、代數法等.解題時，學生應從基礎的幾何性質出發，靈活運用已知條件進行推導，逐步證明結論.證明過程要清晰有條理，每一步推導都需有充分依據［2］.

1.1 利用勾股定理求面積

例1 如圖1，直線l上方有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為3，4，求正方形b的面積.

解：如圖2，由a，c都為正方形，可得AC2=3，DF2=4.根據∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，可得∠1=∠3.在△ABC和△DFB中，因為∠1=∠3，∠CAB=∠FDB=90°，BC=BF，

所以△ABC≌△DFB，所以AB=DF.

所以BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=3+4=7.

故正方形b的面積為7.

1.2 利用勾股定理求線段長

例2 如圖3，在△ABC中，CD⊥AB于點D，AC=4，BC=3，DB=95，求DC的長.

解：在Rt△BCD中，DC2=BC2-BD2=32-952=14425.

故DC=125.

1.3 勾股定理的證明

例3 下面的圖4中，能夠驗證勾股定理的有幾個？

解：前4個都可以利用圖形面積得出a，b，c的關系，即可證明勾股定理，第5個不能利用圖形面積證明勾股定理.所以答案為4個.

2 實際應用與拓展

勾股定理在初中數學教學中具有重要的實際應用價值，尤其是在解決實際問題時.首先，在過門問題中，利用勾股定理可以幫助我們判斷物體是否能夠通過特定尺寸的門框，尤其是當物體與門的尺寸關系涉及斜對角時.其次，梯子問題是生活中常見的應用之一，利用勾股定理，我們可以解決梯子靠墻時的高度和底邊距離問題，從而確保梯子的安全放置或者測量相關距離.最后，航海問題中，勾股定理廣泛應用于計算航海中的直線距離，如在確定船只從起點到目的地的最短路線及安全航線時，常通過勾股定理得出有效的航行路徑.這些應用不僅增強了學生對勾股定理的理解，也使其能在實際生活中靈活運用這一數學原理，體現了數學與現實生活之間的緊密聯系.

2.1 過門問題

例4 一個門框的尺寸如圖5所示，一塊長3 m，寬2.2 m的長方形薄木板能否從門框內通過？

解：如圖6，連接AC.在Rt△ABC中，∠B=90°，則AC2=AB2+BC2=12+22=5.

所以AC=5≈2.23＞2.2，即AC＞2.2，則該長方形薄木板能從門框內通過.

2.2 梯子問題

例5 如圖7，小巷左、右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7 m，頂端距離地面2.4 m.如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2 m，求小巷的寬度.

解：如圖8，在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=2.42+0.72=2.5（m）.又AB=BE，則BE=2.5 m，于是BD=BE2-DE2=2.52-22=1.5（m），所以CD=CB+BD=0.7+1.5=2.2（m）.

故小巷的寬度為2.2 m.

2.3 航海問題

例6 如圖9，已知港口A東偏南10°方向有一處小島B，一艘貨輪從港口A沿南偏東40°航線出發，行駛80海里到達C處，此時觀測到小島B在北偏東60°方向.在小島周圍36海里范圍內是暗礁區，此時輪船向正東方向航行有沒有觸礁危險？

解：如圖10，作BD⊥CD于點D.因為∠BAC=90°-10°-40°=40°，∠ACB=40°+60°=100°，所以∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=40°.

所以∠ABC=∠BAC，則BC=AC=80海里.

在Rt△BCD中，∠BCD=30°，BC=80海里，

則BD=12BC=40海里.

因為40＞36，所以輪船向正東方向航行沒有觸礁危險.

3 總結與反思

在學習勾股定理后，學生普遍能夠掌握基本的公式和應用技巧，但在實際解題中，部分學生存在對概念理解不夠深入的情況，特別是在遇到一些復雜應用問題時，容易出現混淆.例如，在求解梯子問題時，學生可能在分析三角形時忽略正確的關系，或者對邊長的判斷不準確.通過實際問題的引入，能夠幫助學生更好地理解勾股定理的應用，但也要注意對學生的引導，避免他們在實際情境中單純依賴公式，忽視了對圖形特征和條件的深度分析.針對這一點，教師需要進一步加強教學中的問題講解，幫助學生建立清晰的思維路徑，提升他們的空間想象力和邏輯推理能力［3］.

從教學實踐的角度看，在解決實際應用題時，學生對圖形的構建和條件的提取能力尚需提升.例如，在過門問題的解決中，學生能夠通過勾股定理計算出對角線長度，但在實際教學中，學生往往會忽略圖形的轉換或誤判邊長之間的關系.因此，在教學過程中，教師應強化學生對幾何圖形的分析能力，通過多樣化的練習和情境創設，培養學生在復雜情境下靈活運用勾股定理的能力.此外，可以通過小組合作學習和課堂討論的方式，增強學生對實際問題的思考深度和解決策略，從而進一步提高他們的綜合運用能力.

參考文獻：

[1]李馨.初中數學單元整體復習的新視角：以”從圖形變化的視角整體設計平行四邊形”單元復習為例[J].中國數學教育，2021（7）：36-39，59.

[2]劉燕.初中數學勾股定理的拓展教學[J].教學月刊＼5中學版（教學參考），2017（12）：34-39.

[3]潘明極.提高初中數學總復習課堂教學效率的策略研究[J].考試周刊，2018（3）：72.