基于折紙探究發展學生模型意識的實踐探索

摘要：以一道期末試題的教學為例，在學生對折疊的認知基礎上，通過折紙的方式，采用問題鏈的形式展開探究；結合尺規作圖，學會逆向思維，加深對折疊的認識，通過學生編題，認識模型，提升思維品質.

關鍵詞：折紙探究；尺規作圖；模型意識；數學思想

折紙教學是初中數學中一種常見的教學方法，通過折疊紙張來幫助學生理解數學概念.折紙在蘇科版八上“軸對稱圖形”這一章探究軸對稱（軸對稱圖形）的性質起著非常重要的作用，也為八下研究特殊的四邊形的性質供了方法，同時也為數學中幾何證明添加輔助線提供了思路.

1 試題呈現

（2024年八年級數學期末卷第24題）在三角形紙片ABC（如圖1）中，僅折疊紙片兩次，就能分別在AB，BC，AC上得到點D，E，F，使四邊形DBEF為菱形.

（1）請用直尺（不帶刻度）和圓規，在圖1中作出菱形DBEF.（不寫作法，保留作圖痕跡.）

（2）若△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，AB=AC=2，求所作菱形DBEF的面積.（如需畫草圖，請使用備用圖.）

2 試題分析

這是一道折紙與尺規作圖、計算相結合的幾何綜合題，涉及圖形折疊的性質、等腰三角形的判定與性質、菱形的判定和性質，考查學生靈活運用數學知識的能力.本題滲透了數形結合思想、方程意識和模型觀念，有助于發展學生的幾何直觀、運算能力、推理能力等數學核心素養.

3 教學實施

3.1 動手操作，激活模型

問題1 如圖2是一張三角形紙片，如何通過折疊紙片一次，在AB上找一點D，使△BCD是等腰三角形.

方法一：如圖3，過點B折疊，使得點C落在AB上，

與點C重合的點就是點D.

方法二：如圖4，折痕過點C，使得點B落在AB上，與點B重合的點就是點D.

方法三：如圖5，折疊BC，使得點B與點C重合，折痕與AB的交點就是點D.

教學說明：通過設計一道結論開放的問題，引導學生體驗折紙過程中幾何圖形所涉及元素之間的位置關系和數量關系.利用重合的圖形全等（重合的邊相等、重合的角相等）等知識點，學生容易想到方法一，但同時想到方法二、三的學生不多.通過師生共同探討，本題的實質就是轉化為等腰三角形存在性問題，體現了分類討論的數學思想.當BC為等腰三角形的腰時想到方法一和二；當BC為等腰三角形的底時，想到方法三.通過從基本圖形出發，既回顧了基本知識點，也激發了學生思維的活躍度，從而正向理解折疊的性質.

3.2 問題深入，強化模型

問題2 如圖6是一張三角形紙片，如何通過折疊紙片，

在AB上找一點D，在AC上找一點E，使△DBE是以BE

為底的等腰三角形.

教學說明：學生通過討論，得到點E位置有兩種可能性.

一種是點E與點C重合，問題就回歸到問題1中的方法三；

另一種是點E在線段AC上（不包括端點A，C）.針對第二種情況，學生有以下兩種解決方法.

方法一：如圖7，過點B折疊，使得點C落在AB上，折痕與AC交于點E，再過點E折出一條與BC平行的折痕，該折痕與AB的交點就是點D.

方法二：如圖8，過點B折疊，使得點C落在AB上，折痕與AC交于點E，再折疊BE，使得點B與點E重合，折痕與AB的交點就是點D.

學生發現問題2不可能通過一次折疊達到目的，結合等腰三角形的判定和性質想到了兩種方法.學生利用平時的一個數學基本模型，已知角平線和平行線可以推出等腰三角形，想到方法一，折出與BC平行的折痕，該步驟可以操作，但比較麻煩，需多次折疊才能達成；學生利用垂直平分的性質想到了方法二，可操作性強.通過問題的深化，學生對折疊的性質有了更深的理解，特別是對圖形翻折中折痕的作用（對應點連線的垂直平分線）有了更深刻的認識.

3.3 結合尺規，提升模型

問題3 在三角形紙片ABC中，僅折疊紙片兩次，就能分別在AB，BC，AC上得到點D，E，F，使四邊形DBEF為菱形.請用直尺（不帶刻度）和圓規，在圖1中作出菱形DBEF.（不寫作法，保留作圖痕跡.）

教學說明：在問題1和問題2的基礎上，再來研究問題3就比較容易了.學生結合菱形的性質和折疊的次數（僅兩次），通過討論，得到一種比較簡單的作法——作∠ABC的角平線，交AC與點F，再作BF的垂直平分線，分別交AB，BC于點D，E，則四邊形DBEF即是所求.本題將尺規作圖與折紙相結合，可以讓學生在實際操作中加深對幾何圖形的理解.通過折紙，學生可以觀察到折紙的幾何圖形的變化，并在尺規作圖中可以將這些圖形精確地繪制出來，加深對幾何性質的理解，加強逆向思維，提高空間想象能力和解題能力.通過問題1～3的鋪墊，上述期末試題迎刃而解，第二問結合菱形的性質，設未知數，利用方程求出最后的答案，詳細過程不再贅述.

3.4 學生編題，內化模型

教學過程中，教師經常會采用一題多解、多圖一題、一題多變的形式，將相關知識點系統化、結構化、網絡化，進而提高學生解題能力.其實，讓學生參與編題，更能將所學知識融入到個人的認知結構中，轉化為自己的思維能力.結合問題內容，組織學生以三角形為背景，編制一道關于折疊的題目.以下選擇了學生編寫的幾個有代表性的題目：

題目1 如圖9，將△ABC折疊，使點B與AC的中點D重合，折痕為MN，若BC=8，AC=7，求

△CDN的周長.

題目2 如圖10，在三角形紙片ABC中，AB=AC，∠BAC＝90°，E為AB的中點，沿過點E的直線折疊，使點B與點A重合，折痕交BC于點F，已知EF=2，求BC的長.

題目3 如圖11，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB=6，BC=8，將△ABC折疊，使點C與AB中點D重合，折痕交AC于點M，交BC于點N，求線段BN的長.

題目4 如圖12，在△ABC中，∠C＝90°，AC=6，BC=8，點D，E分別在AC，BC上，且DE∥AB，將△ABC沿DE折疊，點C落在線段AB上的點F處，求AF的長.

教學說明：學生參與編題過程，需要對知識進行深入理解和整理，需要思考問題的角度、深度、難度，能夠培養思維能力和創造力.題目3是在題目1的基礎上編制的，而題目4是在題目3的基礎上編制的，學生學會了一題多變，一圖多變，知識點由淺入深，基本涵蓋了折疊的性質，抓住了折疊的核心內容、核心思想和核心方法.對于題目3，教師也作了變式，提出了思考題——如果將條件中“中點”去掉，問題改為在AB上是否存在一點D，使得四邊形CMDN是菱形，此時CN的長為多少？該問題的設置既提升了難度，

也為即將學習的相似作了鋪墊.通過今后的學習，對于折疊問題，常用勾股定理或相似建立方程來解決.教師應立足一道題，串聯一類題，立足一個圖形，研究一類圖形，在“內化”上下功夫.

4 教學反思

4.1 重視動手操作，提升核心素養

通過實際操作，可以激發學生對數學的興趣和熱情，加深學生對數學知識的理解，培養動手能力，激發創新思維，促進學生數學素養的全面提升.在教學過程中，教師可以結合教材中的“數學實驗室”“數學活動”等項目，通過“做”數學，讓學生感悟、理解數學知識，并能用所學知識解決問題.比如蘇科版八上教材“軸對稱圖形”這一章中有一個數學活動“折紙和證明”，教師以此開展項目學習，讓學生為后續“圖形的折疊”的研究積累數學活動經驗、基本知識和基本思想方法，同時體會數學的價值，提高發現與提出問題、分析與解決問題的能力，發展應用意識、創新意識和實踐能力［1］.

4.2 加強尺規作圖，發展推理能力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》對于尺規作圖的學業要求是：經歷尺規作圖的過程，增強動手能力，能想象出通過尺規作圖的操作所形成的圖形，理解尺規作圖的基本原理與方法，發展空間觀念和空間想象力.尺規作圖是逆向思維形成的結果，特別需要推理能力［2］.通過畫出草圖，再結合圖形的基本性質，從不同的角度展開聯想，得到不同的方法，并且要驗證其合理性和可操作性.綜合性強的尺規作圖的結果具有開放性和探索性，有時還需要從中找到最優解法，這對學生推理能力的形成有很好的助推作用.

4.3 立足單元設計，落實深度學習

教師要有全局觀念，整體把握所教內容，培養學生建立知識之間聯系的意識和能力，不孤立地學習一個個知識點，而是隨著學習的不斷推進，將知識串聯起來，形成知識鏈和知識網絡，讓學生體會其中蘊含的數學思想方法，提升核心素養.比如教師進行折疊復習時宜采用單元教學，從折紙中最簡單的問題出發，到三角形的折疊，再上升到到四邊形的折疊，讓學生對折疊的本質和勾股定理、相似、方程等知識點的聯系有深刻的理解，體會數學中的轉化思想和方程思想，將“習題鏈”上升到“方法鏈”“思想鏈”，從而達到對折疊的深度學習.

參考文獻：

[1]劉曉玫，黃延林.深度學習：走向核心素養（學科教學指南＼5初中數學）[M].北京：教育科學出版社，2019.

[2]唐萍.在問題探究中促進學生思維發展[J].中學數學教學參考，2024（2）：35-37.